2025绵阳三台县高二上学期期中考试数学含解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为（ ）
A. 120B. 200C. 150D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】根据古典概型计算公式即可得到答案.
【详解】∵每个零件被抽取的概率都相等，那么，∴．
故选：A．
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意求得点B的坐标，再由向量的模求解.
【详解】解：因为点是点在坐标平面内的射影，
所以，则，所以，
故选：A
3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.
【详解】∵点为中点，
∴，
∴.
故选：B.
4. 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题被破解出的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，利用求解.
【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，
且事件，相互独立，“谜题被破解”为事件，
.
故选：C
5. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（ ）
A. 从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B. 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
C. 这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3
D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是77.5
【答案】D
【解析】
【分析】A选项数出空气质量为一级的天数，由古典概型即可求出概率；B选择由图的变化趋势即可得到结论；C选项把所有数据求和后除以10即为平均数；D选项中位数是将数据从小到大排序后取中间两个数的平均数即是中位数.
【详解】由图可知空气质量为一级的天数为4天，所以空气质量为一级的概率是，故A选项正确；
由图可知，每天的PM2.5日均值逐渐降低，故B选项正确；
这10天中PM2.5日均值的平均数是：，故C选项正确；
这10天的PM2.5日均值的中位数是，故D选项错误.
故选：D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的
B. 若A，B，C三点不共线，平面外一点，若，则P，A，B，C四点共面
C. 已知空间直角坐标系中的三点、、，则点到直线的距离为
D. 有2人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，根据中位数、平均数的数据特征判断即可；对于B，根据空间四点共面的条件判断即可；对于C，先求出直线的方向向量，再利用点到直线距离公式计算即得；对于D，先确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，再根据古典概型的概率公式求解判断即可.
【详解】对于A，一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中有极端大的值，
因此这组数据显然不可能近似对称，故A错误；
对于B，由题意，因为，故P，A，B，C四点不共面，故B错误；
对于C，由题意得，，，
则，，，
则点到直线的距离为，故C正确；
对于D，由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有7种，
则两人在不同层离开电梯的概率为，故D错误.
故选：C.
7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用基底表示向量，再将异面直线所成的角，转化为向量夹角的余弦公式，即可求解.
【详解】取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以，

所以，
即，又因为，
所以，所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B．
8. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ）
A. B. 与相互独立C. D. A与互斥
【答案】C
【解析】
【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可.
【详解】记三双不同的鞋为：白1，白2，红1，红2，黑1，黑2，
从中随机取出2只共有：
白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况，
事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事假，
事件包含：白1红1，白1黑1，白2红2，白2黑2，红1黑1，红2黑2，6个基本事件，
事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件，
事件包含：0个基本事件
显然：，A错误；
，，，，B错误；
对于C：由列举可知，所以，正确；
对于D，由列举可知A与不互斥，故错误.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ）
A. 该组数据的极差为26
B. 该组数据的众数为18
C. 该组数据的75%分位数为19
D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
【答案】BD
【解析】
【分析】由统计的数据分析的相关概念即可得到结论.
【详解】该组数据的极差，故A选项错误；
该组数据的众数为出现频数最多的：18，故B选项正确；
该组数据的分位数：,取第6个，则为20，故C选项错误；
若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正确；
故选：BD
10. 如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.则以下四个结论正确的是（ ）
A. 向量，，共面
B. 平面
C. 若四面体各棱长均为4，则
D. 若是和的交点，则对空间任意一点，有.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，通过即可判断；对于B，由线面平行的判定定理证明即可；对于C，通过确定为正方形可判断；对于D，由向量的加法性质化简即可得出结论.
【详解】由，，，分别是，，，的中点.
所以，
又在平面内，在平面外，
所以平面，故B正确；
易得：为平行四边形，，
所以，故向量，，共面，A正确；
对于C：若四面体各棱长均为4，结合A，可得为边长2的菱形，
又
，
所以，也即，所以为边长2的正方形，
，故C错误；
对于D: ，，四边形为平行四边形．
又是和的交点，，被点平分．
．故D正确.
