方法必备07 二次函数中定值、定点问题（8类题型） -【知识清单】最新中考数学一轮复习知识点一览表

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3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂转化为简单，将抽象转化为具体，将实际转化为数学。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）
题型一 面积（面积比）定值
题型二 线段（线段比）定值
题型三 线段和差倍定值
题型四 线段乘积为定值
题型五 横（纵）坐标定值
题型六 其它定值问题
题型七 结合韦达定理求定点
题型八 直线过定点

题型一 面积（面积比）定值
1．（2023•花都区二模）已知，抛物线与轴交于，两点在的左侧）．
（1）当时，求点，坐标；
（2）若直线经过点，且与抛物线交于另一点，连接，，试判断的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若发生变化，请说明理由；
（3）当时，若抛物线在该范围内的最高点为，最低点为，直线与轴交于点，且，求此时抛物线的解析式．
【分析】（1）将代入可得，令，解方程即可求解．
（2）令，有，解方程得出点，点坐标，则，由直线经过点，可得，联立求解方程组得到点坐标，即可求解．
（3）求出，由题可知对称轴为，则对称轴，求得，即抛物线的对称轴在直线的右侧，分情况讨论：①若，，即时，证明，利用相似三角形的性质即可求解；②若，即，由，得，求解即可．
【解答】解：（1）当时，，
当时，有，
解得，，
在的左侧，
点坐标为，点坐标为．
（2）的面积不变．
对于抛物线，
当时，有，
解得：，．
在的左侧，
点坐标为，点坐标为，
，
直线经过点，
，
，
，
联立
解得，，
点在上，
当时，，
点坐标为．
，
的面积不发生变化，．
（3），
，
．
由题可知对称轴为，则对称轴，
，即范围的中点为，
，即抛物线的对称轴在直线的右侧．
①若，，即时，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，如图，
当时，取最高点，
当时，取最低点，
分别过点，作轴的垂线交于点，，
则，
，即，
，
解得（舍或，
当时，抛物线的解析式为．
②若，即，
最低点在顶点处取得，
，
当时，取最高点，
由，得，
解得，
，
与不符合题意，舍去，
综上所述，抛物线的解析式为．
【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2023•兴化市一模）已知抛物线经过第二象限的点，过点作轴交抛物线于点，第一象限的点为直线上方抛物线上的一个动点．过点作于，连接、．
（1）如图1，若点，．
①求的值；
②求证：．
（2）如图2，点在线段下方的抛物线上运动（不与、重合），过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．若，求的值（用含有的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，连接、，试判断的值是否随点的变化而变化？如果不变，求出的值，如果变化，请说明理由．
【分析】（1）①待定系数法求值，②用两边对应成比例夹角相等判定相似．
（2）（3）先设点坐标，依题意代数运算，分别用所设值表示长，与面积，即可．
【解答】（1）①在抛物线上，
，解得：．
②在抛物线上，且轴，
与关于的对称轴轴对称．
．
，
的纵坐标2．
令，即：，解得：（舍，．
，，
又，
，，
，，
，
又，
．
（2）设：，，，则．
若，则为△，根据勾股定理可得：
．
即：．
整理得：，即：．
（3）依题意设：，，，，．
，，
，
，
，
．
．
．
．
即：的值不随的变化而变化，其值为1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定等知识，先设后求再验证的思路体系，在本题中有充分体现；同时对运算能力要求较高．
题型二 线段（线段比）定值
3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过的三个顶点，其中为原点，，，点在线段上运动，点在直线上方的抛物线上，，于点，交于点，平分，，于点，连接．
（1）求抛物线的解析式及的面积；
（2）当点运动至抛物线的对称轴上时，求的面积；
（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得；
（2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案；
（3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
将，代入，得，
解得：，
．
设点到的距离为，点的纵坐标为，
．
（2），
抛物线的对称轴为直线．
当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，
则，
即．
如图，连接、，
由点，得点与点关于原点对称，
点、、三点共线，且为的中点．
，
，
．
平分，
，
，
，
与间的距离为，
点到的距离为．
，，
．
当点运动至抛物线的对称轴上时，的面积为3；
（3）如图，过点作于点，过点作于点．
由题意得，，
．
，
在中，，
，
，
，即为等腰直角三角形．
设，则，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
．
又，
，
即，
，
．
的值是定值，定值为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，相似三角形判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
4．（2023•金东区三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线于另一点，以，为边构造，延长交抛物线于点．
（1）若，如图1．
①求该抛物线的表达式．
②求点的坐标．
（2）如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①将，的值代入一次函数解析式，可求出点，的坐标，利用待定系数法可得出结论；
②由抛物线的对称性可得点的坐标，根据平行四边形的性质可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；
（2）根据待定系数法可求出，的坐标，进而可表达的根据对称性可得出点的坐标，根据菱形的性质可得出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立可求出点的坐标，进而求出的长度，求比值即可得出结论．
【解答】解：（1）当时，一次函数为，
令，则；令，则，
，，
设抛物线的表达式为：，
将代入可得，，
解得；
抛物线的解析式为：；
②由抛物线的对称性可得，，
由平行四边形的性质可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得（舍或，
；
（2）是定值，理由如下：
对于，
令，则；令，则，
，，
设抛物线的表达式为：，，
将代入可得，，
解得；
抛物线的解析式为：；
