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    知识必备11 图形的对称、平移与旋转(知识清单+易错清单+15个考试真题专练) -【知识清单】最新中考数学一轮复习知识点一览表

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    知识必备11 图形的对称、平移与旋转(知识清单+易错清单+15个考试真题专练) -【知识清单】最新中考数学一轮复习知识点一览表

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    这是一份知识必备11 图形的对称、平移与旋转(知识清单+易错清单+15个考试真题专练) -【知识清单】最新中考数学一轮复习知识点一览表,文件包含知识必备11图形的对称平移与旋转知识清单+易错清单+15个考试清单真题专练原卷版docx、知识必备11图形的对称平移与旋转知识清单+易错清单+15个考试清单真题专练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共76页, 欢迎下载使用。
    2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数)。
    3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来,不等于“一点不懂、一点不会”,要将整道题目解题思路转化为得分点。
    4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂转化为简单,将抽象转化为具体,将实际转化为数学。
    5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
    6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,把未知的问题转化为已知的问题。
    知识必备11图形的对称、平移与旋转
    易错点: 图形经历多次旋转时,要关注每次旋转的旋转中心,旋转角,否则易于出错.
    【例1】如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( ).
    A. πB. 13π C. 25πD. 25
    【解析】 连接BD,B'D,首先根据勾股定理计算出BD长,再根据弧长计算公式计算出的长,然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可.
    连接BD,B'D,
    ∵ AB=5,AD=12,
    ∴ BD==13.
    【答案】 A
    【误区纠错】 此题主要考查了弧长计算,以及勾股定理的应用,关键是掌握弧长计算公式
    【变式1】.(2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模)如图,在平面直角坐标系中,,,将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大,每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形.第一次变化后得到等腰三角形,点的对应点为;第二次变化后得到等腰三角形,点的对应点为;第三次变化后得到等腰三角形,点的对应点为……依此规律,则第2023年等腰三角形中,点的坐标是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】由题意,可得点,,在第二象限,,,,推出,可得结论.
    【详解】解:在平面直角坐标系中,,,绕点顺时针旋转并且按一定规律放大,每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形.
    第一次变化后得到等腰三角形,点的对应点为,
    ∴;
    第二次变化后得列等腰三角形,点的对应点为,;
    ∴;
    第三次变化后得到等腰三角形,点的对应点为;
    ∴;
    ……
    由图可知:
    绕点每次顺时针旋转,并且腰长增加1,
    ∴旋转三次完成一周,故点,,,……在第三象限,
    ,,,……
    ,,
    ∴,
    ∴点到轴距离为,到轴距离为
    ,,
    故选:D.
    【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转,规律型问题等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.
    【变式2】.(2022·河南信阳·统考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点,将线段作以下变换:以点为旋转中心,将的长变为两倍并逆时针旋转得到,连接;以点为旋转中心,将的长变为两倍并逆时针旋转得到,连接;……依此规律得到线段,则线段的长度为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】先在图上大致画出变化的结果,发现规律,即可得到答案.
    【详解】
    根据题意:




    在中,

    故选:C.
    【点睛】本题考找规律,注意最后用勾股定理求解.
    【变式3】.(2022·广东中山·统考三模)如图,在矩形ABCD中,,,连接AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形,使矩形矩形ADCB;再连接,以对角线为边,按逆时针方向作矩形,使矩形矩形,…,按照此规律作下去,则边的长为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC,,的长,从而可发现规律,根据规律即可求得.
    【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,,,
    ∴,
    ∴.
    ∵按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形,
    ∴矩形的边长和矩形ADCB的边长的比为,
    即,
    ∴,
    ∴ ,
    依此类推,.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,相似多边形的性质,解此题的关键是能根据求出的结果得出规律.
    【变式4】.(2022·河南·校联考三模)如图,在平面直角坐标系中,OA1=OB1,∠A1OB1=120°,将ΔA1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大,每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形.第一次变化后得到等腰三角形A2OB2,点A1(1,0)的对应点为;第二次变化后得到等腰三角形A3OB3,点A2的对应点为;第三次变化后得到等腰三角形A4OB4,点A3的对应点为A4(4,0)⋯⋯依此规律,则第2022个等腰三角形中,点B2022的坐标是( )
    A.(2022,0)B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】利用循环的规律,找到第2022个等腰三角形与第一个循环的图形的第几个位置相同,再根据第一个循环中的点坐标进行求值即可.
    【详解】解:由题意可知,旋转规律为4次一个循环,
    即第2022次为:505个循环余2,
    ∴点B2022位置与B3相同,在第三象限,
    ∵B3坐标为,
    ∴点B2022坐标为,即为.
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查的是坐标系与几何图形的规律问题,准确找到循环规律是解题的关键.
    【变式5】.(2022·河北唐山·统考二模)第一次:将点A绕原点O逆时针旋转90°得到;
    第二次:作点关于x轴的对称点;
    第三次:将点绕原点O逆时针旋转90°得到;
    ……
    第四次:作点关于x轴的对称点;
    按照这样的规律,点的坐标是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】探究规律,利用规律解决问题即可.
    【详解】由题意可得:,,,,,
    4次一个循环,

