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通用版小学数学六年级上册拓展培优讲义专题16数与形（含答案）
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这是一份通用版小学数学六年级上册拓展培优讲义专题16数与形（含答案），共33页。
妙招演练
1．数与形结合是一种重要的数学思想，认真观察下面的图形，“2020”这个数在_______个三角形的_______顶点处。应选（ ）。
A．673，左下B．674，上C．673，右下D．674，左下
2．用白色和灰色小正方形按下面规律排成大正方形。
……
第一幅 第二幅 第三幅
第五幅图一共用了（ ）个灰色小正方形。
A．19B．21C．25D．36
3．下图是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护话题的电话最多，共 SKIPIF 1 < 0 个。则本周“百姓热线”共接到热线电话有（ ）。
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
4．观察数列的排列规律，然后从四个选项中选出你认为最合理的一项，来填补空缺项：1 2 4 8 16（ ）
A．32B．24C．64D．20
5．仔细分析，后面的第10个方框里有（ ）个点。
A．36B．37C．38D．40
6．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1得数相同的算式是（ ）。
A．42B．52＋32C．52－32
7．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出m的值是（ ）。
A．86B．74C．52
8．照这样排下去，第六个图形里会有( )个小三角形.
A．25B．30C．36D．47
9．根据下图中的规律，第4幅图中有（ ）个点。
A．9B．13C．14D．16
10．2.22，2.30，2.38，2.46，（ ）括号里应填（ ）
A．2.22B．2.50C．2.54
11．中。△和▲相比（ ）。
A．△比▲多 B．▲比△多 C．▲和△同样多
12．照下图这样画下去，第10个图形有（ ）个●。
A．54B．55C．56
13．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（ ）。
A．5＋3B．42C．52＋32D．52－32
14．一列数3、3、5、7、3、3、5、7…，第2011个数是（ ）。
A．3B．1C．5D．7
15．用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（ ）根小棒
A．20B．24C．25
16．像下面这样摆15个正方形，需要（ ）根小棒。
A．60B．50C．46D．45
17．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒……，第10个图形有（ ）根小棒。
A．45B．60C．51D．59
18．在一个平面上有68个点，一共可以连（ ）条线段。
A．68B．2278C．2346D．1190
19．如图所示，用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个蝴蝶图案，则第7个蝴蝶图案中白色地砖有（ ）。
A．35块B．27块C．22块D．7块
20．如图：
照这样画，第12幅图有（ ）个三角形。
A．18B．20C．22D．24
21．观察并填空。
1.
2. 第4个“F”图形需用________个正方形拼成。
3. 第n个“F”图形需用________个正方形拼成。
22．
第4幅图有( )个△，第10幅图有( )个△。
23．观察图形，完成填空。
按这样的规律，第5幅图有( )个这样的“●”，第( )幅图有55个这样的“●”。
24．有一个正六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边2个点，第三层每边3个点，…这个六边形点阵第28层上面共有_____个点，第100层_____个点。
25．用6根火柴棒摆出图①，接下来摆放方式如：，那么，第10个图形需要( )根火柴棒，第n个图形需要( )根火柴棒。
26．要反映某种股票的涨跌情况最好制成( )统计图。
27．像这样用小棒摆六边形。照这样的规律摆下去，摆8个六边形需要( )根小棒，摆 SKIPIF 1 < 0 个六边形需要( )根小棒。
28．按照下面的样子拼摆图案。第一个图案用1朵小花拼摆，第二个图案用5朵小花拼摆……第五个图案用( )朵小花拼摆，第n个图案用( )朵小花拼摆。
29．如图所示，4个同样的杯子摞起来高是30厘米，7个摞起来高是39厘米．如果12个这样的杯子摞在一起，高是( )厘米．
30．数学课上，笑笑在用小棒摆连续的三角形时（如下图），发现了n个三角形需要的小棒根数可以这样列式：1＋2n。1＋2n中的“2”表示( )。
31．找规律填一填，画一画．
（1）_____、_____．
（2）3、6、9、12、_____、_____．
（3）80、40、_____、10、_____．
（4）1、3、9、_____、81、_____．
32．根据下面图形的变化规律完成填空。
……
(1)第( )幅图中有28个●；
(2)第n幅图中有( )个●。
33．下面是“宝塔”图，它们的层数不同，但都是由相同的小三角形组成的，那么5层“宝塔”的最下层含( )个三角形，整个5层“宝塔”有( )个三角形。
34．如图，把完全一样的梯形桌拼起来。
1张梯形桌可以坐5人，2张梯形桌拼成的长桌可以坐8人，……，6张梯形桌拼成的长桌可以坐( )人。按这样拼下去，坐74人需要拼( )张梯形桌。
35．小明想要用棱长为1cm的小正方体搭建台阶(如图)，他已搭建的台阶．分别有2cm，3cm 和4cm高．如果小明一直这样搭下去，当用了105个方块时，他搭的台阶有_____cm高．
36．找规律填数。
37．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成……照这样接着画下去，第10个图案由( )个组成，第n个图案由( )个组成。
38．填一填，想一想
39．○●●△△□○●●△△□……，按这样的规律画下去，第35个图形是( )，第61个图形是( )．
40．用同样长的小棒按下面的规律摆出图形。摆第5个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。
41．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
①第5个图形中有多少颗黑色棋子？
②第几个图形中有2013颗黑色棋子？
42．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。
（1）填写下列表格。
（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么白瓷砖用了多少块？
（3）如果所拼的图形中，用了n2块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？
43．小明、小强、小丽、小芳、和小琼进行象棋比赛，每两人之间都要下一盘．小明、小强都已经下了4盘，小丽、小芳都已经下了3盘，小琼下的盘数最少．请问：小琼下了几盘？分别和谁下的？
44．
（1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（ ）枚。（用含n的代数式表示）
（2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。
45．在式子□÷8 = 9……○中，可以出现多少种不同的形式，你能把它们都写出来吗?
46．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释 SKIPIF 1 < 0 的算理。
（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。
①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。
②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ）
③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（ ）。
47．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？
48．一张桌子摆4把椅子，两张桌子并起来摆6把椅子……照这样摆下去。
（1）6张桌子可以摆多少把椅子？
（2）n张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（ ）把。
（3）如果有34人，需要并起来多少张桌子才能坐下？
49．观察下面按规律排成的一列数：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…
(1)若将左起第m个数记为f（m），当f(m)= SKIPIF 1 < 0 时，求m的值和这m个数的积．
(2)在数列中，未经约分且分母为2的数记为a，它后面的一个数记为b，若存在这样的a和b，使ab=20100，求a和b．
50．六年级同学去春游，租了2只同样的大船和5只同样的小船，正好坐满100人．每只大船比小船多坐8人，每只小船可以坐多少人？
51．张林带着他心爱的小狗去外婆家．他步行的速度是每分钟80米，小狗以每分钟200米的速度奔向了外婆家．小狗过了8分钟到达外婆家后又立刻返回，路上遇见张林后它又返回奔向外婆家…… 就这样它不停来回跑．当张林到达外婆家时，小狗总共跑了多少米？
52．如下图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？
53．把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使得每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。已知中间圆圈填的数为1，那么每条直线的和是多少？
54．1+2+3+……+99 = ？说一说你的计算方法．
55．如图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的．仔细观察后，请回答：
（1）五层的“宝塔”最下层包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
56．六(1)班有八名同学进行乒乓球比赛,如果每两名同学之间都要进行一场比赛,一共要比赛多少场?怎样推算呢?
