四川省成都市青羊区树德中学光华校区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份四川省成都市青羊区树德中学光华校区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
2．（4分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
3．（4分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．60cm2B．120cm2C．0.6cm2D．36cm2
4．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（ ）
A．1：4B．1：C．2：1D．1：2
5．（4分）如图，a∥b∥c，AB＝6，BC＝2，DE＝9，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．2.5D．2
6．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．＝B．∠B＝∠ADEC．＝D．∠C＝∠AED
7．（4分）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
8．（4分）如图，△AOB的顶点A的坐标为（﹣4，2），现以原点O为位似中心，画一个三角形与△AOB位似，相似比为，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）已知，则＝ ．
10．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝ cm．
11．（4分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
12．（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝6，S1＝6，则S2的大小为 ．
13．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
15．（8分）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为 ，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；
（3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
16．（8分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB．
17．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）求证：四边形BGDE是菱形：
（2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求△DGC的面积．
18．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6cm，那么线段AP﹣PB＝ cm．
20．（4分）已知实数a、b、c满足，则a﹣2b+c的值为 ．
21．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 ．
22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，，CB＝6，D为AC中点，E为BC上一点，连接AE、BD交于点F，若∠AFD＝30°，则CE的长为 ．
23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱．
（1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率；
（2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）直接写出A，B的坐标；
（2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求a的值．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点．
（1）如图1，当PC⊥BD时，求PD的长；
（2）如图2，连接CP交对角线BD于点E，作线段CP的中垂线MN分别交线段DC，DB，CP，AB于点N，G，F，M，当DP＝DE时，求；
（3）如图3，连接OP，若以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，当△PDF为直角三角形，求PD的长．
2024-2025学年四川省成都市青羊区树德中学光华校区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项为﹣2x，
∴一次项系数为﹣2．
故选：B．
2．（4分）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【分析】利用x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，而x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，则可判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24，ax2+bx+c＝﹣0.02，
x＝3.25，ax2+bx+c＝0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c＝0，
即方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
3．（4分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．60cm2B．120cm2C．0.6cm2D．36cm2
【答案】A
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可．
【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在黑色阴影的概率为0.6，
∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6，
∴黑色阴影的面积为10×10×0.6＝60（cm2）．
故选：A．
4．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（ ）
A．1：4B．1：C．2：1D．1：2
【答案】D
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选：D．
5．（4分）如图，a∥b∥c，AB＝6，BC＝2，DE＝9，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．2.5D．2
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质可求出EF的长．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴EF＝3．
故选：B．
6．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．＝B．∠B＝∠ADEC．＝D．∠C＝∠AED
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定即可判断．
【解答】解：（B）∵∠A＝∠A，
∠B＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，故B可以判断，
（C）∵
∠A＝∠A
∴△ABC∽△ADE，故C可以判断，
（D）∵∠A＝∠A，
∠C＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，故D可以判断，
