重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(Word版附解析)
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数学试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题“”的否定为:,
故选:A.
2. 若全集,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集和交集的定义可求.
【详解】,故,
故选:A.
3. 下列各组函数表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可.
【详解】对于A:两函数对应关系不一样,不表示同一函数,;
对于B:,,两函数定义域不同,不表示同一函数;
对于C::,,对应关系相同且定义域相同(都是),表示同一函数;
对于D:,两函数对应关系与定义域都不相同,不表示同一函数.
故选:C
4. 已知函数fx=ax2+bx+c,若,则的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断出的符号后可得正确的选项.
【详解】因为,故即,
而,故,
BC中图象开口向下,不符合,而A中图象过原点,与矛盾,
故选:D.
5. 设,用x表示不超过的最大整数,如,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】取,则,则,故“”推不出“”.
若,设,其中,,
此时x−y=x−y+r1−r2≥1+r1−r2>0,故成立,
故“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
6. 对任意两个实数,定义,若,则下列关于函数的说法错误的是( )
A. 函数是偶函数B. 方程有两个根
C. 不等式的解集为(1,2)D. 函数的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】根据定义写出函数解析式,并画出函数图象,观察图象即可得出正确选项.
详解】由题意可得,,
作出函数图象,如图所示:
由图象可知,为偶函数,故A正确;
方程有三个解,故B错误;
由,当时,解得,可得交点坐标,
由,当时,解得,可得交点坐标
由图像可知:mx>−x的解集为(1,2),故C正确;
由图可知,的最大值为,值域为,故D正确.
故选:B
7. 已知函数是定义在上的偶函数,在上单调递增.若,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域对称求出,再根据单调性和奇偶性可求不等式的解.
【详解】因为为偶函数,故即,
而在上单调递增且为偶函数,故在上为减函数,
而即为,
故,故或,
故选:C.
8. 对于函数,若存在,则称为不动点.若函数对恒有两个相异的不动点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据恒有两个不动点,转化为恒有两个不等实根,利用判别式求解即可.
【详解】因为函数恒有两个不动点,即恒有两个不等实根,
显然,整理得,
所以,即,对恒成立,
则,解得,
所以实数的取值范围为.
故选:D
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9. 下列命题中正确的是( )
A. 若,则B. 若则
C. 若,则D. 若,则
【答案】ABC
【解析】
【分析】由不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A:由,可得:,故,正确;
对于B:若,则,正确;
对于C:若,则,所以,故正确;
对于D: 由,可得:,故错误.
故选:ABC
10. 已知,则下列选项一定正确的是( )
A. 的最大值为B. 的最小值为1
C. 的最大值为2D. 最小值为9
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断AB的正误,利用二次函数的性质可判断C的正误,利用“1”的代换结合基本不等式可判断D的正误.
【详解】对于A,,
而,故即,
故即,
当且仅当时等号成立即的最大值为,故A成立;
对于B,,
等号成立的条件为即,但,故等号不成立,
所以的最小值不为1,故B错误;
对于C,,当且仅当时等号成立,
但此时,与a>0矛盾,故的最大值不为2,故C错误;
对于D,,
当且仅当时等号成立,故最小值为9,
故D正确;
故选:AD.
11. 已知函数,则以下结论正确的是( )
A. 的值域是
B. 对任意,都有
C. 对任意,都有
D. 若规定,其中,则
【答案】BD
【解析】
【分析】A:求出函数的解析式,根据单调性求值域;
B C:作出函数图像,根据凸函数性质判断,根据单调性判断;
D:根据已知条件推出一般结论,然后求解.
【详解】A:,
函数是奇函数,
当时,,
∴当时,时,,
,即函数的值域为,
故A错误;
B,C:,作出图像:
根据图像可知,在0,+∞,满足,,
在,由对称性可得:满足,故C错误;
若对任意x∈R,都有,
则等价为函数为增函数,
当时,
则为减函数,为减函数,
则增函数,
是奇函数,
∴fx在上为增函数,故B正确;
D:∵
,
,
所以
∴故D正确﹒
故选:BD
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案写在答题卡相应位置上.
12. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【详解】因为,∴,∴,∴解集为.
故答案为:.
13. 定义集合运算:且.若集合,则集合的子集个数为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数.
【详解】由题设中新集合的定义可得:
,,故,
故其子集个数为,
故答案为:.
14. 设矩形的周长为定值,把沿向折叠,折过去后交于点,如图,则当的面积最大时,矩形的面积为_____
【答案】
【解析】
【分析】设,,计算可得,则,利用基本不等式可求最大值,从而可求对应的矩形的面积.