从简单的情况开始研究,运用画图法解答:
57．已知规律如下图，
问：2013正下方是多少？
58．仔细观察表3，完成下列问题。
（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。
（2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式表示这两个数之间的关系（ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置如图2）。
（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上 SKIPIF 1 < 0 。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。）
59．某地区8支代表队参加篮球比赛，比赛分为两个阶段．
(1)第一阶段：8个队分为两组，每组进行单循环比赛，决出前两名参加第二阶段的比赛．每个小组第一阶段有多少场比赛？
(2)第二阶段：四个队进行单淘汰赛制，决出冠亚军．请你算一算，决出冠亚军．第一阶段和第二阶段共需多少场比赛？
60．“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。
（1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？
（2）填出第5行两个括号中的数。
妙招总结
通过不同事物的某些相似性逆向类推出其他的相似性的方法，叫做逆向类推法。解答数形结合问题时,先仔细观察算式的特点,找出其中隐含的规律,再解答。
数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
图形
……
正方形的个数
( )
( )
( )
……
大正方形每边的瓷砖块数
3
4
5
6
7
…
花瓷砖块数
8
…
序号
1
2
3
4
……
图形
……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
……
……
①1
②1+2=3
③1+2+3=6
④1+2+3+4=10
……
参考答案：
1．B
【分析】从上图中发现：每一个三角形有3个顶点，用2020÷3＝673（个）……1（个）也就是在第673个三角形后还余1个顶点，1个顶点正好在第674个三角形的上顶点处。
【详解】由分析可得，
2020÷3＝673（个）……1（个）
所以，“2020”这个数在674个三角形的上顶点处。
故选：B
【点睛】此题考查的是数与形结合找规律，找出规律是解题关键。
2．B
【详解】通过已知条件图形的排列规律可知：每个大正方形n是由白色和灰色两种小正方形组合而成的．白色小正方形用a表示，灰色小正方形用b表示；
第一幅：n1＝1a＋3b；第二幅：n2＝（1＋5）a＋3b；第三幅：n3＝（1＋5）a＋（3＋7）b；第四幅：n4＝（1＋5＋9）a＋（3＋7）b；第五幅：n5＝（1＋5＋9）a＋（3＋7＋11）b……以此类推即可。
第五幅灰色小正方形的个数：b5＝3＋7＋11＝21（个）
故答案为：B
3．B
【分析】热线电话总数×35%＝环境保护话题的电话数，根据此关系式求出电话总数即可。
【详解】70÷35%＝200（个）
故答案为：B。
【点睛】用已知量除以已知量占单位“1”的百分之几，即可求出单位“1”。
4．A
【详解】略
5．B
【分析】根据图得出第n个图中共有1＋4（n－1）个点，则第10个图中有1＋4×（10－1）＝37个点。
【详解】1＋4×（10－1）
＝1＋4×9
＝1＋36
＝37
故选B。
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。
6．B
【分析】先求出1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1的结果，然后观察算式的规律，1、3、5、7、9构成了等差数列，1＋3＋5＋7＋9＝5²，5＋3＋1＝3²，依此即可求解。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋9）×5÷2＋（5＋1）×3÷2
＝25＋9
＝52＋32
＝34
故答案为：B
【点睛】在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
7．A
【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数。因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10；然后求出m的值即可。
【详解】第四图左下角的数是：6＋2＝8；
右上角的数是：8＋2＝10；
那么右下角的数m就是：10×8＋6＝86
故答案为：A。
【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
8．C
【详解】第一个图形：1×1=1(个)，第二个图形：2×2=4(个)……，规律：小三角形的个数=图形个数×图形个数，根据这个规律计算小三角形的个数即可.
9．D
【分析】观察已知图形，得出一般性规律，写出即可。
【详解】如图，第1个图形中有1个点，即1×1；
第2个图形中有1＋3＝4个点，即2×2；
第3个图形中有1＋3＋5＝9个点，即3×3；
第4个图形中有1＋3＋5＋7＝16个点，即4×4；
……
第n个图形中有n×n个点；
故答案选：D。
【点睛】此题考查了图形的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键。
10．C
【详解】2.46+0.08＝2.54
故选C．
11．C
【解析】观察外面图形的特征，图形是两个两个为一组，根据图形的规律确定两种图形的个数即可。
【详解】图形按2个▲，2个△排列，最前面是2个▲，最后面是2个△。所以△和▲同样多。
故答案为：C。
【点睛】解这类题时，先找到图形的排列规律，后根据规律解题即可。
12．B
【解析】第1个图形有1个●；
第2个图形有1＋2个●；
第3个图形有1＋2＋3个●；
第4个图形有1＋2＋3＋4个●；
第n个图形有1＋2＋3＋4＋……＋n个●；
据此解答。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）×5
＝11×5
＝55（个）
第10个图形有55个●。
故选：B。
【点睛】根据前四个图形找出规律，再根据规律来解答问题。
13．C
【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1）
＝52＋32
＝25＋9
＝34
所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。
故答案为：C
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
14．C
【解析】3、3、5、7，4个数是一个循环，要求第2011个数是几，用2011除以4，余数是几，就在3、3、5、7中选第几个数，因此得解．据此进行判断即可解答。
【详解】2011÷4＝502……3
所以第2011个数是5。
故选：C
【点睛】此题考查了数列中的规律，看出规律，灵活应用有余数的除法运算而得解。
15．C
【分析】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。
【详解】由图可知：
图形1的小棍根数为5；
图形2的小棍根数为9；
图形3的小棍根数为13；
…
由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4，
所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为：
5＋4×（6－1）
＝5＋4×5
＝5＋20
＝25（根）
故答案为：C
【点睛】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。
16．C
【分析】摆一个正方形需要1＋3根小棒，摆两个正方形需要1＋3×2根小棒，摆3个正方形需要1＋3×3根小棒，依次类推，摆15个正方形，需要1＋3×15根小棒。
【详解】1＋3×15
＝1＋45
＝46（根）
故答案为：C
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到摆放的规律。
17．C
【分析】根据5n＋1＝小棒数量，带入数据计算即可。
【详解】5×10＋1
＝50＋1
＝51（根）
故答案为：C
【点睛】本题考查了数与形，数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
18．B
【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。
【详解】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（条）
故答案为：B
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
19．C
【分析】观察图形，第1个图形白色砖的数量是：4＝3＋1；
第2个图形白色砖的数量是：7＝3×2＋1；
第3个图形白色砖的数量是：10＝3×3＋1；
可以得出规律：第n个蝴蝶图案中白色地砖有 SKIPIF 1 < 0 块；据此解答。
【详解】由分析可知，第n个蝴蝶图案中白色地砖有 SKIPIF 1 < 0 块，
当 SKIPIF 1 < 0 时，白色地砖数量为3×7＋1＝22（块）。
【点睛】此题考查了数与形的规律问题，关键是结合图形数量之间的运算关系，找出规律即可。
20．D
【详解】根据题干分析可得，第一幅图有2个三角形，第二幅图有4个三角形，第三幅图有6个三角形，
可推出第n幅图有2n个三角形，
当n＝12时，2×12＝24（个）
第12幅图有24个三角形
故答案为：D
21． 6 10 14 18 4n＋2
【分析】（1）根据已知图形数出正方形个数即可；（2）题，根据第一题可得：相邻两个图形中正方形个数依次增加4个，第4个图形中正方形个数通过第3个图形中正方形个数加4即可解答；（3）第n个图形中正方形个数为6＋（n－1）×4，由此即可解答。
【详解】1.6；10；14.