故选：A．
7．（4分）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；
故选：C．
8．（4分）如图，△AOB的顶点A的坐标为（﹣4，2），现以原点O为位似中心，画一个三角形与△AOB位似，相似比为，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）
C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）
【答案】C
【分析】分别讨论△AOB的位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况，结合位似的性质可得答案．
【解答】解：当△AOB的位似图形在位似中心的同侧时，
可得点A的对应点的坐标为（﹣2，1）；
当△AOB的位似图形在位似中心的异侧时，
可得点A的对应点的坐标为（2，﹣1）．
综上所述，点A的对应点的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）已知，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的性质得a＝b，代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
10．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝ 8 cm．
【答案】8．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝bc，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝bc，
∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，
∴d＝8（cm）．
故答案为：8．
11．（4分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4m×2＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m×2＞0，
解得．
故答案为：．
12．（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝6，S1＝6，则S2的大小为 3 ．
【答案】3．
【分析】由四边形ABCD是正方形，四边形OEGF是正方形，可证明△AMO≌△BNO（AAS），即得S△BNO＝S1＝6，而S正方形ABCD＝36，可知S△BOC＝S正方形ABCD＝9，故S2＝S△BOC﹣S△BNO＝16﹣10＝6．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MAO＝45°＝∠OBN，OA＝OB，
∵四边形OEGF是正方形，
∴∠MON＝90°，
∴∠MON+∠MBN＝180°，
∴∠BMO+∠BNO＝180°，
∵∠AMO+∠BMO＝180°，
∴∠BNO＝∠AMO，
在△AMO和△BNO中，
，
∴△AMO≌△BNO（AAS），
∴S△BNO＝S1＝6，
∵AB＝6，
∴S正方形ABCD＝36，
∴S△BOC＝S正方形ABCD＝9，
∴S2＝S△BOC﹣S△BNO＝9﹣6＝3，
故答案为：3．
13．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为 16﹣16 ．
【答案】16﹣16．
【分析】延长CB交MN于F点，MN交AD于P点，如图，根据菱形的性质得到AB＝AD＝4，AD∥BC，利用作法得MN垂直平分AD，所以AP＝2，PF⊥AD，接着计算出AE＝4，则BE＝4﹣2，然后计算出BF＝EF＝2﹣4，最后利用勾股定理计算CE的长．
【解答】解：延长CB交MN于F点，MN交AD于P点，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝4，AD∥BC，
∴∠EBF＝∠A＝45°，
由作法得MN垂直平分AD，
∴AP＝DP＝AD＝2，PF⊥AD，
∴PF⊥BC，
在Rt△APE中，∵∠A＝45°，
∴AE＝AP＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，
在Rt△BEF中，
∵∠EBF＝45°，
∴BF＝EF＝BE＝×（4﹣2）＝2﹣4，
∴CF＝CB+BF＝4+2﹣4＝2，
在Rt△CEF中，CE＝＝16﹣16．
故答案为：16﹣16．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x1＝6，x2＝﹣1．
【分析】（1）先配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣6＝0或x+1＝0，然后接两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12，
方程化为一般式为x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x﹣6＝0或x+1＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣1．
15．（8分）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为 200人 ，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数）
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数；
（3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）200人；补全条形统计图如图所示．
（2）约150人．
（3）．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查总人数；用本次调查总人数分别减去A，B，C，E类游戏活动的人数，可得D类游戏活动的人数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中E类游戏活动的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查总人数为20÷10%＝200（人）．
∴D类游戏活动的人数为200﹣40﹣20﹣60﹣30＝50（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：200人．
（2）1000×＝150（人）．
∴估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
16．（8分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，求树高AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【解答】解：根据题意可得：∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m，
∴，
∴BC＝14m，
∴AB＝AC+BC＝1.6+14＝15.6（m），
答：树高AB为15.6m．
17．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG．
（1）求证：四边形BGDE是菱形：
（2）若∠EDG＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求△DGC的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，可得BE∥DG，DE∥GB，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EB，由直角三角形的性质可得CH＝DH＝3，，即可求BC＝BG+CH+HG的长．
