方法必备01 几何综合问题中由“一点”引发的思考 -【知识清单】最新中考数学一轮复习知识点一览表

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂转化为简单，将抽象转化为具体，将实际转化为数学。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
方法必备01由“一点”引发的思考
题型一：一题多解
题型二：分类讨论
题型三：面积相等问题
题型一：一题多解
【例1】在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，2)，点M的坐标为(m－1，－ EQ \F(3,4)m－ EQ \F(9,4))(其中m为实数)．当PM的长最小时，m的值为________．
法1：利用两点间的距离公式可得PM2＝(m－1)2＋(－ EQ \F(3,4)m－ EQ \F(9,4)－2)2＝ EQ \F(25,16)(m＋ EQ \F(7,5))2＋16，故当m＝－ EQ \F(7,5)时，PM2有最小值16．∴当m＝－ EQ \F(7,5)时，PM有最小值4．
O
x
P
y
A
M
C
B
法2：由点M的坐标(m－1，－ EQ \F(3,4)m－ EQ \F(9,4))，可得点M在直线y＝－ EQ \F(3,4)x－3上，如图所示，分别交x轴，y轴于点A(－4，0)，B(0，－3)．过点P作PM⊥AB交于点M，此时PM最短．
在Rt△BMP中，BP＝5，sin∠ABO＝ EQ \F(4,5)，∴PM＝4．在Rt△PMC中，PM＝4，cs∠PMC＝cs∠ABO＝ EQ \F(3,5)，
∴CM＝ EQ \F(12,5)，∴m－1＝－ EQ \F(12,5)，∴当m＝－ EQ \F(7,5)时，PM有最小值4．
【变式】．已知点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(a，－a)是一平行四边形的四个顶点，求CD长的最小值．
答案：①若AB为边，则CD＝AB＝10．如图①；
②若AB为对角线，如图②，
法1：利用两点间距离公式，CD＝2CM＝2EQ \R(,2a\S\UP6(2)－2a＋25)＝2EQ \R(,2\b(\l(a－\F(1,2)))\S\UP6(2)＋) EQ \F(49,2)，当a＝ EQ \F(1,2)时，CD取得最小值7EQ \R(,2)．
图①
y
O
A
x
D
B
C
图②
y
O
A
x
B
C
D
M
法2：由题知，点C在直线y＝－x上，若CD＝2CM最小，则CM最小，只需过点M作直线y＝－x的垂线段即可．联立y＝x－1，y＝－x，可得C( EQ \F(1,2)，－ EQ \F(1,2))，此时CD＝7EQ \R(,2)．
题型二：分类讨论
【例2】已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别O(0，0)，A(5，0)，B(m，2)，C(m－5，2)．
(1)问：是否存在这样的m，使得在BC边上总存在点P，使∠OPA＝90°?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在BC边上时，求m的值．
答案：(1)存在．
∵B，C两点的纵坐标都是2，∴B，C两点都在直线y＝2上．
取OA的中点M，以M为圆心，OA＝5为直径作圆，交直线y＝2于P1(1，2)，P2(4，2)两点，如图①，
图②
O
A
C
B
Q
图①
y
P1
M
A
x
O
2
P2
当B与P1重合时，m＝1；当C与P2重合时，m－5＝4，m＝9．∴1≤m≤9．
(2)由于OA eq \\ac(\s\up2(//),\s\d4(＝))BC，所以四边形OABC为平形四边形，∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在BC边上，如图②，有两层意思：
①满足∠OQA＝90°，即Q与P重合(第(1)题)；
②Q为BC的中点( EQ \F(2m－5,2)，2)，∴ EQ \F(2m－5,2)＝1或 EQ \F(2m－5,2)＝4，即m＝ EQ \F(7,2)或 EQ \F(13,2)．
【变式1】．（2023春•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性质得，且，即可得出结论；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可．
【解答】解：（1）、满足，
，且，
，，
故答案为：，3；
（2），，
，，
，
，且在第三象限，
，
的面积；
（3）当时，
则，，
的面积的面积的2倍，
的面积的面积的面积，
解得：，
，
，
当点在点的下方时，，即；
当点在点的上方时，，即；
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性质、三角形的面积、坐标与图形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性质，进行分类讨论是解题的关键．
【变式2】．（2023春•海门市期末）在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，若点到轴，轴的距离的较大值等于点到轴，轴的距离的较大值，则称点，互为“方格点”．
例如：点，互为“方格点”；点，互为“方格点”．
已知点．
（1）在点，，中，是点的“方格点”的是 ；
（2）若点与点互为“方格点”，求的值；
（3）若点与点互为“方格点”，求的值．
【分析】（1）根据“方格点”的定义解答即可；
（2）根据“方格点”的定义，解即可．
（3）分情况讨论，进而求得符合条件的的值．
【解答】解：（1）点到轴，轴的距离的较大值为4．
点到轴，轴的距离的较大值为6，
点到轴，轴的距离的较大值为4，
点到轴，轴的距离的较大值为5．
点与点互为“方格点”．
故答案为：．
（2）若点与点互为“方格点”，则有．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，或．
（3）若点与点互为“方格点”，则
①，．
，，
或．
当时，（舍去）；
当时，．
．
②，．
，，
或．
当时，；
当时，（舍去）．
．
③，．
或，且或．
无解．
综上，或．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，分情况讨论的过程较复杂，一定要认真、细心．
题型三：面积相等问题
【例3】如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标、点B的横坐标如图所示．
(1)求直线AB的解析式；
(2)过原点O的直线把△ABO分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式．
A
O
B
x
y
4
2
答案：(1)lAB：y＝－ EQ \F(1,2)x＋2；(2)y＝ EQ \F(1,2)x．
提示：经过三角形的顶点且平分这个三角形的面积的直线，必过对边的中点．
归纳 三角形中线所在的直线平分三角形的面积．
【变式1】已知平面上点O(0，0)，A(3，2)，B(4，0)，直线y＝mx－3m＋2将△OAB分成面积相等的两部分，求m的值．
O
B
A
y
x
答案：∵直线y＝mx－3m＋2过点A(3，2)，∴该直线必过对边OB的中点M(2，0)，∴m＝2．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
O
x
y
A
B