2.第四个图形中正方形个数为：14＋4＝18（个）；
3.第n个图形中正方形个数是（4n＋2）个。
22． 16 100
【分析】看图，第1幅图有1×1＝1（个）△，第2幅图有2×2＝4（个）△，第3幅图有3×3＝9（个）△，那么可以推测，第4幅图有4×4＝16（个）△，第10幅图有10×10＝100（个）△。
【详解】4×4＝16（个）
10×10＝100（个）
所以，第4幅图有16个△，第10幅图有100个△。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
23． 15 10
【分析】第1幅图有1个这样的“●”；
第2幅图有3个这样的“●”， SKIPIF 1 < 0 ；
第3幅图有6个这样的“●”， SKIPIF 1 < 0 ；
第4幅图有10个这样的“●”， SKIPIF 1 < 0 ；
第5幅图中“●”的个数为：（ SKIPIF 1 < 0 ）个。
计算出55个“●”比第5幅图中“●”多的个数，再按规律接着加，一直加到55个点为止，据此解答。
【详解】第5幅图有：
1＋2＋3＋4＋5
＝3＋3＋4＋5
＝6＋4＋5
＝10＋5
＝15（个）
还差： SKIPIF 1 < 0 （个）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （个）
即第10幅图有55个这样的“●”。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现图与点的个数之间的关系是解本题的关键。
24． 162 594
【详解】（28－1）×6＝162个
（100－1）×6＝594个
25． 33 3n＋3
【分析】观察图可知，第一个图形需要6根火柴棒，第二个图形需要（6＋3）根火柴棒，第三个图形需要（6＋3×2）根火柴棒，依次类推，如果把图形的序数设为n，火柴棒的根数与图形的序数间的关系为：火柴棒的根数＝6＋3×（n－1），当n＝10时，代入即可求出第10个图形需要的火柴棒数量。
【详解】根据分析得，6＋3×（n－1）
＝6＋3×n－3×1
＝（3n＋3）根
即第n个图形需要（3n＋3）根火柴棒。
当n＝10时，
3×10＋3
＝30＋3
＝33（根）
即第10个图形需要33根火柴棒。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数，多多练习，培养数感。
26．折线
【分析】首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此解答即可。
【详解】由统计图的特点可知，
要反映某种股票的涨跌情况最好制成折线统计图。
【点睛】解答此题要熟练掌握折线统计图的特点。
27． 41 5n＋1
【分析】由图可知，每增加一个六边形就需要5根小棒，六边形的个数与小棒的关系为：6＋5（n－1）＝5n＋1，由此解答即可。
【详解】摆8个六边形时：
5×8＋1
＝40＋1
＝41（根）
摆 SKIPIF 1 < 0 个六边形时需要（5n＋1）根小棒。
【点睛】解答本题的关键是读懂图形，明确每增加一个六边形就需要5根小棒，进而总结出规律。
28． 17 4n－3
【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4朵小花，据此解答即可。
【详解】第1个图案：1朵小花
第2个图案：1＋4朵小花
第3个图案：1＋4＋4朵小花
第4个图案：1＋4＋4＋4朵小花
由此可得，小花的数量是（图案序数－1）个4的和再加1，所以：
第5个图案有小花：1＋（5－1）×4＝17（朵）
第n个图案有小花：1＋（n－1）×4＝4n－3（朵）
【点睛】本题考查用字母表示数、找规律，解答本题的关键是找到图案序数与小花朵数之间的关系。
29．54
【详解】四个杯子摞起来的高差是（39-30）÷3=3（㎝）
杯子的高度=30-3×3=21（cm）
12个杯子摞起来后高度=21+3×（12-1）=54（cm）
故正确答案填54.
30．每增加一个三角形增加小棒的根数
【分析】由图可知，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要（3＋2）根小棒，摆3个三角形需要（3＋2×2）根小棒，摆4个三角形需要（3＋2×3）根小棒……以此类推，每增加一个三角形就增加2根小棒，摆n个三角形需要[3＋2（n－1）]根小棒，据此解答。
【详解】分析可知，摆n个三角形需要小棒的根数为：
3＋2（n－1）
＝3＋2n－2
＝3－2＋2n
＝（1＋2n）根
所以，摆n个三角形需要（1＋2n）根小棒，1＋2n中的“2”表示每增加一个三角形增加小棒的根数。
【点睛】分析图形找出三角形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
31． 15 18 20 5 27 243
【详解】略
32．(1)9
(2)3n＋1
【分析】观察图形可知，第一幅图有4个小黑点，第二幅图有7个小黑点，第三幅图有10个小黑点，由此可知，第n幅图有3n＋1个黑点。
【详解】（1）3n＋1＝28
解：3n＝27
n＝9
第9幅图中有28个●。
（2）第n幅图中有3n＋1个●。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
33． 9 25
【分析】通过观察发现：第1个图形，最下层有1个三角形，整个图形有1个三角形；第2个图形，最下层有3个三角形，整个图形有1＋3＝4个三角形；第3个图形，最下层有5个三角形，整个图形有1＋3＋5＝9个三角形；……。1，3，5，……都是奇数，1，4，9，……都是完全平方数。由此发现规律：第n个图形，最下层有（2n－1）个三角形，整个图形有 SKIPIF 1 < 0 个三角形。
【详解】当n＝5时，2n－1＝2×5－1＝10－1＝9（个）， SKIPIF 1 < 0 ＝5×5＝25（个）。所以5层“宝塔”的最下层含9个三角形，整个5层“宝塔”有25个三角形。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
34． 20 24
【分析】观察图形可知，1张梯形桌可以坐5人，2张梯形桌拼成的长桌可以坐5＋3＝8人，3张梯形桌拼成的长桌可以坐5＋3＋3＝11人，则n张梯形桌拼成的长桌可以坐5＋3（n－1）＝3n＋2人，据此填空即可。
【详解】6张梯形桌拼成的长桌可以坐：
3n＋2＝3×6＋2
＝18＋2
＝20
3n＋2＝74
解：3n＝72
n＝72÷3
n＝24
则6张梯形桌拼成的长桌可以坐20人。按这样拼下去，坐74人需要拼24张梯形桌。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
35．6
【解析】略
36．
【解析】略
37． 31 3n＋1
【详解】略
38．
【解析】略
39． △ ○
【详解】略
40． 16 3n＋1
【分析】观察图形，摆第1个图形需要4根小棒，摆第2个图形需要（4＋3）根小棒，摆第3个图形需要（4＋3×2）根小棒，每搭一个正方形，小棒数量比前一个多3根，依次类推，算出摆第5个这样的小正方形需要的小棒数量。继而求出摆第n个图形需要[4＋3×（n−1）]根小棒。
【详解】4＋3×（5－1）
＝4＋3×4
＝4＋12
＝16（根）
即摆第5个图形需要16根小棒。
4＋3×（n−1）
＝4＋3n－3×1
＝4－3＋3n
＝（3n＋1）根
即摆第n个图形需要（3n＋1）根小棒。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
41．①18颗
②第670个图形
【分析】观察图形可知，后一个图形中黑色棋子数比前一个多3，由此可得出第n个图形有3（n＋1）个棋子，据此解答。
【详解】①3×（5＋1）
＝3×6
＝18（颗）
答：第5个图形中有18颗黑色棋子。
②解：设第x个图形中有2013颗黑色棋子。
3x＋3＝2013
x＝670
答：第670个图形中有2013个棋子。
【点睛】此题主要考查了数与形，找出图形的变化规律是解题关键。
42．（1）12；16；20；24 （2） 16块 （3） （4n＋4）块
【详解】（2）（20÷4－1）×（20÷4－1）＝16（块）
答：白瓷砖用了16块。
（3）n2＝n×n，（n＋1）×4＝4n＋4（块）。
答：花瓷砖用了（4n＋4）块。
43．2盘，与小明、小强各下一盘
【详解】小明与小强、小丽、小芳、小琼各下一盘
小强与小明、小丽、小芳、小琼各下一盘
小丽与小明、小强、小丽各下一盘
小丽与小明、小强、小丽各下一盘
小琼与小明、小强各下一盘
答：小琼下了2盘，小琼与小明、小强各下一盘
44．（1）3n＋1
（2）67枚
【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚；
（2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。
【详解】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。
（2）当n＝22时，代入到式子中得：
3n＋1＝3×22＋1
＝66＋1
＝67
答：第22个图形中有67枚黑色棋子。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
45．七种．
73÷8 = 9……1；74÷8 = 9……2；75÷8 = 9……3；76÷8 = 9……4；
77÷8 = 9……5；78÷8 = 9……6；79÷8 = 9……7．
【解析】略
46．见详解
【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示 SKIPIF 1 < 0 的积；
（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；
②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；
③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 可表示为：
；
（2）①
②将算式补充完整：
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝5×8
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21
③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
47．136分钟
【详解】解：两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲乙都休息完2次，甲已经行了（千米），乙已经行了（千米）．相遇还需要（小时），即6分钟．所以两人从出发到第一次相遇用（分钟）．
48．（1）14把；
（2）2n＋2；
（3）16张
【分析】由图可知，1张桌子时，可以摆4把椅子；2张桌子时，可以摆（4＋2）把椅子；3张桌子时，可以摆（4＋2＋2）把椅子……每增加一张桌子就增加2把椅子，那么n张桌子时，可以摆4＋2（n－1）把椅子；最后计算出椅子数量为34时，n的值即可。
【详解】（1）1张桌子可以摆椅子的数量：4把
2张桌子可以摆椅子的数量：4＋2＝6（把）
3张桌子可以摆椅子的数量：4＋2×2＝4＋4＝8（把）
