第8讲 由常量数学到变量数学-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答

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函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．
函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．
在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．
【例题求解】
【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为 ．
思路点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．
注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：
(1)利用几何计算求；
(2)通过解析式求；
(3)解由解析式联立的方程组求．
【例2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的( )

思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高．
注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．
【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式．
(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?

思路点拨 每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．
【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(2，8)．
(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；
(2)写出A、B两点的坐标；
(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．
注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．
【例5】 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
(1)当AP＝3cm时，求的值；
(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；
(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)
思路点拨 对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．
注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：
(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；
(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．
学力训练
如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ．
2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)．
3．根据指令[S，A](S≥0，0°