答案：∵C(m，－4m＋20)，∴C在直线y＝－4x＋20上．又∵OC平分四边形OACB的面积，
∴直线OC还经过AB的中点M(2，3)，∴lOC：y＝ EQ \F(3,2)x，联立y＝4x＋20，∴C( EQ \F(40,11)， EQ \F(60,11))．
归纳 若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点．
【变式3】如图，已知在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A(0，0)，C(10，4)，直线y＝ax－2a－1将□ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．
O
A
B
x
y
D
C
答案：a＝1．
归纳 平分中心对称图形面积的直线必经过对称中心．
【变式4】如图，在平面直角坐标系xy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数解析式．
O
E
x
D
C
B
A
M
l
y
答案：l：y＝－ EQ \F(1,3)x＋ EQ \F(11,3)．
【变式5】（2023春•米东区校级期末）如图（1），在平面直角坐标系中，，，过作轴，且满足．
（1）求三角形的面积．
（2）若过作交轴于，且，分别平分，，如图2，求的度数．
（3）在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解得，，则，，，即可计算出三角形的面积；
（2）由于轴，，则，即，过作，则，然后利用角平分线的定义可得到，，所以；
（3）分两种情形，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1），，
，，
，，
，，
三角形的面积；
（2）轴，，
，
，
过作，
，
，
，分别平分，，
，，
；
（3）存在．理由如下：
设点坐标为，
当点在直线的上方时，则有，
，
当点在直线的下方时，同法可得，
点坐标为或．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质．
一．选择题（共18小题）
1．（2023•太平区二模）如图，在左面上建立平面直角坐标系，每个小正方形边长为一个单位长度，小球从点出发，撞击桌面的边缘发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒个单位的速度沿图中箭头方向运动，则第2023秒时小球所在位置的纵坐标为
A．2B．1C．D．
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，从而得出第2023秒的小球所在位置
【解答】解：根据题意得：
小球运动一周所走的路程，
小球以每秒个单位长度的速度运动，
小球运动一周所用的时间为（秒，
（秒，
第2023秒的小球所在位置为
纵坐标为，
故选：．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键．
2．（2023•裕安区校级二模）在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“友好点”．如果点的友好点坐标为，则点的坐标为
A．B．
C．或D．或
【分析】根据“友好点”的定义，可得答案．
【解答】解：当，即时，，
解得，
；
当，即时，，
解得，
，
综上所述，点的坐标为或．
故选：．
【点评】本题主要考查了点的坐标，理清“友好点”的定义是解答本题的关键．
3．（2023•嵩县一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，根据这个规律，点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是、0、2、0、、0、2、，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，
点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是、0、2、0、、0、2、，四个一循环，
，
所以点坐标是．
故选：．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．
4．（2023•桥东区模拟）在平面直角坐标系中，若某个点横、纵坐标均为整数，则称这个点为坐标平面内的整点．若点是第一象限的整点，且点的坐标满足，则满足条件的整点的个数
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据第一象限内的点横坐标大于零，纵坐标小大于零，可得答案．
【解答】解：点是第一象限的整点，且点的坐标满足，
，，
解得，且、均为整数，
或2或3或4，或2，
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件；
满足条件的整点的个数为2，
故选：．
【点评】本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零，纵坐标大于零得出的值是解题关键．
5．（2023•清苑区二模）在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为
A．2B．3C．4D．0
【分析】根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：由题意知，点在直线上运动，
垂直直线时，最短，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
6．（2023•沈河区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【解答】解：的坐标为，
，，，，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点的坐标与的坐标相同，为．
故选：．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
7．（2023•方城县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点、、、，那么点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点为自然数）的坐标为，依此规律即可得出结论．
【解答】解：点、、、、、、、、、，
点为自然数）的坐标为，
点的坐标为．
故选：．
【点评】本题属于循环类规律探究题，考查了学生归纳猜想的能力，结合图象找准循环节是解决本题的关键．
8．（2023•商水县模拟）如图①，中，，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图②方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2022次后，点的横坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为，进而可得滚动2022次后，点的横坐标．
【解答】解：，，，
，
的周长为，
根据题意可得，每滚动3次，点的横坐标增加，
，
滚动2022次后，点的横坐标增加了，
滚动2022次后，点的横坐标为，
故选：．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键．
