江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题单位：无锡市教育科学研究院 制卷单位：无锡市教育科学研究院
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式可得集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意知，
故，
故选：D
2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法化简，进而可得点的坐标，即可求解.
【详解】复数，
对应点为，位于第二象限，
故选：B
3. 已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.
【详解】易知向右平行移动个单位长度可得
.
故选：A
4. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A. 2kmB. 3kmC. 4kmD. 5km
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合题意求出，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意设，仓库到车站的距离，
由于在距离车站6km处建仓库，则，即，
两项费用之和为，
当且仅当，即时等号成立，
即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.
故选：B
5. 若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，说明充分性，由时，即可说明不必要性.
【详解】因为且，所以等差数列单调递减，且公差小于0，
故，，
则，
即，所以，
由，当时，等差数列单调递增，
则不可能满足且，
因此“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性计算即可.
【详解】易知，
所以，
令，则，显然，
所以为奇函数，即D正确.
故选：D
7. 若，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倍角公式可求，根据诱导公式得到，利用同角三角函数的基本关系求出和，进而求出.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
8. 在中，已知，点是BC的中点，点是线段AD上一点，且，连接CE并延长交边AB于点，则线段CP的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得与的关系，即可利用基底表示，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.
【详解】,
因为点三点共线，所以，得，
即，
，两边平方，
，
所以.

故选：B
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；
【详解】A.因为，所以，在上递减，故错误；
B. 因为，所以，在上递增，故正确；
C. 因为，所以，在上递增，故正确；
D. ，因为，所以，在上递增，
则在上递减，故错误；
故选：BC
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为，，则，
由不等式的基本性质可得，则，A对；
对于B选项，因为，不等式的两边同时除以可得，
因为，由不等式的基本性质可得，B对；
对于C选项，因为，，则，
由不等式的基本性质可得，C错；
对于D选项，因为，，由不等式基本性质可得，则，
由不等式的基本性质可得，D对.
故选：ABD.
11. 函数.下列说法中正确的有（ ）
A. 当时，有恒成立
B. ，使在上单调递减
C. 当时，存在唯一的实数，使恰有两个零点
D. 当时，恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数表达式计算，可得选项A正确；求，可知为开口向上的二次函数，在上不可能恒成立，选项B错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C正确；分离参数，恒成立问题转化为大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D正确.
【详解】A. 当时，,,
∴，选项A正确.
B.由题意得，，为开口向上的二次函数，
故，使得时，，此时为增函数，
所以不存在，使在上单调递减.
C. 当时，，
由得，不是函数的零点.
当时，由得，，
令，则，
由得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
图象如图所示：

由图象可知，存在唯一的实数，使直线与图象恰有两个交点，即恰有两个零点，选项C正确.
D. 当时，，
∵，恒成立，
∴恒成立且.
对于不等式，
当时，不等式成立，
当时，恒成立，即，
令，则，
∵，
∴，
∴，
∴在上为减函数，，
∴.
对于不等式，
当时，不等式成立，
当时，恒成立，即，
令，
则，
当时，，，，
当时，，，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴，
∴.
综上得，，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：
（1）对于函数零点个数问题，先说明不是函数的零点，再根据时，由分离出参数，问题转化为“存在唯一的实数，使得直线与恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.
（2）对于不等式恒成立问题，分离参数，问题转化为且，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到的取值集合.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知实数满足且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.
【详解】由可知，
所以，即，
所以.
故答案为：
14. 任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.则__________（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成了数列，设数列，求数列的前项和__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用无限循环小数的性质设，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出的通项公式，然后得到的通项公式，然后列项相消求解即可.
【详解】令，则，解得，所以
易知
所以
所以
所以
所以答案为：；
【点睛】关键点点睛：若，则，借此建立等式；
，借此求得的通项公式；同样的道理.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且，若.
（1）当时，求实数的值;
（2）当取最小值时，求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解；
（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
因为，所以，即，
所以，
因为向量与的夹角为，且，
所以，
所以，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
由（1）知，且，
所以，
则，
故当时，最小为，
此时，
则，
又，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为.
16. 已知函数.
（1）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围;
（2）求函数的单调递减区间.
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，可得有两个大于的不等实根，进而可得，求解即可；
（2）求导数，对分类讨论可求得单减区间.
【小问1详解】
函数的定义域为，
求导得，
令，可得，
因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根，
所以，解得.
所以的取值范围为；
【小问2详解】
，
求导得
，
令，解得或，
当时，，由，可得，
函数在上单调递减，
当，，由，可得，函数无单调递减区间，
当，，由，可得，
函数在上单调递减，
当时，，由，可得，函数在上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递减，
当时，函数无单调递减区间，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减.
17. 在中，已知.
（1）若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围;
（2）若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值.
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切的和角公式可得C，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；
（2）设中点为，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.
【小问1详解】
由题意，
所以，
所以，所以，
易知，所以，则，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以
，
由知，所以，
即的取值范围为；
【小问2详解】
设中点为，则，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
因为线段的中垂线交边于点，可知，所以，
则，解之得，此时，正切不存在，舍去；
或，解之得；
综上.
18. 已知函数.
（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）过点可以作曲线的两条切线，切点分别为.
①求实数的取值范围；
②证明：若，则.
【答案】（1）；
（2）；证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；
（2）①利用导数的几何意义，统一设切点，将问题转化为有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出，根据极值点偏移证得，再根据弦长公式得，构造函数判定其单调性即可证明.
【小问1详解】
易知，令，则，
显然时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，即；
【小问2详解】
①设切点，易知，，则有，
即，
令，则有两个交点，横坐标即分别为，
易知，显然时，，时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
且时有，时也有，，
则要满足题意需，即；
②由上可知：，
作差可得，即，
由①知：上单调递减，在上单调递增，
令，
则始终单调递减，所以，
即，所以，所以，
不难发现，，
所以由弦长公式可知，
所以，
设
所以由，即，证毕.
【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.
19. 在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列an；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列bn；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为.
（1）求数列通项公式;
（2）对任意的，将数列an中落入区间内项的个数记为，
①求和的值;
②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）①，；②.
【解析】
【分析】（1）移项得，运用累加法即可得到通项公式；
（2）①令，解得，代入得，当时，作差得，代入即可得到；
②，利用错位相减法得，再验证值即可.
【小问1详解】
由题意知，，
当时，
，而也满足上式，.
【小问2详解】
①，
令，
当时，，此时，
当时，，
此时
②，记从第2项到第项的和为，
，
，
上述两式作差得
，
，
当时，；
当时，
，
也满足上式，，
，
，当时，左边，舍去，
当时，经检验符合；
当时，左边恒，无解，
综上:.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得，再计算得.
第1列
第2列
第3列
…
第列
第1行
1
2
…
第2行
3
5
9
第3行
5
10
…
…
第行