由抛物线的对称性可得，，
由平行四边形的性质可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得（舍或，
；
，
．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识，表达出点的坐标是解题关键．
5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线经过、、三点，点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式；
（3）如图2，当点位于第二象限时，过点作直线，分别交轴于，两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）将、、代入，即可求解；
（2）过点作交于点，过点作轴交于点，由题意可得，求出，再由，求出点，求直线的解析式即为所求；
（3）设，分别由待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，就能求出和的长，即可求解．
【解答】解：（1）将、、代入，
，
，
；
（2）过点作交于点，过点作轴交于点，
、，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（3）的值是为定值．，理由如下：
设，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
的值是为定值．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
题型三 线段和差倍定值
6．（2023•红桥区三模）已知抛物线，为常数，经过点，，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接，在该抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，，点在运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）把、两点坐标代入，求出，的值即可．
（2）点的位置要分类讨论，在上方时，和是对称点，已知的坐标，可求．在下方时，利用等边对等角，勾股定理求出的坐标，求出的表达式，再求直线和抛物线的交点坐标，可得的坐标．
（3）添加辅助线轴，得平行线，找出成比例线段，用坐标表示线段，求出的值．
【解答】解：（1）抛物线，为常数，经过点，，
，
解得．
．
，
（2）．
点坐标，
①点在的上方，，
轴，
点、是一对对称点，对称轴是直线．
点坐标为．
②在 下方，，
，
设的坐标为，
，
根据勾股定理得，，
，
的坐标，．
设直线的表达式为，
，
解得：，
．
当时，
解得（不合题意，舍去），．
，
．
的坐标，．
，
（3）作轴于．
轴于，
，
，
，
设点坐标为，
，，，，．
．
的值为定值，．
【点评】此题考查了待定系数法，二次函数的性质，等角对等边，勾股定理，比例线段等知识点，以及数形结合的数学思想，难度较大，得分率较低．
7．（2023•呼和浩特）探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， 2 根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）把代入即可求得，运用描点法画出部分的图象，观察图象描述性质即可；
（2）当时，，当时，，根据，可求得点的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得：直线的表达式为①，直线的表达式为②，由直线与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式为③，联立方程组可求得：，，再运用解直角三角形即可求得答案．
【解答】解：（1）当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
故答案为：2；
（2）当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
，或，或，或，；
当时，若，则，
解得：或（舍去），
若，则，
解得：（舍去）或，
，或，或，或，；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为，或，或，或，或，或，；
（3）与的和是定值；
如图2，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为①，
同理可得，直线的表达式为②，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故△，解得，
故直线的表达式为③，
联立①③并解得，
同理可得，，
射线、关于直线对称，则，设，
则，
为定值．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
8．（2023•平遥县一模）综合与探究．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线，交轴于点．若点是二次函数图象上一动点，且点始终位于轴上方，作直线，，分别交于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）先根据二次函数的性质求出，，的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）分两种情况讨论，当点在上方时，当点在下方时，再利用勾股定理和待定系数法进行求解即可；
（3）由（2）得抛物线的对称轴为直线，求出点的坐标，设且，分别求出直线的解析式和直线的解析式，进而表示出，即可求解．
【解答】解：（1）当时，即，
解得：，．
图象与轴交于点，，
当时，，图象与轴交于点，
直线的函数表达式为；
（2）存在，理由如下：
当点在上方时，
，
，即轴，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
抛物线的对称轴为直线；
，
；
当点在下方时，设交轴于点，
则，．
，
．
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
．
综上所述，点的坐标为或；
（3）存在，的值为定值，理由如下：
由（2）得抛物线的对称轴为直线，
，
设且，
设直线的解析式为，
将和点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理，直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
的值是定值，．
【点评】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图2，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线，设对称轴与轴交于点，过点作于点，证明，设，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，当点与点重合时，可得或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，可得，，即可求解．