    坐标与相同,即坐标为,
    故选:A.
    【点睛】本题考查旋转变换,规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法.
    【变式6】.(2022·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测)如图,在等腰中,已知,,且边在直线上.将绕点顺时针旋转到位置①可得到点,此时;将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②,可得到点,此时;将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③,可得到点,此时;···,按此规律继续旋转,直至得到点为止,则 .
    【答案】/
    【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP1=,AP2=1+,AP3=2+,AP4=2+2,AP5=3+2,AP6=4+2,每三个一组,进而找到规律即可.
    【详解】解:观察图形的变化可知:
    AP1=;
    AP2=1+;
    AP3=2+;
    AP4=2+2;
    AP5=3+2;
    AP6=4+2=2(2+);
    ….
    发现规律:
    AP3n=n(2+);
    AP3n+1=n(2+)+;
    AP3n+2=n(2+)++1.
    ∴AP2022=AP674×3=674(2+)=1348+674.
    故答案为:1348+674.
    【点睛】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等,根据题意得出规律是解题的关键.
    【变式7】.(2022·山东潍坊·统考一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,,直角边AO在x轴上,且.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形,且,再将,绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形,且……,依此规律,得到等腰直角三角形,则点的坐标是 .
    【答案】
    【分析】根据题意得出点坐标变化规律,进而得出点的坐标位置,进而得出答案.
    【详解】解:是等腰直角三角形,,


    将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形,且,
    再将Rt△绕原点顺时针旋转得到等腰三角形,且,依此规律,
    每4次循环一周,,,,,

    点与同在一个象限内,
    点,.
    故答案为:,.
    【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质,得出点坐标变化规律是解题关键.
    【变式8】.(2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0,2)变换到点A2(6,0),得到等腰直角三角形②;第二次滚动后点A2变换到点A3(6,0),得到等腰直角三角形③;第三次滚动后点A3变换到点A4(10,4),得到等腰直角三角形④;第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12,0),得到等腰直角三角形⑤;依此规律…,则第2020个等腰直角三角形的面积是 .
    【答案】22020
    【分析】根据A1(0,2)确定第1个等腰直角三角形(即等腰直角三角形①)的面积,根据A2(6,0)确定第1个等腰直角三角形(即等腰直角三角形②)的面积,…,同理,确定规律可得结论.
    【详解】∵点A1(0,2),
    ∴第1个等腰直角三角形的面积==2,
    ∵A2(6,0),
    ∴第2个等腰直角三角形的边长为 =,
    ∴第2个等腰直角三角形的面积==4=,
    ∵A4(10,),
    ∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4,
    ∴第3个等腰直角三角形的面积==8=,

    则第2020个等腰直角三角形的面积是;
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律,熟练掌握方法是关键.
    【变式9】.(2023·四川广安·统考二模)如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点,分别在轴,轴上,且.将正方形绕原点顺时针旋转,并放大为原来的倍,使,得到正方形,再将正方形绕原点顺时针旋转,并放大为原来的倍,使,得到正方形,以此规律继续进行下去,得到正方形,则点的坐标为 .

    【答案】
    【分析】先求出,再按规律进行求解,找出次循环一周坐标变化规律即可求解.
    【详解】解:∵四边形是正方形,,


    ,,,,
    由题意得:每4次循环一周,

    点与在同一个象限内,
    点.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了正方形的性质,点的坐标循环规律探究问题,找出循环规律是解题的关键.
    【变式10】.(2023·四川资阳·统考一模)已知矩形按如图方式放置,且,将矩形OABC绕点C顺时针旋转至矩形处时,为第一次旋转;将矩形绕点顺时针旋转至矩形处时,为第二次旋转;将矩形绕点顺时针旋转至矩形处时,为第三次旋转;…,按此规律,旋转2023次后,所得矩形中右上角顶点的坐标为 .
    【答案】
    【分析】根据题意得出每次旋转后矩形中右上角顶点的坐标变化规律,进而得出旋转2023次后,所得矩形中右上角顶点的坐标,进而得出答案.
    【详解】解:∵四边形是矩形,且,
    ∴,
    ∵第一次将矩形绕右下角顶点C顺时针旋转得到矩形,且,
    第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形,且…,依此规律可得每旋转4次后矩形中右上角顶点的位置重复出现,即
    又,
    ∴旋转2023次后,所得矩形中右上角顶点的横坐标为,纵坐标为1,