4张桌子可以摆椅子的数量：4＋3×2＝4＋6＝10（把）
5张桌子可以摆椅子的数量：4＋4×2＝4＋8＝12（把）
6张桌子可以摆椅子的数量：4＋5×2＝4＋10＝14（把）
答：6张桌子可以摆14把椅子。
（2）分析可知，n张桌子可以摆椅子的数量：4＋2（n－1）＝4＋2n－2＝（2n＋2）把
（3）如果有34人，那么需要34把椅子。
2n＋2＝34
解：2n＝34－2
2n＝32
n＝32÷2
n＝16
答：如果有34人，需要并起来16张桌子才能坐下。
【点睛】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。
49．(1)2003003， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ，2001
【详解】解：（1）因为从左起分别以1个数，2个数，3个数…为一组，每组的乘积为1，组内分子以1为公差递增，分母以1为公差递减．
所以f(m)= SKIPIF 1 < 0 为2002组内第二项，
SKIPIF 1 < 0 是第1+2+3+…+2001+1=2003002个数，m=2003003，
积为1×1×1…1× SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
答： m的值是2003003，这m个数的积是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设a为 SKIPIF 1 < 0 ，b=x+1即（x+1）x=2001000×2，
解得x1=﹣2002（舍），x2=2000，
b=x+1=2000+1=2001，
a= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
答：a是 SKIPIF 1 < 0 ，b是2001.
50．12人．
【详解】试题分析：设每只大船坐x人，那么每只小船就坐x﹣8人，大船可坐2x人，小船可坐5×（x﹣8）人，再根据两船可坐总人数是100人可列方程：2x+5×（x﹣8）=100，依据等式的性质即可求解．
解：设每只大船坐x人，则每只小船就坐x﹣8人，根据题意得：
2x+5×（x﹣8）=100
2x+5x﹣40=100
7x﹣40+40=100+40
7x÷7=140÷7
x=20
20﹣8=12（人）
答：每只小船可坐12人．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．
51．200×8÷80×200＝4000（米）
【解析】略
52．37.5cm
【分析】先求出上边1层高度，杯子叠起来的高度＝1个杯子高度＋1层高度×（杯子数量－1），据此分析。
【详解】（25－15）÷（5－1）
＝10÷4
＝2.5（厘米）
15＋2.5×（10－1）
＝15＋2.5×9
＝15＋22.5
＝37.5（厘米）
答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
53．10
【分析】辐射型数阵图，中间数重复了2次，根据线和、数和、中间数的关系进行求解。
【详解】1至7的总和为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以每条直线上的三个数的和是10，再根据“1+2+7=10”，“1+3+6=10”，“1+4+5=10”进行合理构造，完成数阵图。
【点睛】辐射型数阵图中线和、数和及重复数的关系：“线和×直线数=数和+重复数×重复次数”。
54．4950 49×100+50 = 4950
【详解】1和99相加，2和98相加……49和51相加，最剩50，所以结果是49×100+50 = 4950
55．（1）五层的“宝塔”最下层包含9个小三角形，六层有11个，七层有13个，n层有2n－1个．
（2）整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形，六层有36个，七层有49个，n层有n2个．
【分析】（1）第一个图形的最下面一层是1个三角形，第二个图形最下面的一层是（1＋2）个三角形，第三个图形最下面的一层是（1＋2＋2）个三角形……，则第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2个三角形，据此即可解答问题．
（2）第一个图形有1层，有1＝12个三角形，第二个图形有2层，有1＋3＝22个三角形，第三个图形有3层，有1＋3＋5＝32个三角形，第三个图形有4层，有1＋3＋5＋7＝42个三角形，据此推测第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形．
【详解】（1）五层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＝9
六层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＝11
七层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝13
第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2＝2n－1个
（2）第五个图形：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52
第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＝36＝62
第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝72
第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形．
【点睛】解答本题的关键是：根据图形及其数列的变化规律求解即可．
56．因为3人比2人增加2场;4人比3人增加3场;5人比4人增加4场……所以8人比赛的场数是1+2+3+…+7=28(场)．
【详解】略
57．2076
【分析】由题意可知：
第几行就有几个数字，第n行就有n个数字，那么前n行共有1+2+3+…+n=n（n+1）÷2个数字，而63×64÷2=2016，所以2013在第63行，那么前62行共有62×（62+1）÷2=1955，所以第63行第一个数字是1996，2013在第63行第60个数字，而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076，据此解答即可．解答本题的关键是正确理解其中的规律，进而找出2013所在的行，所在行中的第几个数字，确定下一行从几开始即可．
【详解】因为：
63×64÷2=2016
所以2013在第63行第60个数字
而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076
答：2013正下方是2076．
58．（1）3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
（2）b＝a＋11
（3）见详解
【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。
（2）根据数表中数的排列规律及 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的位置关系可知： SKIPIF 1 < 0 。
（3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。
【详解】（1）如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为：
3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
答：这六个数的和为94。（答案不唯一）
（2）图2中b＝a＋11
（3）如图所示：
（答案不唯一，合理即可。）
【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
59．（1）解：4×（4﹣1）÷2
=4×3÷2
=6（场）
答：每个小组第一阶段有6场比赛
（2）解：第二阶段：4﹣1=3（场）；
一共：6×2+3=15（场）；
答：第一阶段和第二阶段共需15场比赛
【详解】【分析】（1）第一阶段，每个小组4支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（4﹣1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 4×（4﹣1）÷2场；（2）第二阶段，根据“用单场淘汰制决出一名冠军，”知道单淘汰赛参赛队﹣1=决出冠军需要的场次，由此即可得出第二阶段比赛的场次；再用第一阶段每小组比赛的场次乘上2，求出第一阶段的比赛总场次，然后把两个阶段的场次相加即可．
60．（1）第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；
（2）27；52
【分析】（1）仔细观察得知，每排的最后一个数都等于下一排的第一个数；
（2）其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。
【详解】（1）通过分析可知，第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；
（2）20＋7＝27；37＋15＝52
【点睛】本题是一道探究规律的题目，根据已知数字确定数形中的规律是解答的关键。
序号
1
2
3
4
……
图形
……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
12＋12＋22＋32＋52
……
妙招演练
1．数与形结合是一种重要的数学思想，认真观察下面的图形，“2020”这个数在_______个三角形的_______顶点处。应选（ ）。
A．673，左下B．674，上C．673，右下D．674，左下
2．用白色和灰色小正方形按下面规律排成大正方形。
……
第一幅 第二幅 第三幅
第五幅图一共用了（ ）个灰色小正方形。
A．19B．21C．25D．36
3．下图是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护话题的电话最多，共 SKIPIF 1 < 0 个。则本周“百姓热线”共接到热线电话有（ ）。
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
4．观察数列的排列规律，然后从四个选项中选出你认为最合理的一项，来填补空缺项：1 2 4 8 16（ ）
A．32B．24C．64D．20
5．仔细分析，后面的第10个方框里有（ ）个点。
A．36B．37C．38D．40
6．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1得数相同的算式是（ ）。
A．42B．52＋32C．52－32
7．如图的每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，请根据此规律，计算出m的值是（ ）。
A．86B．74C．52
8．照这样排下去，第六个图形里会有( )个小三角形.
