湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）

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湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》2021年单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）一、选择题1．圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y，则y与x之间的函数关系式是（　　）A．y＝π（R2﹣x2） B．y＝π（R﹣x）2 C．y＝πR2﹣x2 D．y＝π（2πR﹣2πx）22．若y＝（m+2）是二次函数，则m的值是（　　）A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定3．关于二次函数y＝﹣3的图象，下列说法错误的是（　　）A．开口向上 B．对称轴为x＝﹣1 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．当x＝﹣1时，有最大值y＝﹣34．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（　　）A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥35．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（　　）A．向左平移3个单位再向下平移3个单位 B．向左平移3个单位再向上平移3个单位 C．向右平移3个单位再向下平移3个单位 D．向右平移3个单位再向上平移3个单位6．将二次函数y＝的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（　　）A．y＝﹣2 B．y＝﹣2 C．y＝+2 D．y＝+27．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（　　）A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）8．已知点E（2，1）在二次函数y＝x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（　　）A．（4，1） B．（5，1） C．（6，1） D．（7，1）9．已知抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5，则此抛物线（　　）A．开口向下，对称轴为直线x＝﹣3 B．顶点坐标为（﹣3，5） C．最小值为5 D．当x＞3时y随x的增大而减小10．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP＝3，则点P的坐标是（　　）A．（﹣3，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣3，﹣3）或（﹣3，1） D．（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）11．如图，已知二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜312．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论正确的是（　　）①若抛物线与x轴的另一个交点为（k，0），则﹣2＜k＜﹣1； ②c﹣a＝n；③若x＜﹣m时，y随x的增大而增大，则m＝﹣1；④若x＜0时，ax2+（b+2）x＜0．A．①②④ B．①③④ C．①② D．①②③④13．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣714．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（　　）A．t＝0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不对15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题16．若抛物线的顶点为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），则其表达式为　 　．17．把函数y＝（2﹣3x）（6﹣x）化成y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式是　 　．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的系数有a﹣b+c＝0，则这条抛物线经过点　 　．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴．给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＝0．其中正确结论的序号是 　 　．三、解答题20．已知二次函数．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数图象的示意图；（2）根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，6）．（1）求抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的函数表达式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．22．为探究函数y＝x2+的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是　 　；（2）下表是y与x的几组对应值．则m＝　 　；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）该函数　 　（填“有”或“没有”）最大值或最小值；（5）若经探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），请结合函数的图象直接写出不等式的解集．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求以点A、点C及点D围成的△ACD的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA＝15°，若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》2021年单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】圆环的面积＝外圆的面积﹣内圆的面积，整理即可．【解答】解：外圆的面积为πR2，内圆的面积为πx2，故y＝πR2﹣πx2＝π（R2﹣x2），故选：A．【点评】考查列二次函数关系式；得到圆环的关系式是解决本题的关键．2．