    故答案为.
    【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律,得出矩形中右上角顶点的坐标变化规律是解题关键.
    【变式11】.(2022·湖北黄冈·校联考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,为等腰三角形,,,点A与坐标原点重合,点C在x轴正半轴上,将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到,使得点B对应点在x轴上,记为第一次旋转,再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到,使得点对应点在x轴上,以此规律旋转,则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 .
    【答案】
    【分析】过点A作AD⊥BC于点D,根据AB=AC=5,BC=8,得到BD=CD=BC=4,推出,根据,,,,,,,…,得到每3次是一个循环组,根据,得到在竖直方向的位置与的位置相同,纵坐标为3,第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为,得到第2023次旋转后钝角顶点坐标为.
    【详解】过点A作AD⊥BC于点D,
    ∵AB=AC=5,BC=8,
    ∴BD=CD=BC=4,
    ∴,
    由题意,,,,,,,…,
    每3次是一个循环组,,
    ∴在竖直方向的位置与的位置相同,纵坐标为3,
    ∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为,
    ∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为.
    故答案为(12141,3)
    【点睛】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动,解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质,勾股定理,熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律,运用得到的规律解答.
    一.轴对称图形(共2小题)
    1.(2023•云南)中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.下列四个选项中,是轴对称图形的为
    A.B.C.D.
    【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
    【解答】解:、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    、是轴对称图形,故此选项符合题意;
    、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    故选:.
    【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念,熟知:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.这条直线是它的对称轴.
    2.(2023•衡阳)下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是
    A.B.C.D.
    【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
    【解答】解:、,选项中的图形都不能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
    选项中的图形能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
    故选:.
    【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
    二.关于x轴、y轴对称的点的坐标(共4小题)
    3.(2023•临沂)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花,如图所示.若,两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为,轴的平面直角坐标系内,若点的坐标为,则点的坐标为
    A.B.C.D.
    【分析】关于轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,据此可得答案.
    【解答】解:若,两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为,轴的平面直角坐标系内,若点的坐标为,则点的坐标为.
    故选:.
    【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)关于轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数.
    4.(2023•怀化)在平面直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标是
    A.B.C.D.
    【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数.即点关于轴的对称点的坐标是,进而得出答案.
    【解答】解:点关于轴对称的点的坐标是.
    故选:.
    【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质,正确掌握关于轴对称点的坐标特点是解题关键.
    5.(2023•聊城)如图,在直角坐标系中,各点坐标分别为,,.先作关于轴成轴对称的△,再把△平移后得到△.若,则点坐标为
    A.B.C.D.
    【分析】先根据轴对称的性质求出,,的坐标,根据平移的性质即可求出的坐标.
    【解答】解:,,关于轴对称的点的坐标为,,,
    又,
    平移规律为向右平移3个单位,向上平移4个单位,
    点坐标为,即.
    故选:.
    【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标,坐标与图形变化平移,解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质.
    6.(2023•金华)如图,两盏灯笼的位置,的坐标分别是,,将点向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到点,则关于点,的位置描述正确的是
    A.关于轴对称B.关于轴对称
    C.关于原点对称D.关于直线对称
    【分析】根据平移规律确定的坐标即可得出结论.
    【解答】解:点由点向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到
    此时坐标为.
    与关于轴对称.
    故选:.
    【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性,掌握规律轻松解答,属于基础题型.
    三.作图-轴对称变换(共1小题)
    7.(2023•安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点,,,均为格点(网格线的交点).
    (1)画出线段关于直线对称的线段;
    (2)将线段向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段,画出线段;
    (3)描出线段上的点及直线上的点,使得直线垂直平分.
    【分析】(1)根据轴对称的性质画出图形即可;
    (2)根据平移的性质画出图形即可;
    (3)根据线段垂直平分线的作法画出图形即可.
    【解答】解:(1)线段如图所示;
    (2)线段如图所示;
    (3)直线即为所求.
    【点评】本题考查了作图轴对称变换:几何图形都可看作是由点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的.也考查了线段垂直平分线的性质.
    四.利用轴对称设计图案(共1小题)
    8.(2023•泰州)书法是我国特有的优秀传统文化,其中篆书具有象形特征,充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中,可以看作轴对称图形的是
    A.B.C.D.
    【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
    【解答】解:,,选项中的图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
    选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
    故选:.
    【点评】本题考查了利用轴对称设计图案,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
    五.翻折变换(折叠问题)(共5小题)
    9.(2023•浙江)如图,已知矩形纸片,其中,,现将纸片进行如下操作:
    第一步,如图①将纸片对折,使与重合,折痕为,展开后如图②;
    第二步,再将图②中的纸片沿对角线折叠,展开后如图③;
    第三步,将图③中的纸片沿过点的直线折叠,使点落在对角线上的点处,如图④.则的长为
    A.B.C.D.
    【分析】过点作于点,根据勾股定理求得,由折叠可知,,,进而得出,,利用等角的余角相等可得,则,于是可得,由等腰三角形的性质可得,易证明,利用相似三角形的性质即可求解.
    【解答】解:如图,过点作于点,
    四边形为矩形,,,
    ,,
    在中,,
    根据折叠的性质可得,,,,,

