重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期开学阶段性检测数学试卷（Word版附答案）

这是一份重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期开学阶段性检测数学试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了下列命题中，正确的是，在中，，则角的值为等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.在中，，则角的值为（ ）
A.或 B.或 C. D.
3.所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面.似柱体的体积公式为，这里为两个底面面积，为中截面面积，为高.如图，已知多面体中，是边长1为的正方形，且均为正三角形，，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知是夹角为两个单位向量，若向量在向量上投影向量为，则（ ）
A. B.2 C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知向量满足，若，且，则的最大值为（ ）
A.3 B.2 C. D.
二､多选题（每题6分）
9.对于四面体，以下命题中正确的命题是（ ）
A.若，则与底面所成的角相等
B.若，则点A在底面内的射影是的内心
C.四面体的四个面中最多有四个直角三角形
D.若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为
10.已知的外接圆半径，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的周长的最小值为 D.的面积的最大值为
11.定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.则下列命题中正确的有（ ）
A.若平行四边形的面积为4，则
B.在正中，若，则
C.若，则的最小值为
D.若，且为单位向量，则的值可能为
三､填空题（每题5分）
12.设全集，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为__________.
13.从一堆产品（正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列
说法：
①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
②“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件
④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件
其中正确的有__________（填序号）.
14.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为__________（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角､二面角中最小的角的余弦值为
四､解答题
15.（13分）记的内角的对边分别为，已知，
（1）求；
（2）若的面积为，求.
16.（15分）如图，在正三棱柱中，.点分别为的中点，连接.
（1）试问：线段上是否存在一点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲､乙两人在该停车场停车.两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时.
（1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率；
（2）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车的费用之和为9元的概率；
（3）甲､乙停车不超过半小时的概率分别为，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，求甲､乙两人临时停车的费用不相同的概率.
18.（17分）在空间几何体中，平面，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）若平面，试比较三棱锥与的体积的大小，并说明理由.
19.在四棱锥中，已知，是线段上的点.
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1.C 2.D 3.B 4.C
5.A 【详解】在向量上的投影向量为.
.故选：A
6.B 【详解】如图，连接，过作，垂足为.
在直三棱柱中，平面平面，
所以，异面直线间垂线段最短故.
过作于点，连接，易得平面，
则，又，所以.因为，
，所以，则.当与重合时，，
当与重合时，由，得平面，
所以，所以.
所以的面积的取值范围为，故选：B
7.D 【解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟､糖､糖､糖：种糖､烟､糖､糖：种
糖､糖､烟､糖：种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为
8.D 【解】如图：令，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
9.ACD 【解】解：
A项：因为，设点A在平面内的射影是，
因为，所以
，则与底面所成的角相等；故A正确；B项：设点A在平面内的射影是，则是在平面内的射影，因为，根据三垂线定理的逆定理可知：同理可证，所以是的垂心，故B不正确；
C项：如图：
直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故C正确
D项：如图，为正四面体的内切球的球心，正四面体的棱长为1；
所以为内切球的半径，，所以，
因为，所以，所以，
所以球的表面积为：，故D正确.故选：ACD.
10.ABD 【详解】在中，设角所对的边分别记作，
，又的外接圆半径，由正弦定理得：
，又不会同为钝角，故，又，故B选项对.由上得：，由余弦定理得：的最小值为，故A选项对，C选项错.由上得：，又的面积
的最大值为，故D选项对，故选：ABD.
11.ACD 解1解：对于A，因为平行四边形的面积为4，所以，
所以，故A正确；对于B，设正的边边上的中点为，
则，因为，所，所以，所以B错误；
对于C，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，所以C正确；
对于D，若，且为单位向量，则当时，
可以等于，此时，所以D正确.故选：ACD.
12. 【详解】设.
由，可知，即，即.
因为，，所以，
则可化为，解得.
即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.
弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角
，圆的半径，
则扇形的面积，
所以弓形的面积为.故答案为：.
13.①②④
①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；
②“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故②正确；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，
不是互斥事件但不是对立事件，故③不正确；
④“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，④正确.故答案为①②④.
14.；
【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中.设长方体的长宽高分别为.
，解得四面体为，
四面体的全面积为，内切球半径，则，
设，取的中点，连接，则
，
故长为6的两组对棱所成的角的余弦值都是.长为4的两组对棱所成的角为直角；
由于四面体各个面的面积都是，所以各个面上的高都是相等的，设为，则，当棱的长选取最长为6时，该棱与相应各面所成的角最小，其正弦值为，余弦值
各异面直线所成的角，线面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案为：.
15.【解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，因为，所以，
从而，又因为，即，
注意到，所以.
（2）由（1）可得，从而，而，
由正弦定理有，从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.
16如图，取的中点，过点作于点，连接，则.
在正三棱柱中，平面平面，
又平面平面平面，
所以平面，即平面.
因为平面，所以.
因为平面
所以平面，因为平面，所以.
在中，设，则.易得，
所以，所以.
所以线段上存在一点，且当时，.
（2）取的中点，连接.由题意可得
两两垂直，如图，以点为坐标原点，
直线分别为轴､轴､轴，
建立空间直角坐标系.
设，则，
所以.设平面的法向量为
.由，得，
令，得，则.设直线与平面所成的角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.【详解】（1）由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，
1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同均为，且三段时间费用分别为0，
3，6元.故甲停车的费用不超过3元的概率为.
（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中.
所以甲､乙两人停车付费的所有可能情况为：
，共9种，且概率相等.
其中事件“甲､乙两人停车付费之和为9元”包含，共2种情况，
故甲､乙两人停车付费之和为9元的概率为.
（3）设甲停车的时长不超过半小时､乙停车的时长不超过半小时分别为事件，
甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时､乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，
甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时，乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，
则，
所以甲､乙两人临时停车付费相同的概率为
.
所以甲､乙两人临时停车付费不相同的概率为.
18【详解】（1）证明：如图，取中点，连，由得，
平面平面，又平面，平面平面，
平面，又平面，
又平面平面平面.
（2）解：连接.
平面平面，面面，
平面平面.
又平面.又，
四边形是矩形，
，而，则.
19.（1）证明：在中，，
所以.
在中，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因为平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在中：，则，所以，，
因为平面，所以面.
（2）解：因为平面，
以点A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立
如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
设，其中，
则，
设为面的法向量，
则有，取，则，
所以，平面的一个法向量为，
由题意可得，
可得，因为，所以.
因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且.