【详解】由题设有,由折叠过程可得,
故,设,,而,
故即即,
则,故,
所以,故,
所以,故,
令,
则,
当且仅当,故当时,的面积最大时,
矩形的面积为.
故答案为:.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集,集合,
(1)求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【解析】
【分析】(1)求出集合利用交集的定义可求;
(2)求出,再就是否为空集分类讨论后可得参数的范围.
【小问1详解】
,,
故.
【小问2详解】
由(1)可得,故,
若,则即,符合;
若,则或,故,
综上,或.
16. 已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值;
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1),
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)依题意可得,为关于的方程的两根且,利用韦达定理得到方程组,解得即可;
(2)依题意可得,再分、、、四种情况讨论,分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为,
所以,为关于的方程的两根且,
所以1+2=−ba1×2=2aa>0,解得;
【小问2详解】
不等式,
即,即,
当时,解得,所以不等式的解集为;
当时,不等式即x+3mx−1>0,
若,即,此时不等式即,解得,所以不等式的解集为;
若−3m>1m<0,即时,解得或,所以不等式的解集为;
若,即时,解得或,所以不等式的解集为;
综上可得:当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
17. 重庆市主城区城市公共供水企业(不含乡镇水厂)服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示).阶梯水量以年为计价周期,周期之间不累计、不结转.
(1)求用户水费与用水量的函数解析式,并求当某户一年所交水费为1078.8元时其一年的用水量:
(2)为改善生态环境,某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理.已知该企业污水日处理量为百吨,日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为.若该企业每处理1百吨污水获收益100元,为使该企业可持续发展,政府决定对该污水处理企业进行财政补贴:处理百吨污水补贴元,求该企业每日可获得的最大利润.
【答案】(1),.
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题设写出水费的分段函数表达式,即可求解;
(2)表示出利润的表达式,即可求解.
【小问1详解】
设用水量为吨,则:
当,水费元;
当,水费元;
当,水费元;
由题设,水费,
当元,而,,
所以,可得吨.
也即一年的用水量为吨.
【小问2详解】
由题意可得该企业每日可获得的利润为:
由二次函数对称轴为,开口向下可知:
当时,取得最大值,最大值为:.
所以该企业每日可获得的最大利润为元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断并用定义证明函数在上的单调性;
(3)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上为增函数,证明见解析
(3)
【解析】
【分析】(1)先根据f−x=−fx恒成立求出,再根据求出,故可求函数解析式;
(2)利用单调性定义结合函数为奇函数可证得在−1,1上为增函数.
(3)根据函数单调性结合定义域可得在−1,1上恒成立,利用特征法可得,结合判别式可求参数的范围.
【小问1详解】
因为为−1,1上的奇函数,故,
故即,
而,故,故,故.
【小问2详解】
在−1,1上为增函数,证明如下:
设,则,
因,故,
所以即即在上为增函数,
而在−1,1上为奇函数,故在−1,1上为增函数.
【小问3详解】
不等式fx2+fcx−c>0即为fx2>fc−cx,
故在−1,1上恒成立,
所以取,则,
故在−1,1上恒成立且,
所以即.
19. 我们知道,函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.可以将其推广为:函数y=fx的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.
(1)求函数y=fx图象的对称中心;
(2)已知函数关于点对称,且当时,.若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)设的对称中心为,根据对称性得到关于的方程,解得即可得解;
(2)易求得的值域为,设函数的值域为集合,则问题可转化为,分,和三种情况讨论,从而可得出答案.
【小问1详解】
设的对称中心为,
由题意,得函数为奇函数,
则,
即,
即,
整理得,
所以,解得,
所以函数的对称中心为;
【小问2详解】
解:因为对任意的,总存在,使得,
所以函数的值域是函数的值域的子集,
因为函数在上是增函数,
所以函数在上是增函数,
所以的值域为,
设函数的值域为集合,
则原问题转化为,
因为函数关于对称,
又因为,所以函数恒过点,
当,即时,在0,1上递增,则函数在上也是增函数,
所以函数在0,2上递增,
又,
所以的值域为,即,
又,
所以,解得,
当即时,在0,1上递减,则函数在上也减函数,
所以函数在0,2上递减,
则,
又,
所以,解得,
当即时,
在上递减,在上递增,
又因函数过对称中心,
所以函数在上递增,在上递减,
故此时,,
要使,
只需要,解得,
综上所述实数m的取值范围为.
【点睛】此类问题可转化为函数值域的包含关系即可.
阶梯
用户用水量(吨)
综合水价(元/吨)
其中
自来水费(元/吨)
污水处理费(元/吨)
第一阶梯
(含)
3.50
2.50
1.00
第二阶梯
(含)
4.22
3.22
第二阶梯
360以上
5.90
4.90
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