    为等腰三角形,,



    为等腰三角形,,


    ,,


    ,即,


    故选:.
    【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,根据矩形和折叠的性质推理论证出,以此得出点为的中点是解题关键.
    10.(2023•襄阳)如图,在中,,点是的中点,将沿折叠得到,连接.若于点,,则的长为 .
    【分析】取中点,连接,作,,设,由折叠的性质得到,得到,从而推导出,由三角形中位线定理得到,从而推导出,得到四边形是正方形,,,最后利用勾股定理解答即可.
    【解答】解:取中点,连接,过点作于点,于点.
    设,,则.

    ,,.
    又由折叠得,,

    ,即,

    解得:,

    是中点,,
    是的中位线,


    由折叠知,,
    在和中,






    又,且,


    四边形是正方形,


    在中,,

    解得:,
    ,,即,,
    在中,.
    【点评】本题考查了折叠的性质,垂直平分线的性质,勾股定理等,解答本题的关键是设边长,根据勾股定理列方程求解.
    11.(2023•辽宁)如图,在三角形纸片中,,,点是边上的动点,将三角形纸片沿对折,使点落在点处,当时,的度数为 或 .
    【分析】分两种情况,一是点在直线的下方,则,所以,则;二是点在直线的上方,则,所以,于是得到问题的答案.
    【解答】解:当点在直线的下方,如图1,



    将三角形纸片沿对折,使点落在点处,



    当点在直线的上方时,如图2,


    将三角形纸片沿对折,使点落在点处,


    故答案为:或.
    【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识,正确地求出的度数是解题的关键.
    12.(2023•徐州)如图,在中,,,点在边上.将沿折叠,使点落在点处,连接,则的最小值为 .
    【分析】由折叠性质可知,然后根据三角形的三边不等关系可进行求解.
    【解答】解:,,

    由折叠的性质可知,

    当、、三点在同一条直线时,取最小值,最小值即为,
    故答案为.
    【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系,熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键.
    13.(2023•成都)如图,在中,,平分交于点,过作交于点,将沿折叠得到,交于点.若,则 .
    【分析】过点作于,证明,得出,根据,得,设,,,,则,在 中,,在中 ,则 ,解方程求得 ,则 ,,用勾股定理求得,根据正切的定义,即可求解.
    【解答】解:过点作于,如图,
    平分交于点,,
    ,,


    将沿折叠得到,


    又,



    ,,


    ,,


    设,,则,,


    在中,,
    在中,,

    即,
    解得:,




    故答案为:.
    【点评】本题考查了求正切,折叠的性质,勾股定理,平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    六.胡不归问题(共1小题)
    14.(2023•湘西州)如图,是等边三角形的外接圆,其半径为4.过点作于点,点为线段上一动点(点不与,重合),则的最小值为 6 .
    【分析】过点作,连接并延长交于点,连接,根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到,,然后利用含角直角三角形的性质得到,进而求出,然后利用代入求解即可.
    【解答】如图所示,过点作,连接并延长交于点,连接
    是等边三角形,,

