福建省厦门市湖滨中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

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说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11. .12. 2. 13. (2，－1).
14. 4. 15. .16. ①②③.
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解：（1）法一：


∴，
法二：a＝1，b＝2，c＝﹣1


∴，
（2）解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：.
18．（本题满分8分）
证：∵四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
．
19．（本题满分8分）
解： （1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率；
（2）

∴共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“中国”的结果数为2，
∴取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．
20．（本题满分8分）
解：（1），
.
是的平分线，
.
.
.
.
是半径，
是的切线.
（2）设的半径为，则，，，
由勾股定理得，，即．
∴．
．
的长为8．
21．（本题满分8分）
解：（1）把（1，0）和（﹣3，0）代入，得：
解得：．
∴．
（2）AB＝1－（﹣3）＝4
∴S△PAB＝∙AB∙yP＝∙4∙yP＝6．
∴yP＝3．
当y＝3时，
∴x1＝0，x2＝﹣2．
∴P（﹣2，3）．
22．（本题满分10分）
解：（1）


∴如图所示，点E为所求的点．
（2）∵△BCD为等边三角形，
∴BC＝CD，∠BCD＝60°．
∵CD＝BC，∠DCE＝∠BCA，CE＝CA，
∴△DCE≌△BCA．
∴DE＝AB＝2，∠EDC＝∠ABC．
∵∠ABC＋∠ADC＝360°－∠BAD－∠BCD＝180°，
∴∠EDC＋∠ADC＝180°．
∴A，D，E三点共线．
∴AE＝AD＋DE＝AD＋AB＝2＋4＝6．
23．（本题满分10分）
解：（1）法一：∵，，
∴，．分
∴


．
∵，，
∴．
∴．
法二：∵，，
∴，．
∴3m，n是一元二次方程的解．
∴．
∴．
（2） ∵，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴m，n异号．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵m，n为整数，
∴或或或．
∴（不符合m，n异号，舍去）或（不符合m，n异号，舍去）
或或（不符合m，n异号，舍去）．
∴．
24．（本题满分12分）
解：（1）把A（1，18）代入，得：．
∴．
∴．
（2）当v＝5，t＝1时，h＝6，l＝5，
∴M（6，12）．
当x＝6时，．
∴点M不在滑道上．
（3）

．
∵5≤x≤7时，h在8~10范围内，
∴．
∴．
∵t为整数，
∴t＝19．
25．（本题满分14分）
解：（1）∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AC))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AC))，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°．
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AB))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AC))，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝90°．
∴BC为☉O的直径．
（2）①法一：连接CF
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AB))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AC))，
∴∠F＝∠D＝∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC．
∵点E在AD的垂直平分线上，
∴AE＝DE．
∴∠FAD＝∠D＝45°＝∠ABC．
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(CD))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(CD))，
∴∠DAC＝∠DBC．
∴∠ABC＋∠DBC＝∠FAD＋∠DAC即∠ABD＝∠FAC．
∵∠D＝∠F，∠ABD＝∠FAC，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAF．
∴AF＝BD．
法二：连接BF
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AB))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AC))，
∴∠F＝∠D＝∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵点E在AD的垂直平分线上，
∴AE＝DE．
∴∠FAD＝∠D＝45°．
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AB))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AB))，
∴∠F＝∠D＝45°．
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(DF))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(DF))，
∴∠DBF＝∠DAF＝45°．
∴∠DBF＝∠F．
∴BE＝EF．
∴BE＋DE＝EF＋AE即BD＝AF．
②延长AO交☉O于点Q，连接FQ
当点D位于 eq \(\s\up8(︵),\s\d0(CQ))上时
∵OM⊥AF，
∴AM＝MF．
∵∠F＝∠MAN＝45°，∠BMF＝∠NMA，MF＝AM，
∴△BMF≌△NMA．
∴BM＝MN．
∵OB＝OC，
∴OM为△BCN的中位线．
∴CN＝2OM．
∵OA＝OQ，AM＝FM，
∴OM为△AFQ的中位线．
∴FQ＝2OM．
∴CN＝FQ．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴∠OAC＝∠BAC＝45°．
∵∠FAD＝∠FAQ＋∠QAD＝45°，∠QAC＝∠QAD＋∠DAC＝45°，
∴∠FAQ＝∠DAC．
∴FQ＝CD．
∴CN＝CD．
∴∠DNC＝∠ADC＝45°．
∴∠ANC＝180°－∠DNC＝135°．
当点D位于 eq \(\s\up8(︵),\s\d0(BQ))上时
∵AM＝FM，OA＝OQ，
∴FQ＝2OM．
∵∠FAD＋∠NAM＝180°，∠MFB＋∠ACB＝180°，
∴∠MFB＝∠NAM．
∵∠MFB＝∠NAM，FM＝AM，∠BMF＝∠NMA，
∴△BMF≌△NMA．
∴BM＝NM．
∵BM＝NM ，OB＝OC，
∴CN＝2OM．
∴FQ＝CN．
∵ ∠FAQ＝∠FAD＋∠QAD＝45°＋∠QAD，
∠DAC＝∠QAD＋∠QAC＝45°＋∠QAD，
∴∠FAQ＝∠DAC．
∴FQ＝CD．
∴CN＝CD．
∴∠ANC＝∠ADC＝45°．
当点D位于 eq \(\s\up8(︵),\s\d0(AB))上时
∵AM＝FM，OA＝OQ，
∴FQ＝2OM．
∵∠EAD＝∠MAN＝45°＝∠AFB，AM＝FM，
∠NMA＝∠BMF，
∴△NAM≌BFM．
∴NM＝BM．
∵NM＝BM，OB＝OC，
∴CN＝2OM．
∴CN＝FQ．
∵ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(CF))＝ eq \(\s\up8(︵),\s\d0(CF))，
∴∠FAC＝∠FBC．
∵∠DBC＝∠DBF＋∠FBC＝45°＋∠FBC，
∠FAQ＝∠QAC＋∠FAC＝45°＋∠FAC，
∴∠DBC＝∠FAQ．
∴CD＝FQ．
∴CD＝CN．
∴∠ANC＝∠ADC＝45°．
综上所述，当点D位于 eq \(\s\up8(︵),\s\d0(CQ))上时，∠ANC＝135°，
当点D位于 eq \(\s\up8(︵),\s\d0(ABQ))上时，∠ANC＝45°．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
A
D
A
A
C
D
B
C
D