9．（2023•邹城市校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】两个半圆为一个周期循环出现，奇数在轴上方，偶数在轴下方．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了点的坐标，找到周期的规律是解题的关键．
10．（2023•东莞市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】由点、、的坐标可得出、的长度，从而可得四边形的周长，再根据即可得出细线另一端所在位置的点的坐标．
【解答】解：点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，，
从一圈的长度为．
，
细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是．
故选：．
【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
11．（2023•杜尔伯特县二模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为，
点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
点每秒走个半圆，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点的坐标为，
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点的坐标为，
，
余3，
的坐标是．
故选：．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
12．（2023•日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【解答】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到，这时；
第3圈有16个点，即到，这时；
，
依次类推，第圈，；
由规律可知：是在第23圈上，且，则，即，故选项不正确；
是在第23圈上，且，即，故选项正确；
第圈，，所以，故，选项不正确；
故选：．
【点评】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
13．（2023•南乐县一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动，当运动到87秒时，点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据坐标可知四边形为正方形，边长为2，周长为8．点速度为1秒每单位，运动87秒，求出路程．再求出路程中经过多少个完整的正方形，剩下的路程在正方形中运动找出终点即可得出点坐标．
【解答】解：，，，，
，正方形的周长．
每单位，
．
．
，
点在线段上且为线段中点．
．
故选：．
【点评】本题以点的运动为背景考查了点的坐标规律，考核了学生对于运动的归纳总结能力，解题关键是求出正方形的边长，确定点的位置．属于中考常考题型．
14．（2023•莱阳市二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作的圆弧，，，得到一组螺旋线，连接，，，，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】观察图象，找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出的位置，即可解决问题．
【解答】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；
先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到；
先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到；
先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到；
先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到．
根据斐波那契数，应先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到．
故选：．
【点评】本题考查在平面直角坐标系中的点的坐标规律．考查了学生数形结合的能力，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，推出答案即可．在做题时一定要理解题意．
15．（2023•岱岳区一模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．
【解答】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列，
依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，，
第列有个点，则列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，
，
第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点，
因而第2023个点的坐标是，
故选：．
【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
16．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是
A．，B．，C．，D．，
【分析】由题意可得点在以点为圆心为半径的上，在轴的负半轴上取点，，连接，分别过和作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：点为平面内一动点，，
点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，，
连接，分别过、作，，垂足为、，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
，，
，
，
，
，
轴轴，，
，
，
，
，即，
解得，
同理可得，，
，即，
解得，
，
当线段取最大值时，点的坐标是，，
故选．
【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
17．（2023•罗山县模拟）如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、时，横坐标是1，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2022个点的坐标即可．
【解答】解：各三角形都是等腰直角三角形，
直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
，，，，，，，
，
点在第四象限，横坐标是1，纵坐标的绝对值是，
的坐标为．
故选：．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2020是偶数，求出点的脚码是偶数时的变化规律是解题的关键．
18．（2023•桐柏县一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是
A．B．C．256D．
【分析】根据题意求出点，，的坐标，然后找出点坐标的变化规律，即可求出的横坐标．