    是等边三角形的外接圆,其半径为4,
    ,,





    ,,

    的最小值为的长度,
    是等边三角形,,,

    的最小值为6.
    故答案为:6.
    【点评】此题考查了圆内接三角形的性质,等边三角形的性质,含角直角三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
    七.利用平移设计图案(共1小题)
    15.(2023•郴州)下列图形中,能由图形通过平移得到的是
    A.B.
    C.D.
    【分析】根据平移的定义逐个判断即可.
    【解答】解:由平移定义得,平移只改变图形的位置,
    观察图形可知,选项中图形是由图形通过平移得到,
    ,,均不能由图形通过平移得到,
    故选:.
    【点评】本题考查了平移的性质的应用,熟练掌握平移的性质是解题关键.
    八.生活中的旋转现象(共1小题)
    16.(2023•金昌)如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后,黄河两岸人民纷纷仿制,车水灌田,水渠纵横,沃土繁丰.而今,兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观,是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图,水车轮的辐条(圆的半径)长约为6米,辐条尽头装有刮板,刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗,当水流冲动水车轮刮板时,驱使水车徐徐转动,水斗依次舀满河水在点处离开水面,逆时针旋转上升至轮子上方处,斗口开始翻转向下,将水倾入木槽,由木槽导入水渠,进而灌溉,那么水斗从处(舀水)转动到处(倒水)所经过的路程是 米.(结果保留
    【分析】根据弧长公式直接代入数值求解.
    【解答】解:(米.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况,难度不大,认真计算即可.
    九.旋转的性质(共6小题)
    17.(2023•无锡)如图,中,,将逆时针旋转,得到,交于.当时,点恰好落在上,此时等于
    A.B.C.D.
    【分析】由旋转的性质可得,,,,由等腰三角形的性质可求,由三角形内角和定理可求解.
    【解答】解:将逆时针旋转,得到,
    ,,,,



    故选:.
    【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
    18.(2023•天津)如图,把以点为中心逆时针旋转得到,点,的对应点分别是点,,且点在的延长线上,连接,则下列结论一定正确的是
    A.B.C.D.
    【分析】由旋转的性质可得,,由三角形内角和定理可得.
    【解答】解:如图,设与的交点为,
    把以点为中心逆时针旋转得到,
    ,,
    又,

    故选:.
    【点评】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
    19.(2023•通辽)如图,将绕点逆时针旋转到,旋转角为,点的对应点恰好落在边上,若,,则旋转角的度数为
    A.B.C.D.
    【分析】由旋转的性质可得,,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
    【解答】解:,,

    将绕点逆时针旋转到,
    ,,

    故选:.
    【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.
    20.(2023•张家界)如图,为的平分线,且,将四边形绕点逆时针方向旋转后,得到四边形,且,则四边形旋转的角度是 .
    【分析】依据为的平分线可知,,依据旋转的性质可知,旋转角为,代入数据即可得解.
    【解答】解:为的平分线,,

    依据旋转的性质可知,旋转角为,

    故答案为:.
    【点评】本题考查了旋转的性质,熟练运用旋转的性质是解答本题的关键.
    21.(2023•北京)在中,,于点,是线段上的动点(不与点,重合),将线段绕点顺时针旋转得到线段.
    (1)如图1,当点在线段上时,求证:是的中点;
    (2)如图2,若在线段上存在点(不与点,重合)满足,连接,,直接写出的大小,并证明.
    【分析】(1)由旋转的性质得,,利用三角形外角的性质求出,可得,等量代换得到即可;
    (2)延长到使,连接,,可得是的中位线,然后求出,设,,求出,证明,得到,再根据等腰三角形三线合一证明即可.
    【解答】(1)证明:由旋转的性质得:,,




    ,即是的中点;
    (2),
    证明:如图,延长到使,连接,,

    是的中位线,
    ,,
    由旋转的性质得:,,


    ,是等腰三角形,

    设,,则,,






    在和中,




    ,即,
    【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,旋转的性质,三角形外角的性质,三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识,作出合适的辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.
    22.(2023•自贡)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,,分别是斜边,的中点,,.
    (1)将绕顶点旋转一周,请直接写出点,距离的最大值和最小值;
    (2)将绕顶点逆时针旋转(如图,求的长.
    【分析】(1)以为圆心,长为半径画圆,连接交于,延长交圆于,由等腰直角三角形的性质,推出平分,,是中点,,即可求出、距离的最小值和最大值;
    (2)连接,,作交延长线于,由等腰直角三角形的性质推出,,由旋转的性质得到,由直角三角形的性质得到,,由勾股定理即可求出.
    【解答】解:(1)以为圆心,长为半径画圆,连接交于,延长交圆于,
    是等腰直角三角形,是中点,
    平分,,
    是等腰直角三角形,
    是中点,

    、距离的最小值是,、距离的最大值是.
    (2)连接,,作交延长线于,
    是等腰直角三角形,是中点,

    同理:,
    绕顶点逆时针旋转,






    【点评】本题考查等腰直角三角形,勾股定理,旋转的性质,关键是以为圆心,的长为半径作辅助圆;通过作辅助线构造直角三角形.
    一十.中心对称(共1小题)
    23.(2023春•兴化市月考)如图,正方形网格中,的顶点均在格点上,请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题:
    (1)△与关于坐标原点成中心对称,则的坐标为 .
    (2)△的面积为 .
    (3)将绕某点逆时针旋转后,其对应点分别为,,,则旋转中心的坐标为 .
    【分析】(1)根据关于原点成中心对称的点的特征求救;
    (2)利用割补法求三角形的面积;
    (3)利用作图观察求解.
    【解答】解:(1),