【解答】（1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，
∴∠ABD＝∠DBG，
∵EG垂直平分BD，
∴DG＝BG，DE＝EB，
∴∠DBG＝∠GDB，∠ABD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠DBG＝∠ABD＝∠GDB，
∴BE∥DG，DE∥GB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
又∵DE＝EB，
∴四边形BGDE是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形BGDE是菱形，
∴∠ABC＝∠EDG＝30°，DE＝DG＝BG＝6，DG∥EB，
∴∠ABC＝∠DGC＝30°，
又∵DH⊥BC，
∴，，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝3，
∴．
18．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）；
问题拓展．
【分析】问题探究
（1）取AB的中点G，连接DG，利用等边三角形的性质可得点F为AG的中点，从而得出答案；
（2）取BC的中点H，连接DH，利用ASA证明△DBH≌△DEC，得BH＝EC，则，再根据DH∥AB，得△EDH∽△EFB，从而得出答案；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，由（2）同理可证明△DGH≌△DEC，得GH＝CE，得，再根据DH∥AB，得△EDH∽△EFB，同理可得答案．
【解答】解：（1）如图，取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴；
（2）取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB，
∵AB＝AC，
∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH，
∵BD＝DE，
∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH＝EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
问题拓展
取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵＝，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6cm，那么线段AP﹣PB＝ （6﹣12） cm．
【答案】（6﹣12）．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6cm，
∴AP＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣（3﹣3）＝（9﹣3）cm，
∴AP﹣PB＝3﹣3﹣（9﹣3）＝（6﹣12）cm，
故答案为：（6﹣12）．
20．（4分）已知实数a、b、c满足，则a﹣2b+c的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】设，可得a＝k﹣1，b＝2k﹣2，c＝3k+3，代入a﹣2b+c求解即可．
【解答】解：设，
则，
∴，
∴
∴a﹣2b+c＝（k﹣1）﹣2（2k﹣2）+（3k+3）＝k﹣1﹣4k+4+3k+3＝6．
故答案为：6．
21．（4分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系，可得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，代入（x1+1）（x2+1）＝8，解出m的值，再根据Δ≥0，求出m的取值范围，即可确定m的值．
【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两实根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1x2+x1+x2+1＝8，
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
解得m＝1或m＝﹣3，
∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得m，
∴m＝1，
故答案为：1．
22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，，CB＝6，D为AC中点，E为BC上一点，连接AE、BD交于点F，若∠AFD＝30°，则CE的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用勾股定理求得AB和BD的长，证明∠CBA＝30°，得到∠1＝∠2，推出△DCB∽△BGA，得到，设CE＝x，BE＝6﹣x，再证明△AEC∽△BEG，得到，据此求解即可．
【解答】解：取AB的中点H，连接CH，过点B作AE的垂线，垂足为点G，如图，
∵∠ACB＝90°，，CB＝6，
∴，
∵D为AC中点，
∴，
∴，
∴，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠AFD＝30°，
∴∠2+∠3＝30°，
∴∠1＝∠2，
∵∠DCB＝∠BGA＝90°，
∴△DCB∽△BGA，
∴，
解得，
设CE＝x，BE＝6﹣x，，
∵∠AEC＝∠BEG，∠ACE＝∠BGE＝90°，
∴△AEC∽△BEG，
∴，
即，
解得或x＝14，
经检验或x＝14都是原方程的解，但x＝14不符合题意，舍去，
∴，
故答案为：．
23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图1中，连接AG，延长AG交CD于点W．首先证明DW＝CW，推出点G在AW上运动．如图2中，当B，E重合时，求出AG，可得结论．
【解答】解：如图1中，连接AG，延长AG交CD于点W．
∵CD∥BF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AF＝AE，
∴DW＝CW，
∴点G在AW上运动．
如图2中，作GH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴＝，即BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝，
在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，
sin60°＝，GH＝，
cs60°＝，BH＝，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，
AG2＝（）2+（）2＝，
∴AG＝．
∴G点路径长度为．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱．
（1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率；
（2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设八、九两月的月平均增长率为x，利用九月的销售量＝七月的销售量×（1+八、九两月的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（35﹣y﹣21）元，月销售量为（400+5y）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设八、九两月的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：八、九两月的月平均增长率为25%．
（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（35﹣y﹣21）元，月销售量为（400+5y）箱，
依题意得：（35﹣y﹣21）（400+5y）＝4565，