【解答】解：△是等边三角形，，
的横坐标为，，
设，，则，
解答或（舍，
，，
所在的直线的解析式为，
，，△是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的横坐标为，
，
，，
同理：，，
，，
总结规律：
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
，
点的横坐标是．
故选：．
【点评】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是根据等边三角形的性质得到点的横坐标为．
二．填空题（共15小题）
19．（2023•泽州县一模）全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亚马逊河流域品种最多，在世界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布．如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端，两点的坐标分别为，，则蝴蝶“尾部”点的坐标为 ．
【分析】直接利用已知点建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系．
蝴蝶“尾部”点的坐标为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
20．（2023•连云港）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为、、、、、的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点、、的坐标分别表示为、、，则点的坐标可以表示为 ．
【分析】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与轴正半轴之间的夹角．
【解答】解：点与圆心的距离为3，射线与轴正方向之间的夹角为，
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．
21．（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，连接，过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ， ．
【分析】根据题意，结合图形依次求出，， 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
△ 是等腰直角三角形，
同理可得：△，△均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：，，，，，
由此可推出：点的坐标为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出，， 的坐标，找出其坐标的规律．
22．（2023•宣恩县一模）一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动即，，，，，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是 ．
【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，，此时点在坐标轴上，进而得到规律．
【解答】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度每秒，设这点为，
到达时用了3秒，到达时用了4秒，
从到有四个单位长度，则到达时用了秒，到时用了9秒；
从到有六个单位长度，则到时用秒；
依此类推到用16秒，到用秒，到用25秒，到用36秒，到时用秒，
可得在轴上，横坐标为偶数时，所用时间为秒，在轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为秒，
，
，，，
第2023秒时这个点所在位置的坐标为，
故答案为．
【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．
23．（2023•大庆一模）如图，点，，，，．根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，点，，，的横坐标依次是1、2、3、4、、，
纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，
四个一循环，，
故点坐标是．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．
24．（2023•新泰市一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推、则正方形的顶点的坐标是 ， ．
【分析】根据给定图形结合正方形的性质可得出，点、、、、、、的坐标，观察点的坐标可得知，下标为奇数的点的坐标的横纵坐标的绝对值依此为前一个点的横纵坐标绝对值的2倍，且4次一循环，由此即可得出，为自然数），依此规律即可得出结论．
【解答】解：观察，发现：，，，，，，，，，，
，为自然数）．
，
点的坐标为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据点的坐标的变化找出变化规律“，为自然数）”是解题的关键．
25．（2023•泰安）已知，△，△，△，都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点，，，都在轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．
【分析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点横坐标为1，点横坐标为2，点横坐标为3，点横坐标为4，因此点横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点在第一象限，求出点的纵坐标为，得出答案．
【解答】解：如图，过点，，，，，分别作轴的垂线，
△是边长为2正三角形，
，，
点横坐标为1，
由题意可得，点横坐标为2，点横坐标为3，点横坐标为4，
因此点横坐标为2023，
，而674是偶数，
点在第一象限，
点的纵坐标为，
即点，
故答案为：．
【点评】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
26．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边作正方形，点在轴上，延长交直线于点，以为边作正方形，点在轴上，以同样的方式依次作正方形，，正方形，则点的横坐标是 ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、的坐标，进而得到、、、的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【解答】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
，
点，
的横坐标为1；
时，，
解得：，
点的坐标为，，
是正方形，
，
点，，
即的横坐标为；
当时，，
解得：，
点，，
是正方形，
，
点的横坐标为，
，
以此类推，则点的横坐标是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，数形结合是解答本题的关键．