    故答案为:.
    (2)△的面积为:
    故答案为:2.5.
    (3)根据旋转的性质,旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上,所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心.
    所以旋转中心的坐标为:.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了函数图象与坐标的关系,结合三角形的面积,中心对称来求解是解题的关键.
    一十一.中心对称图形(共2小题)
    24.(2023•宜昌)我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中,中心对称图形是
    A.B.
    C.D.
    【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
    【解答】解:选项、、都不能找到一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.
    选项能找到一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.
    故选:.
    【点评】本题考查的是中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
    25.(2023•广西)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是
    A.B.
    C.D.
    【分析】根据中心对称图形的概念解答即可.
    【解答】解:、图形是中心对称图形,符合题意;
    、图形不是中心对称图形,不符合题意;
    、图形不是中心对称图形,不符合题意;
    、图形不是中心对称图形,不符合题意.
    故选:.
    【点评】本题考查的是中心对称图形,熟知把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键.
    一十二.关于原点对称的点的坐标(共1小题)
    26.(2023•凉山州)点关于原点对称的点的坐标是
    A.B.C.D.
    【分析】根据平面直角坐标系中任意一点,关于原点的对称点是,即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数.
    【解答】解:点关于原点对称的点的坐标是.
    故选:.
    【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质,正确把握横纵坐标的关系是解题关键.
    一十三.坐标与图形变化-旋转(共4小题)
    27.(2023•海南)如图,在平面直角坐标系中,点在轴上,点的坐标为,将绕着点顺时针旋转,得到,则点的坐标是
    A.,B.,C.D.
    【分析】作轴于,再利用旋转的性质求出,根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出,利用勾股定理列式求出,然后求出点的横坐标,再写出点的坐标即可.
    【解答】解:作轴于,
    点的坐标为,


    ,,

    ,.
    故选:.
    【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转,解直角三角形,求出、的长度是解题的关键.
    28.(2023•内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,点坐标,连接,将绕点逆时针旋转,得到,则点的坐标为 .
    【分析】分别过点、向轴作垂线,垂足分别为、.
    (方法一)利用证明△,根据对应边相等求解;
    (方法二)利用直角形中,互余的两个角的三角函数之间的关系求解.
    【解答】解:分别过点、向轴作垂线,垂足分别为、.
    (方法一),

    又,

    在和△中,

    △,
    ,,
    点的坐标为.
    (方法二)根据题意,得.


    ,.
    点的坐标为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查坐标与图形的变化旋转,利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键.
    29.(2023•兰州)如图,将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转,使,落在数轴上,点,在数轴上对应的数字分别为、,则 .
    【分析】利用正方形的面积求得,,根据旋转的性质得出,,从而求得.
    【解答】解:正方形和正方形的面积分别为7和9,
    ,,
    ,,

    故答案为:.
    【点评】本题考查了正方形的性质,旋转的性质,数形结合是解题的关键.
    30.(2023•宿迁)如图,是正三角形,点在第一象限,点、.将线段绕点按顺时针方向旋转至;将线段绕点按顺时针方向旋转至;将线段绕点按顺时针方向旋转至;将线段绕点按顺时针方向旋转至;以此类推,则点的坐标是 .
    【分析】首先画出图形,发现旋转3次为一循环,由此得到点在射线延长线上,点在轴正半轴上,然后利用旋转的性质得到,最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可.
    【解答】解:如图,画出前4次旋转后点的位置,
    由图象可得,点,在轴正半轴上,
    旋转3次为一个循环,

    点在射线延长线上,点在轴正半轴上,
    ,是正三角形,
    由旋转的性质可得,,







    同理可得,,,



    由旋转的性质可得,,
    如图,过点作轴于点,



    ,,
    点的坐标是.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了坐标与图形变化,旋转,勾股定理,等边三角形的性质等知识,正确确定每次旋转后,点与旋转中心的距离是解题的关键.
    一十四.作图-旋转变换(共3小题)
    31.(2023•达州)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,的顶点均在小正方形的格点上.
    (1)将向下平移3个单位长度得到△,画出△;
    (2)将绕点顺时针旋转90度得到△,画出△;
    (3)在(2)的运动过程中请计算出扫过的面积.
    【分析】(1)按平移变换的性质分别确定,,平移后的位置,再按原来的连接方式连接即可;
    (2)按旋转变换的性质分别确定,,绕点顺时针旋转90度后的位置,再按原来的连接方式连接即可;
    (3)将扫过的面积用规则图形的面积和差表示,求出即可.
    【解答】解:(1)△如图所示;
    (2)△如图所示;
    (3),