故选：ABD
11. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（ ）
A. 若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型
B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种
C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为
D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】若父亲的血型为型，母亲的血型任意，列出孩子的基因类型所有情况，即可判断A；若父母的血型不相同，列出所有情况计算即可判断B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D.
【详解】若父亲的血型为型，即基因类型为，
则母亲的可以是：，，，，，，
则孩子的血型的基因类型为，，，，，没有，即孩子的血型不可能为O型，故A错误；
若父母的血型不相同，
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；
当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种，
所以父母血型的基因类型组合有种，故B正确；
若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，
则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，
对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；
综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组样本数据，，…的，则样本数据，，…，的方差为_____.
【答案】8
【解析】
【分析】根据方差的性质计算可得.
【详解】根据方差性质可知为常数
所以由题意的一组样本数据，，…的，
则样本数据，…，的方差为.
故答案为：8
13. 在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案
【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13组，
所以甲获胜的频率为，
所以甲获得冠军概率的近似值约为，
故答案为：
【点睛】此题考查频率与概率的关系，属于基础题
14. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解.
【详解】由于,所以,
不妨设正方形的边长为2，则,,
,
所以,
故
,
所以,
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为1求解；
（2）由标准度为求该直方图85%分位数求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为1，
可得：，
解得；
【小问2详解】
由题意知，要使得85%居民用户的电费支出不受影响，
即85%的居民每月的用电量不超过标准度，也即为求该直方图85%分位数.
因为前4个分组频率之和为0.12+0.18+0.3+0.22=0.82，
所以85%分位数在第五组，则有：
，
解得.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明；
（2）由（1）平面，将求直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由求解.
【小问1详解】
以A为原点，AB，AD，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.
由题意得，，，.
所以，，.
设平面的一个法向量为.
易知,
令，得，所以.
，
，又平面,
平面；
【小问2详解】
由（1）可知平面，故求直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，
因为，由（1）可知平面的一个法向量为，
设直线到平面的距离为.
则.
17. 在树人中学一次高二年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩为70分，方差为30；乙班有60人，平均数为75，方差为40.
（1）学校打算根据本次成绩按照人数比例用分层随机抽样的方法，让甲乙两班一共选5人参加数学集训，由于集训后队员水平相当，再从参加集训的学生中随机抽取2人参加数学竞赛，求两人来自不同班级的概率；
（2）有人预测，甲、乙两个班级总体的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全体成绩的平均成绩和方差，并判断此人说法是否正确.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差
【答案】（1）
（2）甲、乙两班全部学生的平均成绩为73分，方差为：42，说法是错误的
【解析】
【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解；
（2）由总体样本方差公式代入数据即可判断.
【小问1详解】
则选取的5人中，来自甲班的有2人，来自乙班的有3人 .
记乙班的3位学生为a，b，c，甲班的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人，样本空间可记：
，共包含10个样本，
用A表示“这2人两人来自不同班级”，
则，A包含6个样本，
故所求概率.
【小问2详解】
设甲班成绩的平均数为，方差为；乙班成绩的平均数为，方差为，
则，，，，
所以甲、乙两班全部学生的平均成绩为，
即甲、乙两班全部学生的平均成绩为73分.
两个班级全体成绩的方差为：
故此人的说法是错误的
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）求的长；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，然后结合线面判定定理即得；
（2）设，根据已知条件，求出，即可求解；
（3）平面与平面法向量，再利用面面角的向量求法求解.
【小问1详解】
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.
由题意知：，，，
则，.
又平面，
平面.
小问2详解】
由题意知：，.
设，
则.
，
，
即，
展开有：，
解得：.
故，
则有；
【小问3详解】
由题意知：，
设平面的法向量，
有则，令，则，
由（1）知，则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分.
（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率；
（2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；
（3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）分丙得12分，丁得6分，丙得9分，丁得9分和丙得6分，丁得12分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率求解.
【小问1详解】
甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.
【小问2详解】
乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间，共有10个样本点，
设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.
【小问3详解】
由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，
丙丁总分刚好得18分的情况包含：
事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，
则；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得18分概率.