【解答】解：（1）将点，，代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）点，，
抛物线的对称轴为直线，
设直线与轴交于点，过点作于点，
当在轴上方时，如图：
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去）或，
；
当在轴下方时，如图：
同理可得，，，
设，则，
把代入得：
，
解得（舍去）或，
；
当点与点重合时，如图所示，
，是等腰直角三角形，且，
，
此时，
由对称性可得，点也满足条件，
综上所述，或或或；
（3）为定值6，理由如下：
设，直线的解析式为，的解析式为，
点，，，
，，
解得：，，
直线的解析式为，的解析式为，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
在抛物线上，
，
，
为定值6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
10.（2023•扬州）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上．
（1）如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上．
① ；
②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式．
【分析】（1）①在中，令得，即知不在二次函数为常数，且的图象上，用待定系数法可得；
②设交轴于，设菱形的边长为，可得，故，，代入得，可解得，故菱形的边长为；
③过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，可得，，，，证明，有，，故，，即可得；
（2）过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，知，，分三种情况：①当，在轴左侧时，由，可得，，故；②当在轴左侧，在轴右侧时，由，有，，知或；③当，在轴右侧时，，，可得．
【解答】解：（1）①在中，令得，
在二次函数为常数，且的图象上，不在二次函数为常数，且的图象上，
四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上，
二次函数为常数，且的图象上的三个点是，，，
把代入得：，
故答案为：1；
②设交轴于，如图：
设菱形的边长为，则，
，关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
把代入得：
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
③是为定值，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
点、的横坐标分别为、，
，，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
点、在轴的同侧，
，
；
（2）过作轴于，过作轴于，
点、的横坐标分别为、，
，，
①当，在轴左侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
，
；
②当在轴左侧，在轴右侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
或；
③当，在轴右侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
；
综上所述，、满足的等量关系式为或．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．
（1）用含的式子表示；
（2）当时，如图1，点是直线下方抛物线上的一个动点，求点到直线距离的最大值．
（3）当时，如图2，过点，的直线交抛物线于，．
①若轴，计算 4 ．
②若与轴不平行，请你探索是否定值？请说明理由．
【分析】（1）将，代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的解析式，进而求出点，的坐标，可得是等腰直角三角形；过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设点的横坐标为，则，则，可得，所以，利用二次函数的性质可得结论；
（3）①令，求出的值可得出，的坐标，分别表达，的长度，代入可得结论；
②设直线的解析式为，，，，，令，整理得，所以，，分别表达，和的长度，代入可得结论．
【解答】解：（1）将，代入抛物线，
得，
，
；
（2）当时，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图1，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，，
当时，有最大值是，
当时，，
综上，点的坐标为时，有最大值是；
点到直线距离的最大值是；
（3）①当时，抛物线的解析式为，
令，即，
解得或，
，，
，
，
故答案为：4；
②是定值．理由如下：
过点，的直线交抛物线于，，
设直线的解析式为，，，，，
令，整理得，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是定值．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法是解题的关键．
12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线的抛物线也经过点、点，并与轴正半轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点，点在抛物线对称轴上，并使得的周长最小，过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于，，，两点，试探究的值是否为定值？说明理由；
（3）将抛物线适当平移后，得到抛物线，若当时，恒成立，求的最大值．
【分析】（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点分别解出点，的坐标，根据抛物线的对称轴解出点的坐标，根据待定系数法即可求解抛物线的解析式；
（2）根据轴对称求线段的最小值，图形结合分析，计算出点的解析式，再解出点的坐标，用点，分别表示出直线的解析式，根据勾股定理分别，，的值，由此即可求解；
（3）根据抛物线的平移确定平移为左右平移，由此确定的二次项系数，画出图形，根据二次函数与直线的交点的情况判断的取值，由此即可求解．
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
令，则，
令，则，
，，
抛物线的对称轴为直线，且抛物线过点，，且抛物线与轴正半轴交于点，
，
设函数表达式为，
将点代入解析式得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）的值是定值，理由如下：
的周长为，由的周长最小，的长是定值，
最小，
连接交对称轴于点，
设所在直线的解析式为，且，，
，
解得，，
直线的解析式为，
点在抛物线的对称轴的直线上，
点；