A．25B．30C．36D．47
9．根据下图中的规律，第4幅图中有（ ）个点。
A．9B．13C．14D．16
10．2.22，2.30，2.38，2.46，（ ）括号里应填（ ）
A．2.22B．2.50C．2.54
11．中。△和▲相比（ ）。
A．△比▲多 B．▲比△多 C．▲和△同样多
12．照下图这样画下去，第10个图形有（ ）个●。
A．54B．55C．56
13．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（ ）。
A．5＋3B．42C．52＋32D．52－32
14．一列数3、3、5、7、3、3、5、7…，第2011个数是（ ）。
A．3B．1C．5D．7
15．用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（ ）根小棒
A．20B．24C．25
16．像下面这样摆15个正方形，需要（ ）根小棒。
A．60B．50C．46D．45
17．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒……，第10个图形有（ ）根小棒。
A．45B．60C．51D．59
18．在一个平面上有68个点，一共可以连（ ）条线段。
A．68B．2278C．2346D．1190
19．如图所示，用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律，拼成若干个蝴蝶图案，则第7个蝴蝶图案中白色地砖有（ ）。
A．35块B．27块C．22块D．7块
20．如图：
照这样画，第12幅图有（ ）个三角形。
A．18B．20C．22D．24
21．观察并填空。
1.
2. 第4个“F”图形需用________个正方形拼成。
3. 第n个“F”图形需用________个正方形拼成。
22．
第4幅图有( )个△，第10幅图有( )个△。
23．观察图形，完成填空。
按这样的规律，第5幅图有( )个这样的“●”，第( )幅图有55个这样的“●”。
24．有一个正六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边2个点，第三层每边3个点，…这个六边形点阵第28层上面共有_____个点，第100层_____个点。
25．用6根火柴棒摆出图①，接下来摆放方式如：，那么，第10个图形需要( )根火柴棒，第n个图形需要( )根火柴棒。
26．要反映某种股票的涨跌情况最好制成( )统计图。
27．像这样用小棒摆六边形。照这样的规律摆下去，摆8个六边形需要( )根小棒，摆 SKIPIF 1 < 0 个六边形需要( )根小棒。
28．按照下面的样子拼摆图案。第一个图案用1朵小花拼摆，第二个图案用5朵小花拼摆……第五个图案用( )朵小花拼摆，第n个图案用( )朵小花拼摆。
29．如图所示，4个同样的杯子摞起来高是30厘米，7个摞起来高是39厘米．如果12个这样的杯子摞在一起，高是( )厘米．
30．数学课上，笑笑在用小棒摆连续的三角形时（如下图），发现了n个三角形需要的小棒根数可以这样列式：1＋2n。1＋2n中的“2”表示( )。
31．找规律填一填，画一画．
（1）_____、_____．
（2）3、6、9、12、_____、_____．
（3）80、40、_____、10、_____．
（4）1、3、9、_____、81、_____．
32．根据下面图形的变化规律完成填空。
……
(1)第( )幅图中有28个●；
(2)第n幅图中有( )个●。
33．下面是“宝塔”图，它们的层数不同，但都是由相同的小三角形组成的，那么5层“宝塔”的最下层含( )个三角形，整个5层“宝塔”有( )个三角形。
34．如图，把完全一样的梯形桌拼起来。
1张梯形桌可以坐5人，2张梯形桌拼成的长桌可以坐8人，……，6张梯形桌拼成的长桌可以坐( )人。按这样拼下去，坐74人需要拼( )张梯形桌。
35．小明想要用棱长为1cm的小正方体搭建台阶(如图)，他已搭建的台阶．分别有2cm，3cm 和4cm高．如果小明一直这样搭下去，当用了105个方块时，他搭的台阶有_____cm高．
36．找规律填数。
37．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成……照这样接着画下去，第10个图案由( )个组成，第n个图案由( )个组成。
38．填一填，想一想
39．○●●△△□○●●△△□……，按这样的规律画下去，第35个图形是( )，第61个图形是( )．
40．用同样长的小棒按下面的规律摆出图形。摆第5个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒。
41．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
①第5个图形中有多少颗黑色棋子？
②第几个图形中有2013颗黑色棋子？
42．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。
（1）填写下列表格。
（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么白瓷砖用了多少块？
（3）如果所拼的图形中，用了n2块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？
43．小明、小强、小丽、小芳、和小琼进行象棋比赛，每两人之间都要下一盘．小明、小强都已经下了4盘，小丽、小芳都已经下了3盘，小琼下的盘数最少．请问：小琼下了几盘？分别和谁下的？
44．
（1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（ ）枚。（用含n的代数式表示）
（2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。
45．在式子□÷8 = 9……○中，可以出现多少种不同的形式，你能把它们都写出来吗?
46．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释 SKIPIF 1 < 0 的算理。
（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。
①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。
②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ）
③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（ ）。
47．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？
48．一张桌子摆4把椅子，两张桌子并起来摆6把椅子……照这样摆下去。
（1）6张桌子可以摆多少把椅子？
（2）n张桌子可以摆多少把椅子？用式子表示出来是（ ）把。
（3）如果有34人，需要并起来多少张桌子才能坐下？
49．观察下面按规律排成的一列数：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…
(1)若将左起第m个数记为f（m），当f(m)= SKIPIF 1 < 0 时，求m的值和这m个数的积．
(2)在数列中，未经约分且分母为2的数记为a，它后面的一个数记为b，若存在这样的a和b，使ab=20100，求a和b．
50．六年级同学去春游，租了2只同样的大船和5只同样的小船，正好坐满100人．每只大船比小船多坐8人，每只小船可以坐多少人？
51．张林带着他心爱的小狗去外婆家．他步行的速度是每分钟80米，小狗以每分钟200米的速度奔向了外婆家．小狗过了8分钟到达外婆家后又立刻返回，路上遇见张林后它又返回奔向外婆家…… 就这样它不停来回跑．当张林到达外婆家时，小狗总共跑了多少米？
52．如下图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？
53．把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使得每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。已知中间圆圈填的数为1，那么每条直线的和是多少？
54．1+2+3+……+99 = ？说一说你的计算方法．
55．如图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的．仔细观察后，请回答：
（1）五层的“宝塔”最下层包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
56．六(1)班有八名同学进行乒乓球比赛,如果每两名同学之间都要进行一场比赛,一共要比赛多少场?怎样推算呢?
