模块四 题型全通关专题3 解答型题型第2讲 解方程和不等式 -最新中考数学二轮专题复习训练（含解析）

这是一份模块四 题型全通关专题3 解答型题型第2讲 解方程和不等式 -最新中考数学二轮专题复习训练（含解析），共23页。
第2讲 解方程和不等式
方程与不等式是学生理解数学符号，以及感悟用数学表达事物的性质、关系和规律的关键内容之一，是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体．
解方程和不等式，既需要准确的运算，也需要“消元”、“降次”、“转化”、“数形结合”的思想．
考点讲解：根据等式的性质来解一元一次方程．一元二次方程通过“开平方”和“因式分解”的形式来降次，转化为一元一次方程；二元一次方程组和三元一次方程组通过“加减”或“代入”的方式来消元，转化为一元一次方程；分式方程通过去分母来转化为整式方程．注意：分式方程可能产生增根，因此一定要检验．
【例1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
1．解方程组：
【变1】
（2023·山西·统考中考真题）
2．解方程：．
考点讲解：根据不等式的性质来解一元一次不等式，不等式的解集可以在数轴上表示出来．解一元一次不等式组，实质就是解每一个不等式，再求这些不等式的公共解集．确定不等式组的解集的方法有数轴法和口诀法．
【例1】
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

【变1】
（2023·江苏·统考中考真题）
4．解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．

考点讲解：给出解方程和不等式的过程，判定是否正确，或指出错误的步骤，再写出正确的解答过程．这类试题需要仔细阅读解题过程，找出前后变化的依据，才能发出解题过程中的错误．
【例1】
（2023·浙江衢州·中考真题）
5．小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【变1】
（2023·宁夏·统考中考真题）
6．解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
考点讲解：在新定义中，已知按新定义运算的结果的结果，求其中字母的值，一般需要构建方程（组）来解；已知新定义的结果的范围，求其中字母的范围，一般需要构建不等式（组）来求解；
【例1】
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
7．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【变1】
（2020·内蒙古通辽·中考真题）
8．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．
（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
（2023·湖南常德·统考中考真题）
9．解方程组：
（2023·四川乐山·统考中考真题）
10．解二元一次方程组：
（2022·山东淄博·统考中考真题）
11．解方程组：
（2022·湖北荆州·统考中考真题）已知
12．已知方程组的解满足，求k的取值范围．
（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）
13．解方程：
（2023·四川凉山·统考中考真题）
14．解方程：．
（2023·西藏·统考中考真题）
15．解分式方程：．
（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）
16．小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
（2023·山东济南·统考中考真题）
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
18．小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
（2023·河北沧州·校考模拟预测）
19．定义一种新的运算※，对于任意实数和，规定，例如：．
(1)求的值．
(2)若，求的取值范围．
（2022·浙江杭州·统考中考真题）
20．计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
21．（1）解方程：
（2）解不等式组：
（2021·江苏无锡·统考中考真题）
22．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
23．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
（2022·江苏无锡·统考中考真题）
24．（1）解方程；
（2）解不等式组：．
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
25．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
（2023·湖南·统考中考真题）
26．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

（2023·天津·统考中考真题）
27．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________________；
(2)解不等式②，得________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集为________________．
（2023·江苏扬州·统考中考真题）
28．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
（2023·青海·统考中考真题）
29．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
(1)解不等式组：；
(2)当m取（1）的一个整数解时，解方程.
（2023·北京·统考中考真题）
30．解不等式组：．
（2023·山东·统考中考真题）
31．解不等式组：．
解：，
……
小丁：
解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
解得
∴原方程的解是
小迪：
解：去分母，得
去括号得
合并同类项得
解得
经检验，是方程的增根，原方程无解
参考答案：
1．
【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可．
【详解】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题的关键．
2．
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
3．，数轴见详解
【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1：．
在数轴上可表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．
4．，整数解为：0，1，2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为：，
在解集在数轴上表示出来为：

它的整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变．
5．(1)见解析；
(2).
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
（2）解：，
去分母，得，，
移项，得：，
合并同类页，得：，
解得：．
6．任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
7．(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，
；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8．(1)；(2)，图见解析
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤
9．
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
10．
【分析】采用加减消元法即可求解．
【详解】解：①，得②，
将②+③，得，
解得．
将代入①，
得，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了运用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
11．
【分析】整理方程组得，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：整理方程组得，
得，
y=1，
把y=1代入①得，
解得x=5，
∴方程组的解为.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
12．
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入中即可求k；
【详解】解：令①+②得，，
解得：，
将代入①中得，，
解得：，
将，代入得，，
解得：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
13．，
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
14．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
15．
【分析】方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
【详解】
，
经检验，是原方程的根，
故原方程的解为：．
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验．
16．都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得，
去括号，得，
解得，，
经检验：是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
17．，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
18．(1)划线见解析
(2)，过程见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式．
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得，
整理，得，
解得．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键．
20．(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可；
【详解】（1）解：；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得，解得，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
21．（1），；（2）
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）
解：∵，
∴，
∴
解得：，；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键．
22．（1）x1=1，x2=-3；（2）1≤x＜3
【分析】（1）先移项，再直接开平方，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】解：（1），
，
x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2），
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
23．（1）；（2）
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
，
∴，
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
24．（1）x1=1+，x2=1-；（2）不等式组的解集为1＜x≤．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）方程移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
开方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-；
（2）．
由①得：x＞1，
由②得：x≤，
则不等式组的解集为1＜x≤．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握方程及不等式组的解法是解本题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出x的值，再对所求的根进行检验即可；
（2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
方程两边同时乘以，
得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
26．不等式组的解集为：．画图见解析
【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：

∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键．
27．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可．
【详解】（1）解：解不等式①，得，
故答案为：；
（2）解：解不等式②，得，
故答案为：；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）解：原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
28．，数轴表示见解析．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
29．(1)
(2)，（答案不唯一）
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据中不等式的解集得出的一个值，求出的值即可．
【详解】（1）解：由得，，
由得，，
故不等式组组的解集为：．
（2）由知，
令，
则方程变为，
，
，
，（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出的取值范围是解题的关键．
30．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
31．
【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可．
【详解】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．