【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子是二次函数，计算即可．【解答】解：根据二次函数的定义，可得：m2﹣2＝2，解得：m＝±2，当x＝﹣2时，m+2＝0，∴m＝2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的一般形式是解决此题的关键．3．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，∴a＝＞0，函数的图象开口向上，故选项A正确；对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C正确；当x＝﹣1时，有最小值y＝﹣3，故选项D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，0），可求另一交点，观察图象得出y≤0时x的取值范围．【解答】解：因为抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，0），根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），因为抛物线开口向上，当y≤0时，﹣1≤x≤3．故选：C．【点评】利用了抛物线的对称性以及抛物线与x轴交点坐标．5．【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴顶点由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．6．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2向左移1个单位，再向下移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．7．【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）4向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线y＝a（x﹣k）2+h平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）平移问题进行解决．8．【分析】求得对称轴，即可求得对称点．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣8x+m可知对称轴为x＝﹣＝﹣＝4，∵点E（2，1）与点（6，1）关于图象对称轴对称，∴点E关于图象对称轴的对称点坐标是（6，1），故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．9．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，最值问题，以及增减性对抛物线解析式分析即可得解．【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5，A、∵a＝﹣2，∴开口向下，对称轴为直线x＝3，故本选项错误；B、顶点坐标为（3，5），故本选项错误；C、a＜0，∴二次函数有最大值，最大值为5，故本选项错误；D、当x＞3时y随x的增大而减小，正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，以及函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．【解答】解：抛物线的解析式中，令y＝0，得：﹣x2﹣2x＝0，解得x＝0，x＝﹣2；∴A（﹣2，0），OA＝2；∵S△AOP＝OA•|yP|＝3，∴|yP|＝3；当P点纵坐标为3时，﹣x2﹣2x＝3，x2+2x+3＝0，△＝4﹣12＜0，方程无解，此种情况不成立；当P点纵坐标为﹣3时，﹣x2﹣2x＝﹣3，x2+2x﹣3＝0，解得x＝1，x＝﹣3；∴P（1，﹣3）或（﹣3，﹣3）；故选：D．【点评】能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键．11．【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，此时x的取值范围是：0＜x＜3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键．12．【分析】①根据抛物线的对称性得：AD＝BD，列不等式结论；②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；③根据抛物线的对称轴由此作判断；④设y＝ax2+（b+2）x，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与x轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断．【解答】解：①如图1，设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），则3﹣1＜AD＜4﹣1，2＜AD＜3，由对称性得：AD＝BD，∴2＜BD＜3，∵B（k，0），∴BD＝1﹣k，∴2＜1﹣k＜3，∴﹣2＜k＜﹣1，所以选项①正确；②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴﹣＝1，b＝﹣2a，a+b+c＝n，a﹣2a+c＝n，∴﹣a+c＝n，c﹣a＝n，所以选项②正确；③∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴若x＜1时，y随x的增大而增大，则m≥﹣1；所以选项③错误；④∵由图可知：抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，∴a＜0，∴抛物线y＝ax2+（b+2）x也开口向下，且过原点，当y＝0时，ax2+（b+2）x＝0，x（ax+b+2）＝0，x1＝0，x2＝＝＝2﹣＞0，如图2所示，∴当x＜0时，y＝ax2+（b+2）x＜0，即当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；所以选项④正确；其中正确结论是：①②④，3个，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．13．【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．14．【分析】将标准式化为顶点式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出此题．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，ymax＝f（3）＝2，与ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，ymax＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，ymax＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y随x的增大而减小，由此此解决这类题．