从简单的情况开始研究,运用画图法解答:
57．已知规律如下图，
问：2013正下方是多少？
58．仔细观察表3，完成下列问题。
（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。
（2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式表示这两个数之间的关系（ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置如图2）。
（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上 SKIPIF 1 < 0 。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。）
59．某地区8支代表队参加篮球比赛，比赛分为两个阶段．
(1)第一阶段：8个队分为两组，每组进行单循环比赛，决出前两名参加第二阶段的比赛．每个小组第一阶段有多少场比赛？
(2)第二阶段：四个队进行单淘汰赛制，决出冠亚军．请你算一算，决出冠亚军．第一阶段和第二阶段共需多少场比赛？
60．“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。
（1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？
（2）填出第5行两个括号中的数。
妙招总结
通过不同事物的某些相似性逆向类推出其他的相似性的方法，叫做逆向类推法。解答数形结合问题时,先仔细观察算式的特点,找出其中隐含的规律,再解答。
数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
图形
……
正方形的个数
( )
( )
( )
……
大正方形每边的瓷砖块数
3
4
5
6
7
…
花瓷砖块数
8
…
序号
1
2
3
4
……
图形
……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
……
……
①1
②1+2=3
③1+2+3=6
④1+2+3+4=10
……
参考答案：
1．B
【分析】从上图中发现：每一个三角形有3个顶点，用2020÷3＝673（个）……1（个）也就是在第673个三角形后还余1个顶点，1个顶点正好在第674个三角形的上顶点处。
【详解】由分析可得，
2020÷3＝673（个）……1（个）
所以，“2020”这个数在674个三角形的上顶点处。
故选：B
【点睛】此题考查的是数与形结合找规律，找出规律是解题关键。
2．B
【详解】通过已知条件图形的排列规律可知：每个大正方形n是由白色和灰色两种小正方形组合而成的．白色小正方形用a表示，灰色小正方形用b表示；
第一幅：n1＝1a＋3b；第二幅：n2＝（1＋5）a＋3b；第三幅：n3＝（1＋5）a＋（3＋7）b；第四幅：n4＝（1＋5＋9）a＋（3＋7）b；第五幅：n5＝（1＋5＋9）a＋（3＋7＋11）b……以此类推即可。
第五幅灰色小正方形的个数：b5＝3＋7＋11＝21（个）
故答案为：B
3．B
【分析】热线电话总数×35%＝环境保护话题的电话数，根据此关系式求出电话总数即可。
【详解】70÷35%＝200（个）
故答案为：B。
【点睛】用已知量除以已知量占单位“1”的百分之几，即可求出单位“1”。
4．A
【详解】略
5．B
【分析】根据图得出第n个图中共有1＋4（n－1）个点，则第10个图中有1＋4×（10－1）＝37个点。
【详解】1＋4×（10－1）
＝1＋4×9
＝1＋36
＝37
故选B。
【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。
6．B
【分析】先求出1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1的结果，然后观察算式的规律，1、3、5、7、9构成了等差数列，1＋3＋5＋7＋9＝5²，5＋3＋1＝3²，依此即可求解。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋9）×5÷2＋（5＋1）×3÷2
＝25＋9
＝52＋32
＝34
故答案为：B
【点睛】在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
7．A
【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积加左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数。因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10；然后求出m的值即可。
【详解】第四图左下角的数是：6＋2＝8；
右上角的数是：8＋2＝10；
那么右下角的数m就是：10×8＋6＝86
故答案为：A。
【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
8．C
【详解】第一个图形：1×1=1(个)，第二个图形：2×2=4(个)……，规律：小三角形的个数=图形个数×图形个数，根据这个规律计算小三角形的个数即可.
9．D
【分析】观察已知图形，得出一般性规律，写出即可。
【详解】如图，第1个图形中有1个点，即1×1；
第2个图形中有1＋3＝4个点，即2×2；
第3个图形中有1＋3＋5＝9个点，即3×3；
第4个图形中有1＋3＋5＋7＝16个点，即4×4；
……
第n个图形中有n×n个点；
故答案选：D。
【点睛】此题考查了图形的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键。
10．C
【详解】2.46+0.08＝2.54
故选C．
11．C
【解析】观察外面图形的特征，图形是两个两个为一组，根据图形的规律确定两种图形的个数即可。
【详解】图形按2个▲，2个△排列，最前面是2个▲，最后面是2个△。所以△和▲同样多。
故答案为：C。
【点睛】解这类题时，先找到图形的排列规律，后根据规律解题即可。
12．B
【解析】第1个图形有1个●；
第2个图形有1＋2个●；
第3个图形有1＋2＋3个●；
第4个图形有1＋2＋3＋4个●；
第n个图形有1＋2＋3＋4＋……＋n个●；
据此解答。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）×5
＝11×5
＝55（个）
第10个图形有55个●。
故选：B。
【点睛】根据前四个图形找出规律，再根据规律来解答问题。
13．C
【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1）
＝52＋32
＝25＋9
＝34
所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。
故答案为：C
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
14．C
【解析】3、3、5、7，4个数是一个循环，要求第2011个数是几，用2011除以4，余数是几，就在3、3、5、7中选第几个数，因此得解．据此进行判断即可解答。
【详解】2011÷4＝502……3
所以第2011个数是5。
故选：C
【点睛】此题考查了数列中的规律，看出规律，灵活应用有余数的除法运算而得解。
15．C
【分析】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。
【详解】由图可知：
图形1的小棍根数为5；
图形2的小棍根数为9；
图形3的小棍根数为13；
…
由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4，
所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为：
5＋4×（6－1）
＝5＋4×5
＝5＋20
＝25（根）
故答案为：C
【点睛】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。
16．C
【分析】摆一个正方形需要1＋3根小棒，摆两个正方形需要1＋3×2根小棒，摆3个正方形需要1＋3×3根小棒，依次类推，摆15个正方形，需要1＋3×15根小棒。
【详解】1＋3×15
＝1＋45
＝46（根）
故答案为：C
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到摆放的规律。
17．C
【分析】根据5n＋1＝小棒数量，带入数据计算即可。
【详解】5×10＋1
＝50＋1
＝51（根）
故答案为：C
【点睛】本题考查了数与形，数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
18．B
【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。
【详解】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（条）
故答案为：B
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
19．C
【分析】观察图形，第1个图形白色砖的数量是：4＝3＋1；
第2个图形白色砖的数量是：7＝3×2＋1；
第3个图形白色砖的数量是：10＝3×3＋1；
可以得出规律：第n个蝴蝶图案中白色地砖有 SKIPIF 1 < 0 块；据此解答。
【详解】由分析可知，第n个蝴蝶图案中白色地砖有 SKIPIF 1 < 0 块，
当 SKIPIF 1 < 0 时，白色地砖数量为3×7＋1＝22（块）。
【点睛】此题考查了数与形的规律问题，关键是结合图形数量之间的运算关系，找出规律即可。
20．D
【详解】根据题干分析可得，第一幅图有2个三角形，第二幅图有4个三角形，第三幅图有6个三角形，
可推出第n幅图有2n个三角形，
当n＝12时，2×12＝24（个）
第12幅图有24个三角形
故答案为：D
21． 6 10 14 18 4n＋2
【分析】（1）根据已知图形数出正方形个数即可；（2）题，根据第一题可得：相邻两个图形中正方形个数依次增加4个，第4个图形中正方形个数通过第3个图形中正方形个数加4即可解答；（3）第n个图形中正方形个数为6＋（n－1）×4，由此即可解答。
【详解】1.6；10；14.