    在(2)的运动过程中扫过的面积.
    【点评】本题考查网格作图平移、旋转,以及网格中图形面积的计算,解题涉及平移的性质,旋转的性质,勾股定理,扇形面积公式,掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键.
    32.(2023•宜昌)如图,在方格纸中按要求画图,并完成填空.
    (1)画出线段绕点顺时针旋转后得到的线段,连接;
    (2)画出与关于直线对称的图形,点的对称点是;
    (3)填空:的度数为 .
    【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点的对称点,从而得到;
    (2)延长到点使,则满足条件;
    (3)先根据旋转的性质得到,,则可判断为等腰直角三角形,所以,然后利用对称的性质得到的度数.
    【解答】解:(1)如图,为所作;
    (2)如图,为所作;
    (3)线段绕点顺时针旋转后得到的线段,
    ,,
    为等腰直角三角形,

    与关于直线对称,

    故答案为:.
    【点评】本题考查了作图旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了轴对称变换.
    33.(2023•宁波)在的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).
    (1)在图1中先画出一个以格点为顶点的等腰三角形,再画出该三角形向右平移2个单位后的△.
    (2)将图2中的格点绕点按顺时针方向旋转,画出经旋转后的△.
    【分析】(1)根据等腰三角形的定义,平移变换的性质作出图形即可;
    (2)根据旋转变换的性质作出图形即可.
    【解答】解:(1)如图1,△即为所求;
    (2)如图2,△即为所求.
    【点评】本题考查作图旋转变换,平移变换,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
    一十五.几何变换综合题(共5小题)
    34.(2023•巴中)综合与实践.
    (1)提出问题.如图1,在和中,,且,,连接,连接交的延长线于点.
    ①的度数是 .
    ② .
    (2)类比探究.如图2,在和中,,且,,连接、并延长交于点.
    ①的度数是 ;
    ② .
    (3)问题解决.如图3,在等边中,于点,点在线段上(不与重合),以为边在的左侧构造等边,将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,为的中点,为的中点.
    ①说明为等腰三角形.
    ②求的度数.
    【分析】(1)(2)从图形可辩知,这个是手拉手全等或相似模型,按模型的相关结论解题.
    (3)稍有变化,受前两问的启发,连接、完成手拉手的构造,再结合三角形中位线知识解题.
    【解答】解:(1)①,


    又,,





    即:,

    故的度数是.
    ②由①得,

    故.
    (2)①,,

    又,

    ,.





    故 的度数是.
    ②由①得:.

    ,且,



    (3)①解:连接、,延长交于点,交于点.
    在等边中,又于点,
    为的中点,
    又为的中点,为的中点,
    、分别是、的中位线,
    ,.



    在和中,




    为等腰三角形.
    ②,

    由(1)(2)规律可知:,

    又,,

    【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质.方法灵活多变,需要较强的构造能力.
    35.(2023•重庆)如图,在等边中,于点,为线段上一动点(不与,重合),连接,,将绕点顺时针旋转得到线段,连接.
    (1)如图1,求证:;
    (2)如图2,连接交于点,连接,,与所在直线交于点,求证:;
    (3)如图3,连接交于点,连接,,将沿所在直线翻折至所在平面内,得到,将沿所在直线翻折至所在平面内,得到,连接,.若,直接写出的最小值.
    【分析】(1)根据旋转的性质得出,,进而证明 ,即可得证;
    (2)过点作,交点的延长线于点,连接,,证明四边形四边形是平行四边形,即可得证;
    (3)如图所示,延长,交于点,由(2)可知是等边三角形,根据折叠的性质可得,,进而得出是等边三角形,由(2)可得 ,得出四边形是平行四边形,则.进而得出 ,则,当取得最小值时,即时,取得最小值,即可求解.
    【解答】(1)证明:为等边三角形,
    ,,
    将绕点顺时针旋转得到线段,
    ,,
    是等边三角形,