27．（2023•阿荣旗二模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为 ．
【分析】动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可．
【解答】解：根据题意可知，，，，，，，，，，
坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半，
，
点的纵坐标为0，横坐标为，
点的坐标，
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
28．（2023•莱芜区三模）如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为 ．
【分析】观察图形可得奇数点的规律为：，，，，偶数点的规律为：，，，，根据规律求解即可．
【解答】解：由图象可得，奇数点的规律为：，，，，
偶数点的规律为：，，，，
是奇数，即，
，
的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查点的坐标规律，根据图形准确找到平面内点的坐标的变化规律是解答此题的关键．
29．（2023•蚌山区三模）已知一组数，，，，排列方式如下：，；，，，；．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
【分析】首先找到这组的规律：根号下依次增加3，排列方式为每4个一组．其次，根据题意可以发现括号里第一个数字表示第几组，第二个数字表示组内第几位数字，按照这个规律可求出的位置可记为：．
【解答】解：根据题中这组数的规律，继续往下排列如下：
，；，，，；；；．
的位置记为，的位置记为，
括号里第一个数字表示第几组，第二个数字表示组内第几位数字，
的位置可记为：．
故答案为：．
【点评】本题属于根据规律求坐标问题，发现题中的数字排列的规律以及位置标记的规则是解决问题的关键．
30．（2023•龙凤区模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若△，△，△，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
【分析】先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
【解答】解：，，
，
△为等腰直角三角形，
，
同理可得：，，，
，，，，
，，，，
的横坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
31．（2023•市中区一模）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点的坐标是 ．
【分析】根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
第6次接着运动到点，
，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
，
第2023次接着运动到点，
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
32．（2023•江岸区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴的正半轴上，点在第二象限满足，，点在轴上在的右边，若，，则点的坐标为 ．
【分析】在上取点，使，延长交轴与点，利用证明可得，，再利用直角三角形的性质求得，结合三角形外角的性质可证明，设，可得，，即可得关于的方程，计算可求解值，即可求得的长，进而可求解点坐标．
【解答】解：在上取点，使，延长交轴与点，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质的知识等综合运用，构造全等三角形是解题的关键．
33．（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点在上运动时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是 ．
【分析】分三种情况讨论：①当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为，根据已知条件证明，得到，设，则，，从而得到与的函数关系式，求出最值，从而求出的最值即可；
②过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点处时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，，从而根据勾股定理求出和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可；
③过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，从而根据勾股定理求出，，和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可；
【解答】解：①如图所示：当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，，
当时，有最大值，
，
当时，有最小值0，
，
的取值范围为：
②如图1所示，过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点时，
，，
轴，
，
，，
，，轴，
，
，
，，，
，
，，
轴轴，
，
，
，
，
，
，
，
；
③如图2所示，过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时，
，，
轴，
，，
，，，
，，，
，轴，
，
，
轴，
，
，，
，
，
，
轴轴，
，
，
，
，
的取值范围是：，
综上可知：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段．
三．解答题（共8小题）
34．（2023•韩城市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若点在第一象限，且，求点的坐标．
【分析】过点作于点，则点是线段的中点，再由，求出点坐标，故可得出的长，利用勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，过点作于点，
，
点是线段的中点，
，，
，，即，
，
在中，，
．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
35．（2023•未央区一模）一个四边形的形状和尺寸如图所示．建立适当的直角坐标系，在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标．
【分析】为了使这个四边形的各个顶点坐标容易确定，可以把点作为坐标系的原点，线段画在轴上，那么就落在轴上．选择适当的比例，求出，，，各点的坐标，再描点，用线段连接起来，就得到所求的图形．
【解答】解：建立直角坐标系如图，选择比例为，取点为直角坐标系的原点，使四边形的边在轴上，则可得，，，各点的坐标分别为，，，．
根据上述坐标在直角坐标系中作点，，，，并用线段依次连接各点，如图中的四边形就是所求作的图形．
【点评】本题考查的是坐标与图形性质，解题的关键是：根据图形的特点，合理的建立直角坐标系．
