江苏省盐城市七校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省盐城市七校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 已知数列， 直线的方程为， 已知点，以为圆心，FO， 曲线，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（ ）
A. 该数列是公差为的等差数列
B. 该数列的图象只能在第一象限
C. 该数列是个有穷数列
D. 该数列的图象是直线上满足的点集
【答案】D
【解析】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误；
因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误；
由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误；
由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确.
故选：D.
2. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知抛物线，即，
则准线方程为，解得，
故选：D.
3. 直线，，若，则的值为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，
则，
解得或，
当时，，，与重合，不成立；
当时，，，，成立；
综上所述，
故选：B.
4. 已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适合下列哪个通项公式（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】将分别代入，选项A、B、C均符合题意；
对于D，当时，不符合题意，故选D．
5. 直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若直线斜率不存在，即不经过第一象限，
若直线斜率存在，即，
所以，
综上实数的取值范围为，
故选：C.
6. 圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，的圆心，半径，
由题意则与关于直线对称，
所以，解得，
所以圆的标准方程为，
故选：A.
7. 若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知，
又实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，
即，，
化简可得，
等式左右同除，
则，，
解得或（舍），
故选：C.
8. 已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆方程为，其中
则,
设原点到直线的距离为，
∵为正三角形，∴，且，
则 设，
即，，
由，得，
所以，当且仅当时等号成立；
所以的最小值为.

故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 曲线，下列结论正确的有（ ）
A. 若曲线C表示椭圆，则且不等于0
B. 若曲线C表示双曲线，则焦距是定值
C. 若，则短轴长为
D. 若，则渐近线为
【答案】ACD
【解析】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确；
若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，
所以，
当焦点在轴上时，，所以，故B错误；
当时，方程为，故，，故C正确；
当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确.
故选：ACD.
10. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值可能是（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】BC
【解析】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
结合选项可知BC满足条件，
故选：BC．
11. 如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对A，观察给定图形，显然，则，故A正确；
对B，由及得，B正确；
对CD，因，即，有，
得，
令，，即有，由给定轨道图知，，
因此，，D正确；而，C不正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________．
【答案】
【解析】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为，
则，所以.
故答案为：.
13. 若数列满足，若，则的值为______.
【答案】
【解析】由已知，则，，
可得，进而可得，，，
即，，
所以，
故答案为：.
14. 如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为______m.（精确到0.1m）
【答案】4.3
【解析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
将点代入得，
故，
令x=6，得，故限高为，
故答案为：4.3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知动点满足方程.
（1）试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率；
（2）类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中a，b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，求该椭圆的面积.
解：（1）由，
可以看作动点到定点的距离和为常数，
所以由椭圆的定义知动点轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，
所以，
所以椭圆的方程为：，其离心率.
（2）由（1）知，
由所给椭圆面积公式.
16. 已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为.
（1）求的值；
（2）求过点并与圆相切的切线方程.
解：（1）依题意可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
由勾股定理可知，代入化简得，
解得或.
（2）圆，由知在圆外，
①当切线方程的斜率存在时，设方程为，
由圆心到切线的距离，即，可解得，
切线方程为，
②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，
综合①②可知切线方程为或.
17. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点.
（1）求拋物线的标准方程；
（2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值.
解：（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
过点，即，解得，
即此时抛物线方程为；
（2）由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立直线与抛物线，得，
则，解得，
且，，，
又以为直径圆经过原点，
即，，
解得.
18. 已知点在椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点.
（1）求以为直径圆的方程；
（2）以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由.
解：（1）由已知椭圆的右准线为，即，则，
则椭圆方程为，
又椭圆过点，
则，
解得，
则，，
椭圆，，
令，解得，即，
又以为直径圆圆心为，
所以圆的方程为；
（2）易知直线斜率存在且不为，
则设直线，，，
联立直线与椭圆，得，
则，
即，且，
又、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，
即，中点在直线上，
即，化简可得，
直线方程为，
令，则，即，
所以直线，即，
即直线恒过定点.
19. 已知为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.
（1）求双曲线的方程；
（2）设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率；
（3）过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：.
解：（1）由渐近线为，则，即，
则双曲线方程为，，
令，
则，
又在轴上方，则，，，
所以双曲线方程为；
（2）由（1）得，
设直线，，
联立直线与双曲线，
则，
，
即，
且，，
又，，
且，
则，
化简可得，
即或，
当，直线，
直线过点，不成立，
综上所述，；
（3）当直线斜率存在时，设直线，，，
易知直线与圆相切，
则，即，
联立直线与双曲线，得，
，即，
且，，
则，，
即
，
即；
当直线斜率不存在时，直线或，
当方程为时，，，
此时，，
同理当方程为时，；
综上所述恒成立，
即为直角三角形，且为中点，
则.