过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于，，，两点，如图所示，过点作的平行线，过点作轴的平行线，交于点，
设，把点代入得，
，
，
直线的解析为，
令，
整理得：，
根据韦达定理得，，，
点，，，在直线上，在中，，，
，，
，
，
，
同理：，，
，
的值是定值．
（3），设，
，
设新的抛物线与直线的相交的横坐标分别设为，，如图所示，
将抛物线适当平移后，得到抛物线，
抛物线是左右平移，则，
，由抛物线左右平移得到，观察图象，
随着图象向右平移，，的值不断增大，
若当时，恒成立，即，
则的最大值在处，
当时，对应的为最大值，
，
，（舍，
，
令，
解得，，，
的最大值为9．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法，数形结合分析是解题的关键．
13 ．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若且．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，交轴于点，过点的直线与线段，分别交于，，当直线绕点旋转时，为定值3，请求出和的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，由，可得，设，，分别求出，，根据，建立方程求出的值即可求点坐标；
（3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，则，根据平行线的性质可得，，，
，化简得，，再由，求出，再由，得到，根据平行得到，求出，则，因为，则，即可求，．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
将、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
设，，
当时，，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，，
，，
，
解得（舍或，
；
（3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，
，，
轴，
，
，，，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，灵活的对分式进行变形处理是解题的关键．
14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的坐标为，点为抛物线上的一个动点．
（1）二次函数图象的对称轴为直线．
①求二次函数的表达式；
②若点与点关于对称轴对称，则点的坐标是 ；
③在②的条件下，连接，在上任意取一点，过点作轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点，求线段的最大值．
（2）过点作的平行线，交抛物线于点，设点、的横坐标为、，在点 运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．
【分析】（1）①利用对称轴公式求出，再将点代入函数解析式确定的值即可；
②求出点坐标，再求点关于直线的对称点坐标即可；
③设，，再求，，则，令，则，可得，当时，有最大值2；
（2）先求直线的解析式，再求过点与平行的直线解析式为，当时，、分别是一元二次方程的两个实数根，则有．
【解答】解：（1）①二次函数图象的对称轴为直线，
，
，
将代入中，得，
函数的表达式为；
②当时，，
，
点与点关于对称轴对称，
，
故答案为：；
③设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，，
轴，
，
解得或，
点在抛物线对称轴左侧的图象上，
，，
，
令，则，
，
，
当时，有最大值2；
（2）的值不变，理由如下：
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
，
过点与平行的直线解析式为，
当时，、分别是一元二次方程的两个实数根，
，
的值不变．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题型四 线段乘积为定值
15．（2023•南充）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，点在轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当或为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解；
（3）求出直线的表达式为：，得到，，同理可得，，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：，
即，
则抛物线的表达式为：；
（2）设点的坐标为：，点，
当或为对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）或2，
则点；
当为对角线时，同理可得：，
解得：，
则点的坐标为：，，或，；
（3）是定值，理由：
直线过点，故设直线的表达式为：，
设点、的坐标分别为：，点，
联立和并整理得：，
则，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，即点，，
则，
同理可得，，
则．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．
题型五 横（纵）坐标（坐标和）定值
16．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）抛物线的解析式为 ；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
（3）如图2，若动直线与抛物线交于，两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）求出直线，的解析式，联立得出点的坐标，根据题意，作辅助线，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）设点，点的坐标，求出直线、、的解析式，联立即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，，
，
解得，
抛物线解析式为．
故答案为：．
（2），，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理，由点，，可得直线的解析式为，
零，
解得，
点的坐标为，
由题意可得，，，，
，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
答：的度数为．
（3）设点的坐标为，点的坐标为，
直线与不重合，
且，且，
如图，
由点，点，可得直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
，
点的坐标可以表示为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同上，可得直线的解析式为，
，
，
，
点的横坐标为定值3．
