第27讲 动态几何问题透视-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答

这是一份第27讲 动态几何问题透视-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答，共8页。试卷主要包含了动中觅静，动静互化，以动制动，求与之间的函数关系式，已知等内容，欢迎下载使用。
动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静
这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化
“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动
以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．
【例题求解】
【例1】 如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是 ．

思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和．
【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( )
⌒
A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动
C．在AmB上移动 D．保持固定不移动

思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律．
【例3】 如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：
(1)当=3时，的值是多少?
(2)就下列各种情形：
①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间的函数关系式．
(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系．

思路点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．
注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．
【例4】 如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．
(1)当为何值时，线段EF与BC平行?
(2)设1