【云南卷】云南省玉溪市一中2024-2025学年高三上学期期中考试（11.13-11.14）数学试卷

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考试时间：120 分钟； 满分：150 分 命题人：黄 旭 审题人：赵文强
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求）
1 ．已知集合A = {x lnx < 1} ，若a ∈ A ，则a 可能是 ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
2 ．已知a, b ∈ R ，i 是虚数单位，若a - i 与2 +bi 互为共轭复数，则(a +bi)2 = ( )
A ．5 + 4i B ．5 - 4i C ．3 + 4i D ．3 - 4i
3 ．已知sin α + cs β= , csα - sin β= ，则sin
A ．- B ． C ．- D .
4 ．下列命题中，真命题的是 ( )
A ．若a < b ，则 > B ．若a > b ，则a2 > ab > b2
C ．若0 < a < b < c ，则lgc a < lgc b D ．若a + 2b = 2 ，则2a + 4b ≥ 4
5 ．函数f 的图象大致为 ( )
A ． B ． C ． D.
6 ．设Sn 是数列 的前 n 项和，且a1 = 1 ，Sn = Sn+1 ，则 ）
A ．- B ．- C ．-2 D ．-
7 ．已知椭圆 1 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，过点F1 的直线与椭圆C 交于A, B 两点，
若 B | ，且上AB = 90。，则椭圆的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D .
8 ．已知函数f (x) = ax3 - 3x2 + 4a (a ≠ 0) ，若f (x) 存在唯一的零点x0 ，且x0 < 0 ，则a 的取值范
围是 ( )
A ．(-∞, 0) (1, +∞) B ．(-∞, 0) (0, 1) C ．(-∞, -1) (0, +∞) D ．(1, + ∞)
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
9 ．已知a ，b ，c 为非零实数，则下列说法一定正确的有 ( )
A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a2 ，b2 ，c2 成等差数列
B ．若a ，b ，c 成等比数列，则 ， ， 成等比数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等比数列
D ．若a2 ，b2 ，c2 成等比数列，则a ，b ，c 成等比数列
10 ．在VABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若A, B, C 成等差数列，b = ，D 是AC
中点，则下面正确的是 ( )
A ．VABC 周长的最大值为3 B ．VABC 面积的最大值为
C ．中线BD 长度的最大值为 D ．若A 为锐角，则c ∈(1, 2]
—→ —
11．若Ox, Oy是平面内两条相交成120角的数轴，e1 和e2 是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，
若向量—P—→ = xe+ ye— ，则规定有序数对(x, y) 为向量—P—→ 在坐标系xOy 中的坐标，记作 = (x, y)， 设 —A = (1, 1) , —B—→ = (-1, 1) , — = (1, t ) ，则 ( )
A ． —A = ·、i2 B ． —A 丄 —B—→
C ．若B——/ /—A ，则t = 3 D ．若ABC 构成锐角三角形，则t ∈(2, 5)
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12 ．向量 , 满足| |= 2, | |= 1, 与 的夹角为 ，则| - 2 |= .
13 ．已知正四棱台上底面边长为 2cm ，侧棱和下底面边长都是 4cm ，则它的体积为
3
cm .
14 ．已知函数f (x) = a sin wx +bcswx (w > 0) 满足下列条件：① 为y = f (x ) 的极值点；② f (x) 在区间 上是单调函数，则w 的取值范围是 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15 ．（13 分）已知数列{an } 的前n 项和为Sn ，且Sn+1 = Sn + an +1, .
在① a3 + a11 = 16 ；②a2, a5, a11 成等比数列；③ S11 = 77三个条件中任选一个补充在横线上，并 解答下面问题：
(1)求数列{an } 的通项公式；
(2)若数列 的前n 项和 ，求证： .
16．（15 分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，AD//BC ，PA = BC = 2AD = 2AB = 4 ，AD 丄 平面PAB ， PA 丄 AB ，E 、F 分别是棱PB 、PC 的中点.
(1)证明：DF// 平面ACE ；
(2)求平面ACE 与平面PCD 的夹角的余弦值.
17．（15 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) ,
= 2 ，动点M 的轨
MF1
-
MF2
迹为C .
(1)求C 的方程；
(2)过F2 作直线l 与C 交于C、D 两点，若 -F- = 3F- ，求直线CD 的斜率.
18 ．（17 分）已知函数f (x) = x2 - (2a +1)x + aln x (a ∈ R) .
(1)若函数y = f (x ) 在x = 1 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
(2)讨论f (x) 的单调性；
(3)若g (x) = f (x)- x2 - (a -1)ln x 有两个不同的零点x1 , x2 ，求a 的取值范围.
19 ．（17 分）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展 展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折 服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑 曲线C : y = f (x) 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点
的切线lA 也随着转动到B 点的切线lB ，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB 的倾斜角 与lA 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固
定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段AB 的平均曲率；显然当B
越接近A ，即 Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义
若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中y, ，y,, 分别表示y = f x,
在点A 处的一阶、二阶导数）
(1)已知抛物线x2 = 2py(p > 0) 的焦点到准线的距离为 3 ，则在该抛物线上点(3, y) 处的曲率是 多少？
(2)若函数 不等式对于x ∈ R恒成立，求w 的取值范
围；
(3)若动点A 的切线沿曲线f (x) = 2x2 -8 运动至点B (xn , f (xn ))处的切线，点B 的切线与x 轴的
交点为(xn+1, 0)(n ∈ N*) .若x1 = 4 ，bn = xn - 2 ，Tn 是数列{bn }的前n 项和，证明Tn < 3 .