【点评】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2023•清江浦区校级三模）如图，已知抛物线与轴交于点，交轴于点，，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交轴于点，交轴于点，将沿直线翻折，得到，点的对应点为点若点的对应点恰好落在抛物线上，求的值；
（3）如图2，点是抛物线上一动点，连接，并将直线沿轴翻折交抛物线于点．设点的横坐标为，点的横坐标为，试问：是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）求出的坐标为，然后代入函数解析式，即可求解；
（2）求出点的坐标为，将点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（3）求出直线解析式为，联立方程组，求出点的坐标，再求出关于轴对称点的坐标为，再求直线解析式为，联立方程组，求出点的横坐标，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，
，
又，
，
，
把的坐标代入，得，
解得，（舍去），（舍去），
抛物线的解析式为；
（2）设与相交于点，过点作轴于点，
由题意知：，，
对于，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
，
由等面积法知：，
，
，
，轴轴，
，
，
，即，
，，
，
，
又，，
，
把的坐标代入，得，
解得，（舍去）；
（3）对于，
当时，，
解得，，
，
设直线解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得或
点的坐标，
关于轴对称点的坐标为，
设直线解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
点的横坐标为，
．
【点评】本题考查了二次函数，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数等知识，通过相似三角形的判定与性质求出点的坐标是解第（2）的关键；求出直线解析式为和设直线解析式为是解第（3）问的关键．
题型六 其它定值问题
18．（2023•宿豫区二模）阅读下列材料：在九年级下册“5.2二次函数的图象和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图象的开口方向，决定图象的开口大小，为了进一步研究函数的图象和性质，我们作如下规定：如图1，抛物线上任意一点（A）（异于顶点到对称轴的垂线段的长度的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（B）到抛物线的顶点的距离叫这个点的“股高”，记作；点（A）到顶点的距离的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（A）和顶点的直线与对称轴相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．
由图1可得，对于函数．
（1）当勾距为定值时，
①、；股高和弦长均随增大而增大；
②；偏角随增大而减小；
（如：函数中，当时，、、
（2）当偏角为定值时，
③、、，勾距、股高和弦长均随增大而减小；（如：函数中，当时，、、
利用以上结论，完成下列任务：如图2：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．
（1）函数中，①当时， 2 ，②当时， ；
（2）如图2：以为顶点作抛物线：和，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点；
①当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
②若点在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值．
【分析】（1）①把，代入；
②把代入；
（2）①求出，代入公式求出，由求出，再计算是个常数；
②先证明，再利用得出相似比，最后求．
【解答】解：（1）函数中，，
①当时，，②当时，；
故答案为：2，．
（2）①以为顶点，
，当时，，
，
抛物线：，当时，，
，
，
，
，
，
．
②，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题在新定义下考查了定值问题，三角形相似的判定与性质，对于（2）②，关键是由条件想到三角形相似．
19．（2023•宜都市二模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）写出抛物线的对称轴，并求的值；
（2）如图1，，点，是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为；
①若，关于点对称，求点坐标；
②若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值．
【分析】（1）套用公式求对称轴，把点代入求的值；
（2）①先求出抛物线的表达式，再利用，关于点对称，建立的方程；
②设出点，，直线为，与联立得出韦达定理，利用斜率公式表示，最后表示成，的形式．
【解答】解：（1），
抛物线的对称轴为直线，
把点代入得，
；
（2）①点，对称轴为，
，
，
由射影定理得，
，
，
，
，
，
，关于点对称，
，，
，
或（舍，
点的坐标为．
②设点，，直线为，与联立得：
，
，
，
，
当即时，的值是一个定值3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，并结合了中心对称，直线的斜率公式，韦达定理等知识．对于定值问题，要设而不求，尽量的减少变量的个数．
20．（2023•长沙）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求，，的值；
（2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“美美与共”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解．
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式，即可求解．
②，令，求解即可．
（3）由题意可知，，得到，的坐标，表示出，，根据且，得到，分情况讨论：若时，若时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，，，，
，，．
答：的值为，的值为3，的值为2．
（2）①点与点，始终在关于的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
，
对称轴为．
答：函数的图象的对称轴为．
②，
令，
解得，
过定点，．
答：函数的图象过定点，．
（3）由题意可知，，
，
，，
且，
．
若，则，
要使以，，，为顶点的四边形能构成正方形，
则，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
若，则、关于轴对称，以，，，为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当时，以，，，为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