整理得：y2+66y﹣207＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣69（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与直线y＝2x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）直接写出A，B的坐标；
（2）点P在直线AB上，是否存在平面内一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）平面内一动点C（m，n）满足n＝﹣m2+am+1（a为常数），过AC两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求a的值．
【答案】（1）A（2，4），B（6，0）；
（2）平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，Q的坐标为（﹣5，5）或（，﹣）或（﹣，）或（6，6）；
（3）a值为3或﹣1．
【分析】（1）由得A（2，4），在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，故B（6，0）；
（2）设P（t，﹣t+6），Q（p，q），①若PQ，OA为对角线，则PQ，OA的中点重合，且PA＝PO，有，②若PO，QA为对角线，则PO，QA的中点重合，且PA＝AO，有，③若PA，QO为对角线，则PA，QO的中点重合，且PO＝AO，有，解方程组可得答案；
（3）如图，设点D（x，0），则E（﹣x，0），x＜0，由△ABD∽△EBA，可得AB2＝BE•BD，即（2﹣6）2+（4﹣0）2＝（6+x）（6﹣x），求出D（﹣2，0），直线AC的表达式为y＝x+2，把C（m，﹣m2+am+1）代入y＝x+2得：﹣m2+am+1＝m+2，即m2+（1﹣a）m+1＝0，根据有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，知Δ＝（1﹣a）2﹣4＝0，即可解得a的值．
【解答】解：（1）由得，
∴A（2，4），
在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，
∴B（6，0）；
（2）平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设P（t，﹣t+6），Q（p，q），
①若PQ，OA为对角线，则PQ，OA的中点重合，且PA＝PO，
∴，
解得，
∴Q（﹣5，5）；
②若PO，QA为对角线，则PO，QA的中点重合，且PA＝AO，
∴，
解得或，
∴Q（，﹣）或（﹣，）；
③若PA，QO为对角线，则PA，QO的中点重合，且PO＝AO，
∴，
解得（此时P，A重合，舍去）或，
∴Q（6，6）；
综上所述，Q的坐标为（﹣5，5）或（，﹣）或（﹣，）或（6，6）；
（3）如图，设点D（x，0），则E（﹣x，0），x＜0，
∵△ABD与△ABE相似，
∴E只能在点B左侧，
∴∠ABE＝∠DBA，
若△ABD∽△EBA，则＝，
∴AB2＝BE•BD，
∴（2﹣6）2+（4﹣0）2＝（6+x）（6﹣x），
∴x2＝4，
解得x＝±2，
∵x＜0，
∴x＝﹣2，
∴D（﹣2，0），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A，点D的坐标代入得：
解得，
∴直线AC的表达式为y＝x+2，
把C（m，﹣m2+am+1）代入y＝x+2得：﹣m2+am+1＝m+2，
∴m2+（1﹣a）m+1＝0，
∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴方程m2+（1﹣a）m+1＝0有且只有一个实数根，
∴Δ＝（1﹣a）2﹣4＝0，
解得a＝3或a＝﹣1；
故满足条件的a值为3或﹣1．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点．
（1）如图1，当PC⊥BD时，求PD的长；
（2）如图2，连接CP交对角线BD于点E，作线段CP的中垂线MN分别交线段DC，DB，CP，AB于点N，G，F，M，当DP＝DE时，求；
（3）如图3，连接OP，若以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，当△PDF为直角三角形，求PD的长．
【答案】（1）；
（2）；
（3）PD＝或1．
【分析】（1）由勾股定理求出BD＝10，根据锐角三角函数的定义求出DE和PE的长，求出OE＝，进一步求得PE＝DE＝，利用勾股定理PD＝即可得解；
（2）利用勾股定理求出BD，证明BC＝BE＝8，推出DP＝DE＝2，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（3）分两种情况讨论，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段成比例可得OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，由折叠的性质可得∠APO＝∠EPO＝45°，可求OH＝HP＝3，可得PD＝1；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝5，通过证明△OFE∽△BAD，可得，可求OF的长，通过证明△PFD∽△BAD，可得，可求PD的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∴OD＝BD＝5，
∵PC⊥BD，
∴∠PDE+∠EDC＝∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠PDE＝∠DCE，
∴sin∠DCP＝＝sin∠ADB＝，
∴，
∴DE＝，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣＝，
∵tan∠PDE＝＝tan∠ADB＝，
∴PE＝DE＝＝，
∴PD＝＝＝；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DPE＝∠BCE，
∵DP＝DE，
∴∠DPE＝∠DEP＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝8，
∴DE＝DP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，
∴PC＝＝＝2，
∵MN垂直平分线段CP，
∴CF＝PF＝，
∵PD∥BC，
∴＝，
∴PE＝PC＝，
∴EF＝PF﹣PE＝，
∴＝；
（3）如图3.1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8，
∴OH∥AB，
∴，
∴OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴∠APO＝∠EPO＝45°，
又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°，
∴OH＝HP＝3，
∴PD＝HD﹣HP＝1；
当∠PFD＝90°时，如图3.2，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，
又∵∠OFE＝∠BAD＝90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴OF＝3，
∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB，
∴△PFD∽△BAD，
∴，
∴，
∴PD＝，
综上所述：PD＝或1．
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（男，女）
（男，女）
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（女，男）
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