    (2)证明:如图所示,过点作,交点的延长线于点,连接,,
    是等边三角形,



    垂直平分,

    又,
    ,,

    在的垂直平分线上,

    在的垂直平分线上,
    垂直平分,
    ,,

    又,,
    是等边三角形,



    又,,



    在与中,




    四边形是平行四边形,

    解法二:连接,证明,可得结论.
    (3)解:依题意,如图所示,延长,交于点,
    由(2)可知是等边三角形,

    将沿所在直线翻折至所在平面内,得到,将沿所在直线翻折至所在平面内,得到,
    ,,

    是等边三角形,

    由(2)可得,





    四边形是平行四边形,

    由(2)可知是的中点,则,


    折叠,


    又,

    当取得最小值时,即时,取得最小值,此时如图所示,



    解法二:由两次翻折,推得,则,
    由,推出的最小值,只需要求出的最小值,
    当时,的值最小,最小值为1,
    的最小值为.
    【点评】本题考查了等边三角形的性质,旋转的性质,轴对称的性质,勾股定理,平行四边形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    36.(2023•贵州)如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形中,,,过点作射线,垂足为,点在上.
    (1)【动手操作】
    如图②,若点在线段上,画出射线,并将射线绕点逆时针旋转与交于点,根据题意在图中画出图形,图中的度数为 135 度;
    (2)【问题探究】
    根据(1)所画图形,探究线段与的数量关系,并说明理由;
    (3)【拓展延伸】
    如图③,若点在射线上移动,将射线绕点逆时针旋转与交于点,探究线段,,之间的数量关系,并说明理由.
    【分析】(1)根据题意画出图形,由,,得,而,即得;
    (2)过作交于,证明是等腰直角三角形,得,,即可证,故;
    (3)当在线段上时,过作交于,结合(2)可得;当在线段的延长线上时,过作交于,证明是等腰直角三角形,可得,,,,即可证,,根据,即得.
    【解答】解:(1)画出图形如下:
    ,,




    故答案为:135;
    (2),理由如下:
    过作交于,如图:

    是等腰直角三角形,
    ,,
    ,即,,




    (3)当在线段上时,过作交于,如图:
    由(2)可知,,,




    当在线段的延长线上时,过作交于,如图:
    ,,

    是等腰直角三角形,,
    ,,,







    综上所述,当在线段上时,;当在线段的延长线上时,.
    【点评】本题考查几何变换综合应用,涉及等腰直角三角形,旋转变换,全等三角形的判定与性质等知识,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形解决问题.
    37.(2023•辽宁)是等边三角形,点是射线上的一点(不与点,重合),连接,在的左侧作等边三角形,将线段绕点逆时针旋转,得到线段,连接,交于点.
    (1)如图1,当点为中点时,请直接写出线段与的数量关系;
    (2)如图2,当点在线段的延长线上时,请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
    (3)当,时,请直接写出的长.
    【分析】(1)可证得,进一步得出结果;
    (2)连接,可证明,从而,,进而得出,从而得出,从而,结合得出四边形是平行四边形,从而得出;
    (3)分为两种情形:当点在的延长线上时,作于,可得出,,从而,进而得出,进一步得出结果;当点在上时,作于,可得出,,进一步得出结果.
    【解答】解:(1)是等边三角形,点是的中点,
    ,,

    是等边三角形,




    (2)如图1,
    仍然成立,理由如下:
    连接,
    和是等边三角形,
    ,,,



    ,,





    四边形是平行四边形,

    (3)如图2,
    当点在的延长线上时,
    作于,





    由(2)知:,




    如图3,
    当点在上时,
    作于,
    由上知:,,



    综上所述:或.
    【点评】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,直角三角形的性质等知识,解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型.
    38.(2023•辽宁)在中,,,点为的中点,点在直线上(不与点,重合),连接,线段绕点逆时针旋转,得到线段,过点作直线,过点作,垂足为点,直线交直线于点.
    (1)如图1,当点与点重合时,请直接写出线段与线段的数量关系;
    (2)如图2,当点在线段上时,求证:;
    (3)连接,的面积记为,的面积记为,当时,请直接写出的值.
    【分析】(1)连接,由,,得,根据线段绕点逆时针旋转,得到线段,有,,可得,从而,,知是等腰直角三角形,,故;
    (2)由,,为的中点,得,,证明,得,根据,即得;
    (3)由,设,则,分两种情况:当在线段上时,延长交于,由,得,而四边形是矩形,有,,根据勾股定理可得,故,,即得;当在射线上时,延长交于,同理可得.
    【解答】(1)解:,理由如下:
    连接,如图:
    ,,

    线段绕点逆时针旋转,得到线段,
    ,,


    ,,
    直线,

    是等腰直角三角形,


    (2)证明:如图,
    ,,为的中点,
    ,,


    直线,直线,









    (3)解:由,设,则,
    当在线段上时,延长交于,如图:
    由(2)知,


    四边形是矩形,
    ,,









    当在射线上时,延长交于,如图:
    同理可得,



    ,,为的中点,







    综上所述,的值为或.
    【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题,涉及三角形全等的判定于性质,矩形的判定与性质,三角形面积等知识,解题的关键是分类讨论思想的应用.

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