题型七 结合韦达定理求定点
21．（2023•汉阳区校级模拟）抛物线，交轴于，两点在的左边），是抛物线的顶点．
（1）当时，直接写出，，三点的坐标；
（2）如图1，点是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度；
（3）如图2，将抛物线平移使其顶点为，点为直线 上的一点，过点的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．
【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）延长交轴于点，过点作于点，则三角形是等腰三角形，所以，，然后利用交点坐标特征，先后求出点、、的坐标，再由两点之间的距离公式求得的长即可；
（3）先根据平移变换，求出平移后的抛物线的解析式为．再由直线与抛物线的交点个数写出对应的函数解析式，最终把方程整理成是解决问题的关键所在．
【解答】解：（1）当时，
抛物线的表达式为：，
令，
解得：或4，
点、、的坐标分别为：、、；
（2）延长交轴于点，过点作于点，
，
点的坐标为，
设的解析式为，则有：
，
，
直线的解析式；
，
，，
点是、的中点，则点，，
设的解析式为，把点，代入得：
，
解得：，
，
由得，
，
点的坐标为，，
设直线的解析为，则有：
，
解得：，
，
由，得：
，，
的坐标为，；
，
即的长为；
（3）抛物线平移后的顶点坐标为，
平移后的抛物线的解析式为．
点为直线上一点，
．
设过点的直线的解析式为，
，
．
过点的直线解析式为．
．
即：．
过点的直线、与抛物线只有一个公共点，
△．
．
，．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
，
．
设点的横坐标为，则是方程的根，
过点的直线与抛物线只有一个公共点，
．
同理可求：，
，，
，是方程的两根，
整理得：，
即：点，的坐标满足方程组，
点，点是抛物线与直线的交点，
，
直线一定经过定点，．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
题型八 直线过定点
22．（2023•锦江区校级模拟）已知抛物线与轴交于、两点，顶点为，与轴交于点，且的面积为6．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
（2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交轴于，顶点在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
（3）若过定点的直线交抛物线于、两点在点右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．
【分析】（1）把代入可得，，令即得，，故抛物线的对称轴为直线，，根据的面积为6，可得，，用待定系数法得抛物线的解析式为；
（2）是平行四边形的边，则当点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，同样点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，代入抛物线解析式解之即可求解；
（3）设，，知直线解析式为，由直线过定点，有，而直线过，可得，，解得，设直线解析式为，把，代入得直线解析式为，即，当时，，故直线过定点．
【解答】（1）解：把代入得：
，
，
，
令得，
，
或，
，，
抛物线的对称轴为直线，，
的面积为6，
，
，
；
把代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设点，
是平行四边形的边，
当点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，同样点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，
即，
，
解得，
，
平移后抛物线的表达式为：；
（3）证明：设，，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
直线过定点，
，
，
直线过，
，
，
，
由得：
或，
，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得：，
直线解析式为，
，
直线解析式为，
当时，，
直线必过定点．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
23．（2023•洪山区校级模拟）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标；
（3）如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于，两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）先求出点、、的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）设，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，建立方程求解即可得出答案；
（3）由题意得抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且，、，，由勾股定理得，即，整理得：，联立方程组得，利用根与系数关系可得：，，进而得出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，与重合，不符合题意；当时，直线的解析式为，可证得直线恒过定点．
【解答】（1）解：令，得，
，
，
，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，如图，过点作轴于点，过点作于点，
则，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，
，
，，
，
，
解得：或，
点在第一象限，
，
，，
，；
（3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的抛物线，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，且，、，，
点在抛物线上，，
，
，
，
整理得：，
联立，得，
，，
，
，
，
即，
或，
当时，直线的解析式为，
即直线过定点，与重合，不符合题意；
当时，直线的解析式为，
直线恒过定点．
【点评】本题为二次函数综合应用，涉及函数图象交点问题、待定系数法、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点．在（1）中求出点、、的坐标是解题的关键，在（2）证得是解题的关键，在（3）中利用根与系数的关系得到、的关系式是解题的关键．本题考查知识点较多，特别是计算量较大，难度较大．

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