15．【分析】根据图象得到x＝﹣2时对应的函数值小于0，得到N＝4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x＝﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键．二、填空题16．【分析】此题可设抛物线的顶点坐标式为y＝a（x+2）2+3，再代入（﹣1，5）求得a值即可．【解答】解：由题意可设抛物线的顶点坐标式为y＝a（x+2）2+3，由抛物线经过点（﹣1，5），则5＝a（﹣1+2）2+3，解得：a＝2．则抛物线的表达式为y＝2（x+2）2+3，整理得：y＝2x2+8x+11．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，在这里设出抛物线的顶点坐标式求解比较简单．17．【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则求出即可．【解答】解：y＝（2﹣3x）（6﹣x）＝12﹣2x﹣18x+3x2＝3x2﹣20x+12．故答案为：y＝3x2﹣20x+12．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确利用多项式乘以多项式运算法则是解题关键．18．【分析】当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c会得到a﹣b+c，对应的函数值为0，由此得出当抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）时，会得到a﹣b+c＝0．【解答】解：把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，得到y＝a﹣b+c＝0．∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）系数有a﹣b+c＝0．故答案为：（﹣1，0）．【点评】此题考查二次函数特殊点的与系数的关系，掌握当x＝1、0、﹣1、2、﹣2这些特殊值所对应的系数关系是解决问题的关键．19．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x＝1时y＝0，∴a+b+c＝0，正确．故答案为①④．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，难度不大，做题的关键是画出图形，题图结合认真分析出a，b，c的符号．三、解答题20．【分析】（1）利用公式法求出所给二次函数的顶点坐标以及对称轴，设y＝0求出抛物线和x轴交点的横坐标，设x＝0求出抛物线和y轴交点的纵坐标，即可画出此函数的图象；（2）利用函数的图象即可得到y＜0时x的取值范围．【解答】解：（1）二次函数的顶点坐标为：x＝＝﹣1，y＝＝2，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1或x＝﹣3，图象如图：（2）据图可知：当y＜0时，x＜﹣3，或x＞1．【点评】本题主要考查了根据解析式画函数图象、二次函数图象特点，难度适中．21．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx+2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；（2）把（1）中的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出顶点坐标．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y＝x2+3x+2；（2）y＝x2+3x+2＝x2+3x+（）2﹣（）2+2＝（x+）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22．【分析】（1）由y＝x2+可得，x≠0，（2）令x＝3，代入y＝x2+中，y＝，则 m＝；（3）描点即可；（4）由图象可得，函数没有最大值和最小值；（5）由表格可知，当x＝﹣2时，x＝1时，y＝，再结合函数图象可得，不等式的解集为x＞0或x≤﹣2．【解答】解：（1）由y＝x2+可得，x≠0，故答案为x≠0；（2）令x＝3，代入y＝x2+中，y＝，∴m＝，故答案为；（3）如图：（4）由图象可得，函数没有最大值和最小值；（5）由表格可知，当x＝﹣2时，x＝1时，y＝，再结合函数图象可得，不等式的解集为x＞0或x≤﹣2．【点评】本题考查函数的图象及性质；熟练掌握探究函数性质的方法，能结合表格、图象探究函数性质是关键．23．【分析】（1）将点A、C坐标代入即可求出抛物线解析式，再通过配方即可确定点D坐标；（2）过抛物线顶点D作x轴垂线交直线AC于点E，求出直线AC解析式再求出E点坐标，通过S△ACD＝xA即可求出△ACD的面积；（3）分当点P位于AC上方时和当点P'位于AC下方两种情况，数形结合即可找出点P坐标．【解答】解：（1）把点A的坐标（3，0），点C的坐标（0，﹣3）分别代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图所示，过抛物线顶点D作x轴垂线交直线AC于点E，连结CD、AD，由（1）知：A（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将A、C两点坐标代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴点E坐标为（1，﹣2），∴DE＝﹣2﹣（﹣4）＝2，又∵S△ACD＝xA，∴S△ACD＝＝3；（3）存在，理由如下：由上可知AO＝CO＝3，∠ACO＝∠OAC＝45°，假设存在点P，使得∠PCA＝15°，分情况讨论①：当点P位于AC上方时，连结CP交x轴于点H，如图所示：∵∠ACO＝45°，∠PCA＝15°，∴∠OCH＝30°，在Rt△COH中，tan∠OCH＝tan30°＝＝＝，∴OH＝，H坐标为（，0），设直线CH的解析式为y＝k1x+b1，将点C、H代入得：解得：，∴直线CH的解析式为：y＝，∵点P为直线PC与抛物线交点，∴联立方程得：，解得：x1＝2，x2＝0（舍去），∴此时点P的横坐标为2+；分情况讨论②：当点P'位于AC下方时，连结CP'交x轴于点K，如图所示：∵∠ACO＝45°，∠P'CA＝15°，∴∠OCK＝45°+15°＝60°，在Rt△COK中，tan∠OCK＝tan60°＝＝＝，∴OK＝3，K坐标为（3，0），设直线CK的解析式为y＝k2x+b2，将点C、K代入得：解得：，∴直线CK的解析式为：y＝，∵点P'为直线CK与抛物线交点，∴联立方程得：，解得：x1＝2+，x2＝0（舍去），∴此时点P'的横坐标为2+，综上所述：点P的横坐标为2+或2+．【点评】本题属于二次函数压轴大题，考查二次函数图象和基本性质，熟练掌握二次函数图象和性质以及能数形结合、分类讨论是解题的关键．x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣﹣m…