重庆市育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份重庆市育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.下列四个数中，最小的数是
A.-5B.C.0D.-3
2.下列四种与防溺水相关的标志中，是轴对称图形的是
A.B.C.D.
3.反比例函数的图象一定经过的点是
A.（-2，4）B.（1，-8）C.（-4，-2）D.（2，-4）
4.如图，，若，则的度数是
A.B.C.D.
5.若两个相似三角形的相似比是.则这两个相似三角形的周长之比是
A.B.C.D.
6.如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要6根小棒，图案②需要10根小棒，图案③需要14根小棒，...，按此规律，则第8个图形中需要小棒的根数是
A.32B.34C.36D.38
7.已知，则实数应在
A.4与5之间B.5与6之间C.6与7之间D.7与8之间
8.如图，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，已知，，，则图中阴影部分的面积为
A.B.C.D.
9.如图，、、三点共线，分别以、为边，在的同侧构造正方形和正方形，点在上，，.连接.若是的中点，连接，那么的长是
A.B.C.D.2
10.17世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1.对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”.例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为.若（为正整数），则表示的二进制数为，其中，或.下列说法正确的个数为
①二进制数转化为十进制数为10；
②十进制数89转化为二进制数为；
③计算：；
A.3个B.2个C.1个D.0个
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.计算：________.
12.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为_______.
13.“一本好书，一份成长”.老师向同学们推荐了多本好书，小育和小才分别从《家》、《时间简史》、《老人与海》三本书中随机选择一本阅读，小育和小才两人同时都选择《时间简史》的概率是_________.
14.“双11”期间，某水果店近两天苹果的销售额逐渐增加.第一天苹果的销售额为100元，第三天苹果的销售额为144元.该水果店近两天苹果销售额的天平均增长率为_________.
15.如图，中，，是的外角平分线，且，若是的中点，，则的长为___________.
16.关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为_________.
17.如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连结，，.延长、交于点.若，，则的半径为___________，_________.
18.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”.例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，，不是“快乐数”.若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________.
三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书在答题卡中对应的位置上.
计算：（1）；（2）
20.为了提高学生的计算能力，重庆市育才中学举行了数学计算竞赛，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析.（成绩得分用表示，共分成4组：A.，，，）.
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在组中的数据为：83，84，89.
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）填空：___________，___________.
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共4000人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数是多少？
21.小育同学在学习了三角形的知识后，自主探究发现，三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，可以通过证明三角形全等得到结论.请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在中，用尺规作的角平分线，交于.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：在中，是的角平分线，.求证：.
证明：是的角平分线，
①___________________.
，
，
在和中
，
③____________________.
小育进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到.因此，小育归纳出另外一个结论：三角形一个角的④_____________________________重合时，这个三角形是等腰三角形.
22.今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销.某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元.
（1）求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？
（2）经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支.若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个.那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？
23.如图，在矩形中，，，点为边上的中点.动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止.设运动的时间为秒，记为.
图1图2
（1）请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围.
24.山城重庆，虽然山多坡多，但是很多重庆人都喜欢爬山望远.“会当凌绝顶，一览众山小”，能让人心境开阔.小育、小才和小庆三位同学相约周末爬山，因小庆临时有事，要晚一点来，小育和小才先在山脚处集合，此时测得山顶的仰角是，两人边走边聊，沿着倾斜角为的斜坡前进到达凉亭，在凉亭测得山顶的仰角为.
（参考数据：，，）
（1）求山的高度（结果保留根号）.
（2）随着山路越来越陡，小育和小才两人的速度也越来越慢.若从凉亭出发的后一段，两人的行进速度为3千米/时.当他们从凉亭出发的同时，小庆在山脚处乘坐观光缆车到山顶与小育小才会合.已知观光缆车的速度为6千米/时，是小育小才还是小庆先到达山顶？请通过计算说明.
25.如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点.其中点在轴上，点在轴上.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接.当面积最大时，求点的坐标及最小值.
（3）在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、 .当时，请直接写出符合条件的点坐标.
26.在等腰中，，点是边的中点，连接.
（1）如图1，过点作于点，交于点，，连接.若，求.
（2）如图2，点是线段上一点，连接并延长到点，连接，使得，过点作，分别交、于点、，点在线段上，，连接，且，请写出、、的数量关系并予以证明.
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，交于点，过点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接、、、，已知，当的面积最大时，请直接写出的值.
重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）
半期考试数学答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.）
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.4 12.6 13. 14.20% 15.9 16.-1 17.3； 18.1538；6923
三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.计算：（本题8分，每小题4分）
（1）；
解：原式……3分
……4分
（2）
解：原式……3分
……4分
20.（本小题10分）
解：（1），；……4分
（2）根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好.……5分
理由如下：八年级的平均数87.2、中位数86、众数100均高于七年级的平均数87、中位数84、众数98、八年级的方差88.4比七年级的方差99.6小，所以八年级学生计算能力较好.……7分
（3）（名）……9分
答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1600人.……10分
21.（本小题10分）
解：（1）如图所示；……1分
……6分
（2）①，②，③，④角平分线与其对边的中线.……10分
22.（本小题10分）
解：（1）设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元，则……1分
（两个小题设未知数共1分）
……3分
解之得……4分
答：采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元……5分
（2）设翻新旧的小书柜元/个，由题意得，
……7分
解之得……8分
经检验：是原方程的解.……9分
则总共投入（元）……10分
答：翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元.
23.（本小题10分）
解：（1）……4分
（2）如图所示，……6分
性质：
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大……8分
（3）……10分
24.（本小题10分）
解：（1）如图，过点作于点，过点作于点，……1分
由题意得，，，，
，，即是等腰直角三角形.
，
，，
在和中
，
于点，于点，
可证四边形是正方形.
，……4分
在在中，，，
，
，
……6分
答：山高度为.
（2）小庆先到达山顶，理由如下：
可知……7分
由（1）得，
，
，……8分
，……9分
则小庆先到达山顶.……10分
答：小庆先到达山顶.
25.（本小题10分）
解：（1）抛物线过点，其对称轴为直线，
，解得
抛物线的解析式为……2分
（2）由（1）得：
令，可得或，令，可得，
，，
，
，
，
，
，
又于点，
，
，
过点作轴，交于点，
设，
而直线，
点，
，
，
此时，……6分
过点作轴于点，
，
当轴时，……8分
（3），……10分
26.（本小题10分）
解（1），且点是边的中点，
，
于点，
，
，且，
，，……2分
设，则，
在Rt中，，
，
解得：，即，
……4分
（2），……5分
理由如下：证明：延长到点，使得，连接，
，且点是边的中点，
，，，
，，
，
在与中，
……6分
，
又，
，
， ，
，
点为的中点， ，
， ，
，
，
在与中，
……7分
， ，
， ， ，
，
，
即……8分
（3）……10分年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
98
99.6
八
87.2
86
88.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
B
B
B
C
A
B
B