广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题

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一、未知
1．已知复数，则的虚部为（ ）．
A．B．C．D．
2．对于非零向量，，“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）．
A．1B．2C．8D．16
4．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）．
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
6．设函数，已知，，且的最小值为，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
7．已知正四棱台的体积为，，，则与底面所成角的正切值为（ ）．
A．B．C．D．4
8．设函数，若，则的最小值为（ ）．
A．1B．2C．D．
9．已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）．
A．B．
C．D．
10．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．以为直径的圆与轴相切D．
11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则（ ）．
A．B．
C．为奇函数D．
12．已知，则 ．
13．在的展开式中，常数项为 ．
14．如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ．
15．记内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
16．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．
(1)证明：平面；
(2)若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
17．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．
(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；
(2)求四边形面积的最大值．
19．某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值．
参考数据：，，，
参考公式：相关系数