2.第四个图形中正方形个数为：14＋4＝18（个）；
3.第n个图形中正方形个数是（4n＋2）个。
22． 16 100
【分析】看图，第1幅图有1×1＝1（个）△，第2幅图有2×2＝4（个）△，第3幅图有3×3＝9（个）△，那么可以推测，第4幅图有4×4＝16（个）△，第10幅图有10×10＝100（个）△。
【详解】4×4＝16（个）
10×10＝100（个）
所以，第4幅图有16个△，第10幅图有100个△。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
23． 15 10
【分析】第1幅图有1个这样的“●”；
第2幅图有3个这样的“●”， SKIPIF 1 < 0 ；
第3幅图有6个这样的“●”， SKIPIF 1 < 0 ；
第4幅图有10个这样的“●”， SKIPIF 1 < 0 ；
第5幅图中“●”的个数为：（ SKIPIF 1 < 0 ）个。
计算出55个“●”比第5幅图中“●”多的个数，再按规律接着加，一直加到55个点为止，据此解答。
【详解】第5幅图有：
1＋2＋3＋4＋5
＝3＋3＋4＋5
＝6＋4＋5
＝10＋5
＝15（个）
还差： SKIPIF 1 < 0 （个）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （个）
即第10幅图有55个这样的“●”。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现图与点的个数之间的关系是解本题的关键。
24． 162 594
【详解】（28－1）×6＝162个
（100－1）×6＝594个
25． 33 3n＋3
【分析】观察图可知，第一个图形需要6根火柴棒，第二个图形需要（6＋3）根火柴棒，第三个图形需要（6＋3×2）根火柴棒，依次类推，如果把图形的序数设为n，火柴棒的根数与图形的序数间的关系为：火柴棒的根数＝6＋3×（n－1），当n＝10时，代入即可求出第10个图形需要的火柴棒数量。
【详解】根据分析得，6＋3×（n－1）
＝6＋3×n－3×1
＝（3n＋3）根
即第n个图形需要（3n＋3）根火柴棒。
当n＝10时，
3×10＋3
＝30＋3
＝33（根）
即第10个图形需要33根火柴棒。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数，多多练习，培养数感。
26．折线
【分析】首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此解答即可。
【详解】由统计图的特点可知，
要反映某种股票的涨跌情况最好制成折线统计图。
【点睛】解答此题要熟练掌握折线统计图的特点。
27． 41 5n＋1
【分析】由图可知，每增加一个六边形就需要5根小棒，六边形的个数与小棒的关系为：6＋5（n－1）＝5n＋1，由此解答即可。
【详解】摆8个六边形时：
5×8＋1
＝40＋1
＝41（根）
摆 SKIPIF 1 < 0 个六边形时需要（5n＋1）根小棒。
【点睛】解答本题的关键是读懂图形，明确每增加一个六边形就需要5根小棒，进而总结出规律。
28． 17 4n－3
【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4朵小花，据此解答即可。
【详解】第1个图案：1朵小花
第2个图案：1＋4朵小花
第3个图案：1＋4＋4朵小花
第4个图案：1＋4＋4＋4朵小花
由此可得，小花的数量是（图案序数－1）个4的和再加1，所以：
第5个图案有小花：1＋（5－1）×4＝17（朵）
第n个图案有小花：1＋（n－1）×4＝4n－3（朵）
【点睛】本题考查用字母表示数、找规律，解答本题的关键是找到图案序数与小花朵数之间的关系。
29．54
【详解】四个杯子摞起来的高差是（39-30）÷3=3（㎝）
杯子的高度=30-3×3=21（cm）
12个杯子摞起来后高度=21+3×（12-1）=54（cm）
故正确答案填54.
30．每增加一个三角形增加小棒的根数
【分析】由图可知，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要（3＋2）根小棒，摆3个三角形需要（3＋2×2）根小棒，摆4个三角形需要（3＋2×3）根小棒……以此类推，每增加一个三角形就增加2根小棒，摆n个三角形需要[3＋2（n－1）]根小棒，据此解答。
【详解】分析可知，摆n个三角形需要小棒的根数为：
3＋2（n－1）
＝3＋2n－2
＝3－2＋2n
＝（1＋2n）根
所以，摆n个三角形需要（1＋2n）根小棒，1＋2n中的“2”表示每增加一个三角形增加小棒的根数。
【点睛】分析图形找出三角形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
31． 15 18 20 5 27 243
【详解】略
32．(1)9
(2)3n＋1
【分析】观察图形可知，第一幅图有4个小黑点，第二幅图有7个小黑点，第三幅图有10个小黑点，由此可知，第n幅图有3n＋1个黑点。
【详解】（1）3n＋1＝28
解：3n＝27
n＝9
第9幅图中有28个●。
（2）第n幅图中有3n＋1个●。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
33． 9 25
【分析】通过观察发现：第1个图形，最下层有1个三角形，整个图形有1个三角形；第2个图形，最下层有3个三角形，整个图形有1＋3＝4个三角形；第3个图形，最下层有5个三角形，整个图形有1＋3＋5＝9个三角形；……。1，3，5，……都是奇数，1，4，9，……都是完全平方数。由此发现规律：第n个图形，最下层有（2n－1）个三角形，整个图形有 SKIPIF 1 < 0 个三角形。
【详解】当n＝5时，2n－1＝2×5－1＝10－1＝9（个）， SKIPIF 1 < 0 ＝5×5＝25（个）。所以5层“宝塔”的最下层含9个三角形，整个5层“宝塔”有25个三角形。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
34． 20 24
【分析】观察图形可知，1张梯形桌可以坐5人，2张梯形桌拼成的长桌可以坐5＋3＝8人，3张梯形桌拼成的长桌可以坐5＋3＋3＝11人，则n张梯形桌拼成的长桌可以坐5＋3（n－1）＝3n＋2人，据此填空即可。
【详解】6张梯形桌拼成的长桌可以坐：
3n＋2＝3×6＋2
＝18＋2
＝20
3n＋2＝74
解：3n＝72
n＝72÷3
n＝24
则6张梯形桌拼成的长桌可以坐20人。按这样拼下去，坐74人需要拼24张梯形桌。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
35．6
【解析】略
36．
【解析】略
37． 31 3n＋1
【详解】略
38．
【解析】略
39． △ ○
【详解】略
40． 16 3n＋1
【分析】观察图形，摆第1个图形需要4根小棒，摆第2个图形需要（4＋3）根小棒，摆第3个图形需要（4＋3×2）根小棒，每搭一个正方形，小棒数量比前一个多3根，依次类推，算出摆第5个这样的小正方形需要的小棒数量。继而求出摆第n个图形需要[4＋3×（n−1）]根小棒。
【详解】4＋3×（5－1）
＝4＋3×4
＝4＋12
＝16（根）
即摆第5个图形需要16根小棒。
4＋3×（n−1）
＝4＋3n－3×1
＝4－3＋3n
＝（3n＋1）根
即摆第n个图形需要（3n＋1）根小棒。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
41．①18颗
②第670个图形
【分析】观察图形可知，后一个图形中黑色棋子数比前一个多3，由此可得出第n个图形有3（n＋1）个棋子，据此解答。
【详解】①3×（5＋1）
＝3×6
＝18（颗）
答：第5个图形中有18颗黑色棋子。
②解：设第x个图形中有2013颗黑色棋子。
3x＋3＝2013
x＝670
答：第670个图形中有2013个棋子。
【点睛】此题主要考查了数与形，找出图形的变化规律是解题关键。
42．（1）12；16；20；24 （2） 16块 （3） （4n＋4）块
【详解】（2）（20÷4－1）×（20÷4－1）＝16（块）
答：白瓷砖用了16块。
（3）n2＝n×n，（n＋1）×4＝4n＋4（块）。
答：花瓷砖用了（4n＋4）块。
43．2盘，与小明、小强各下一盘
【详解】小明与小强、小丽、小芳、小琼各下一盘
小强与小明、小丽、小芳、小琼各下一盘
小丽与小明、小强、小丽各下一盘
小丽与小明、小强、小丽各下一盘
小琼与小明、小强各下一盘
答：小琼下了2盘，小琼与小明、小强各下一盘
44．（1）3n＋1
（2）67枚
【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚；
（2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。
【详解】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。
（2）当n＝22时，代入到式子中得：
3n＋1＝3×22＋1
＝66＋1
＝67
答：第22个图形中有67枚黑色棋子。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
45．七种．
73÷8 = 9……1；74÷8 = 9……2；75÷8 = 9……3；76÷8 = 9……4；
77÷8 = 9……5；78÷8 = 9……6；79÷8 = 9……7．
【解析】略
46．见详解
【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示 SKIPIF 1 < 0 的积；
（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；
②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；
③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 可表示为：
；
（2）①
②将算式补充完整：
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝5×8
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21
③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
47．136分钟