36．（2023•怀远县校级模拟）如图（1），是边长为1的正方形，以对角线为一边作第2个正方形，再以对角线为一边作第3个正方形，依次下去，则：
（1）第2个正方形的边长 ，第10个正方形的边长 ，第个正方形的边长为 ．
（2）如图（2）所示，若以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ．
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质和勾股定理就可以求出第1个正方形的边长为1，依次可以求出第2个正方形的边长为，第三个正方形的边长为，第四个正方形的边长为4，依此类推就可以求出第个正方形的边长；
（2）根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到的后变化的坐标，再求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．
【解答】解：（1）第1个正方形的边长为1，
由勾股定理可以得出：
第2个正方形的边长为：，
第3个正方形的边长为：，
第4个正方形的边长为：，
第5个正方形的边长为：，
第10个正方形的边长为：，
第个正方形的边长为：；
故答案为：，，；
（2）根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
从到经过了3次变化，
，．
点所在的正方形的边长为，点位置在第四象限．
点的坐标是；
可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
，
，
，
，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
从到与都在轴负半轴上，
，
点的坐标是，．
故答案为：，，，．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，坐标于图形的性质的性质的运用，解答时寻找线段长度的变化规律是关键．
37．（2023•顺平县模拟）已知，对于平面直角坐标系中的点，若点（其中为常数，且，则称点为点的“系好点”．例如：的“2系好点”为，即．
（1）求点的“系好点” 的坐标；
（2）若点在轴的正半轴上，点的“系好点”为点，，求的值；
（3）已知点在第二象限，且满足，点为点的“1系好点”，求的值．
【分析】（1）根据“系好点”的定义列式计算即可求解；
（2）设，其中，则，得到，即可求解；
（3）点为点的“1系好点”，可得到为，由得到，即可求解．
【解答】解：（1）点是点的“系好点”，
，即；
（2）设，其中，则，
轴，
，
，，
，解得；
（3）的“1系好点” 为，
，，
又，
，
，
点在第二象限，
．
【点评】本题主要考查了考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
38．（2023春•海门市期末）在平面直角坐标系中，点，，，，若，则称点与点互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”．
（1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点 ， ；
（2）若点的坐标是的“对角点” 在坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点的坐标是与点互为“对角点”，且点在第四象限，求，的取值范围．
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限、的取值范围确定、的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据新定义可以得、与点互为“对角点”；
故答案为：，；
（2）①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点在轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“对角点”点的坐标为或．
（3）由题意得，
．
点在第四象限，
，
，
解得，
此时，
．
由定义可知：，，
且，且．
故答案为：且，且．
【点评】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题．
39．（2023春•东港区期末）已知：，，
（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）求的面积；
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
【分析】（1）确定出点、、的位置，连接、、即可；
（2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积；
（3）当点在轴上时，由的面积，求得：，故此点的坐标为或；当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积
．
（3）当点在轴上时，的面积，即：，解得：，
所以点的坐标为或；
当点在轴上时，的面积，即，解得：．
所以点的坐标为或．
所以点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键．
40．（2022秋•宣城期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：「」，即「」．
（1）求点的勾股值「」；
（2）若点在第一象限且满足「」，求满足条件的所有点与坐标轴围成的图形的面积．
【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）设点的坐标为，由「」，得到方程，得到，，，，化为一次函数的解析式，，，，于是得到所有点围成的图形是边长为的正方形，则面积可求．
【解答】解：（1）「」，
（2）设，由「」且在第一象限知，，
即：．
故所有点与坐标轴围成的图形如图所示的三角形，
故其面积为．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键．
41．（2023春•浉河区期末）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．下图中的，两点即为“等距点”．
（1）已知点的坐标为，
①在点，，中，为点的“等距点”的是 、 ；
②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为 ；
（2）若，两点为“等距点”，求的值．
【分析】（1）①找到、轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到、轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到、轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
【解答】解：（1）①点到、轴的距离中最大值为3，
与点是“等距点”的点是、．
②当点坐标中到、轴距离其中至少有一个为3的点有、、，
这些点中与符合“等距点”的是．
故答案为①、；②；
（2），两点为“等距点”，
①若时，则或
解得（舍去）或．
②若时，则
解得或（舍去）．
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
即的值是1或2．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．