【详解】解：两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲乙都休息完2次，甲已经行了（千米），乙已经行了（千米）．相遇还需要（小时），即6分钟．所以两人从出发到第一次相遇用（分钟）．
48．（1）14把；
（2）2n＋2；
（3）16张
【分析】由图可知，1张桌子时，可以摆4把椅子；2张桌子时，可以摆（4＋2）把椅子；3张桌子时，可以摆（4＋2＋2）把椅子……每增加一张桌子就增加2把椅子，那么n张桌子时，可以摆4＋2（n－1）把椅子；最后计算出椅子数量为34时，n的值即可。
【详解】（1）1张桌子可以摆椅子的数量：4把
2张桌子可以摆椅子的数量：4＋2＝6（把）
3张桌子可以摆椅子的数量：4＋2×2＝4＋4＝8（把）
4张桌子可以摆椅子的数量：4＋3×2＝4＋6＝10（把）
5张桌子可以摆椅子的数量：4＋4×2＝4＋8＝12（把）
6张桌子可以摆椅子的数量：4＋5×2＝4＋10＝14（把）
答：6张桌子可以摆14把椅子。
（2）分析可知，n张桌子可以摆椅子的数量：4＋2（n－1）＝4＋2n－2＝（2n＋2）把
（3）如果有34人，那么需要34把椅子。
2n＋2＝34
解：2n＝34－2
2n＝32
n＝32÷2
n＝16
答：如果有34人，需要并起来16张桌子才能坐下。
【点睛】分析题意找出椅子数量变化的规律是解答题目的关键。
49．(1)2003003， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ，2001
【详解】解：（1）因为从左起分别以1个数，2个数，3个数…为一组，每组的乘积为1，组内分子以1为公差递增，分母以1为公差递减．
所以f(m)= SKIPIF 1 < 0 为2002组内第二项，
SKIPIF 1 < 0 是第1+2+3+…+2001+1=2003002个数，m=2003003，
积为1×1×1…1× SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
答： m的值是2003003，这m个数的积是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设a为 SKIPIF 1 < 0 ，b=x+1即（x+1）x=2001000×2，
解得x1=﹣2002（舍），x2=2000，
b=x+1=2000+1=2001，
a= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
答：a是 SKIPIF 1 < 0 ，b是2001.
50．12人．
【详解】试题分析：设每只大船坐x人，那么每只小船就坐x﹣8人，大船可坐2x人，小船可坐5×（x﹣8）人，再根据两船可坐总人数是100人可列方程：2x+5×（x﹣8）=100，依据等式的性质即可求解．
解：设每只大船坐x人，则每只小船就坐x﹣8人，根据题意得：
2x+5×（x﹣8）=100
2x+5x﹣40=100
7x﹣40+40=100+40
7x÷7=140÷7
x=20
20﹣8=12（人）
答：每只小船可坐12人．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．
51．200×8÷80×200＝4000（米）
【解析】略
52．37.5cm
【分析】先求出上边1层高度，杯子叠起来的高度＝1个杯子高度＋1层高度×（杯子数量－1），据此分析。
【详解】（25－15）÷（5－1）
＝10÷4
＝2.5（厘米）
15＋2.5×（10－1）
＝15＋2.5×9
＝15＋22.5
＝37.5（厘米）
答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
53．10
【分析】辐射型数阵图，中间数重复了2次，根据线和、数和、中间数的关系进行求解。
【详解】1至7的总和为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以每条直线上的三个数的和是10，再根据“1+2+7=10”，“1+3+6=10”，“1+4+5=10”进行合理构造，完成数阵图。
【点睛】辐射型数阵图中线和、数和及重复数的关系：“线和×直线数=数和+重复数×重复次数”。
54．4950 49×100+50 = 4950
【详解】1和99相加，2和98相加……49和51相加，最剩50，所以结果是49×100+50 = 4950
55．（1）五层的“宝塔”最下层包含9个小三角形，六层有11个，七层有13个，n层有2n－1个．
（2）整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形，六层有36个，七层有49个，n层有n2个．
【分析】（1）第一个图形的最下面一层是1个三角形，第二个图形最下面的一层是（1＋2）个三角形，第三个图形最下面的一层是（1＋2＋2）个三角形……，则第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2个三角形，据此即可解答问题．
（2）第一个图形有1层，有1＝12个三角形，第二个图形有2层，有1＋3＝22个三角形，第三个图形有3层，有1＋3＋5＝32个三角形，第三个图形有4层，有1＋3＋5＋7＝42个三角形，据此推测第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形．
【详解】（1）五层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＝9
六层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＝11
七层的“宝塔”最下层个数：1＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝13
第n个图形的最下面的一层就是1＋2＋2＋…＋（n－1）×2＝2n－1个
（2）第五个图形：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52
第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＝36＝62
第六个图形：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝72
第n个图形有n层，有1＋3＋5＋7＋…＋（2n﹣1）＝n2个三角形．
【点睛】解答本题的关键是：根据图形及其数列的变化规律求解即可．
56．因为3人比2人增加2场;4人比3人增加3场;5人比4人增加4场……所以8人比赛的场数是1+2+3+…+7=28(场)．
【详解】略
57．2076
【分析】由题意可知：
第几行就有几个数字，第n行就有n个数字，那么前n行共有1+2+3+…+n=n（n+1）÷2个数字，而63×64÷2=2016，所以2013在第63行，那么前62行共有62×（62+1）÷2=1955，所以第63行第一个数字是1996，2013在第63行第60个数字，而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076，据此解答即可．解答本题的关键是正确理解其中的规律，进而找出2013所在的行，所在行中的第几个数字，确定下一行从几开始即可．
【详解】因为：
63×64÷2=2016
所以2013在第63行第60个数字
而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076
答：2013正下方是2076．
58．（1）3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
（2）b＝a＋11
（3）见详解
【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。
（2）根据数表中数的排列规律及 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的位置关系可知： SKIPIF 1 < 0 。
（3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。
【详解】（1）如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为：
3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
答：这六个数的和为94。（答案不唯一）
（2）图2中b＝a＋11
（3）如图所示：
（答案不唯一，合理即可。）
【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
59．（1）解：4×（4﹣1）÷2
=4×3÷2
=6（场）
答：每个小组第一阶段有6场比赛
（2）解：第二阶段：4﹣1=3（场）；
一共：6×2+3=15（场）；
答：第一阶段和第二阶段共需15场比赛
【详解】【分析】（1）第一阶段，每个小组4支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（4﹣1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 4×（4﹣1）÷2场；（2）第二阶段，根据“用单场淘汰制决出一名冠军，”知道单淘汰赛参赛队﹣1=决出冠军需要的场次，由此即可得出第二阶段比赛的场次；再用第一阶段每小组比赛的场次乘上2，求出第一阶段的比赛总场次，然后把两个阶段的场次相加即可．
60．（1）第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；
（2）27；52
【分析】（1）仔细观察得知，每排的最后一个数都等于下一排的第一个数；
（2）其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。
【详解】（1）通过分析可知，第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的；
（2）20＋7＝27；37＋15＝52
【点睛】本题是一道探究规律的题目，根据已知数字确定数形中的规律是解答的关键。
序号
1
2
3
4
……
图形
……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
12＋12＋22＋32＋52
……
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