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    重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(Word版附解析)

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    重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(Word版附解析)

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    这是一份重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(Word版附解析),文件包含重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析docx、重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。


    数学试题
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 命题“”的否定为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据全称命题否定的结构形式可得正确的选项.
    【详解】命题“”的否定为:,
    故选:A.
    2. 若全集,集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据补集和交集的定义可求.
    【详解】,故,
    故选:A.
    3. 下列各组函数表示同一函数的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可.
    【详解】对于A:两函数对应关系不一样,不表示同一函数,;
    对于B:,,两函数定义域不同,不表示同一函数;
    对于C::,,对应关系相同且定义域相同(都是),表示同一函数;
    对于D:,两函数对应关系与定义域都不相同,不表示同一函数.
    故选:C
    4. 已知函数fx=ax2+bx+c,若,则的图象可能是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】判断出的符号后可得正确的选项.
    【详解】因为,故即,
    而,故,
    BC中图象开口向下,不符合,而A中图象过原点,与矛盾,
    故选:D.
    5. 设,用x表示不超过的最大整数,如,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
    【详解】取,则,则,故“”推不出“”.
    若,设,其中,,
    此时x−y=x−y+r1−r2≥1+r1−r2>0,故成立,
    故“”是“”的必要不充分条件,
    故选:B.
    6. 对任意两个实数,定义,若,则下列关于函数的说法错误的是( )
    A. 函数是偶函数B. 方程有两个根
    C. 不等式的解集为(1,2)D. 函数的值域为
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据定义写出函数解析式,并画出函数图象,观察图象即可得出正确选项.
    详解】由题意可得,,
    作出函数图象,如图所示:
    由图象可知,为偶函数,故A正确;
    方程有三个解,故B错误;
    由,当时,解得,可得交点坐标,
    由,当时,解得,可得交点坐标
    由图像可知:mx>−x的解集为(1,2),故C正确;
    由图可知,的最大值为,值域为,故D正确.
    故选:B
    7. 已知函数是定义在上的偶函数,在上单调递增.若,则实数的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据定义域对称求出,再根据单调性和奇偶性可求不等式的解.
    【详解】因为为偶函数,故即,
    而在上单调递增且为偶函数,故在上为减函数,
    而即为,
    故,故或,
    故选:C.
    8. 对于函数,若存在,则称为不动点.若函数对恒有两个相异的不动点,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据恒有两个不动点,转化为恒有两个不等实根,利用判别式求解即可.
    【详解】因为函数恒有两个不动点,即恒有两个不等实根,
    显然,整理得,
    所以,即,对恒成立,
    则,解得,
    所以实数的取值范围为.
    故选:D
    二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
    9. 下列命题中正确的是( )
    A. 若,则B. 若则
    C. 若,则D. 若,则
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】由不等式的性质逐项判断即可.
    【详解】对于A:由,可得:,故,正确;
    对于B:若,则,正确;
    对于C:若,则,所以,故正确;
    对于D: 由,可得:,故错误.
    故选:ABC
    10. 已知,则下列选项一定正确的是( )
    A. 的最大值为B. 的最小值为1
    C. 的最大值为2D. 最小值为9
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】利用基本不等式可判断AB的正误,利用二次函数的性质可判断C的正误,利用“1”的代换结合基本不等式可判断D的正误.
    【详解】对于A,,
    而,故即,
    故即,
    当且仅当时等号成立即的最大值为,故A成立;
    对于B,,
    等号成立的条件为即,但,故等号不成立,
    所以的最小值不为1,故B错误;
    对于C,,当且仅当时等号成立,
    但此时,与a>0矛盾,故的最大值不为2,故C错误;
    对于D,,
    当且仅当时等号成立,故最小值为9,
    故D正确;
    故选:AD.
    11. 已知函数,则以下结论正确的是( )
    A. 的值域是
    B. 对任意,都有
    C. 对任意,都有
    D. 若规定,其中,则
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】A:求出函数的解析式,根据单调性求值域;
    B C:作出函数图像,根据凸函数性质判断,根据单调性判断;
    D:根据已知条件推出一般结论,然后求解.
    【详解】A:,
    函数是奇函数,
    当时,,
    ∴当时,时,,
    ,即函数的值域为,
    故A错误;
    B,C:,作出图像:
    根据图像可知,在0,+∞,满足,,
    在,由对称性可得:满足,故C错误;
    若对任意x∈R,都有,
    则等价为函数为增函数,
    当时,
    则为减函数,为减函数,
    则增函数,
    是奇函数,
    ∴fx在上为增函数,故B正确;
    D:∵


    所以
    ∴故D正确﹒
    故选:BD
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案写在答题卡相应位置上.
    12. 不等式的解集为______.
    【答案】
    【解析】
    【详解】因为,∴,∴,∴解集为.
    故答案为:.
    13. 定义集合运算:且.若集合,则集合的子集个数为_____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数.
    【详解】由题设中新集合的定义可得:
    ,,故,
    故其子集个数为,
    故答案为:.
    14. 设矩形的周长为定值,把沿向折叠,折过去后交于点,如图,则当的面积最大时,矩形的面积为_____
    【答案】
    【解析】
    【分析】设,,计算可得,则,利用基本不等式可求最大值,从而可求对应的矩形的面积.
    【详解】由题设有,由折叠过程可得,
    故,设,,而,
    故即即,
    则,故,
    所以,故,
    所以,故,
    令,
    则,
    当且仅当,故当时,的面积最大时,
    矩形的面积为.
    故答案为:.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知全集,集合,
    (1)求;
    (2)若,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)或.
    【解析】
    【分析】(1)求出集合利用交集的定义可求;
    (2)求出,再就是否为空集分类讨论后可得参数的范围.
    【小问1详解】
    ,,
    故.
    【小问2详解】
    由(1)可得,故,
    若,则即,符合;
    若,则或,故,
    综上,或.
    16. 已知关于的不等式的解集为.
    (1)求实数的值;
    (2)求关于的不等式的解集.
    【答案】(1),
    (2)答案见解析
    【解析】
    【分析】(1)依题意可得,为关于的方程的两根且,利用韦达定理得到方程组,解得即可;
    (2)依题意可得,再分、、、四种情况讨论,分别求出不等式的解集.
    【小问1详解】
    因为关于的不等式的解集为,
    所以,为关于的方程的两根且,
    所以1+2=−ba1×2=2aa>0,解得;
    【小问2详解】
    不等式,
    即,即,
    当时,解得,所以不等式的解集为;
    当时,不等式即x+3mx−1>0,
    若,即,此时不等式即,解得,所以不等式的解集为;
    若−3m>1m<0,即时,解得或,所以不等式的解集为;
    若,即时,解得或,所以不等式的解集为;
    综上可得:当时,不等式的解集为;
    当时,不等式的解集为;
    当时,不等式的解集为;
    当时,不等式的解集为.
    17. 重庆市主城区城市公共供水企业(不含乡镇水厂)服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示).阶梯水量以年为计价周期,周期之间不累计、不结转.
    (1)求用户水费与用水量的函数解析式,并求当某户一年所交水费为1078.8元时其一年的用水量:
    (2)为改善生态环境,某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理.已知该企业污水日处理量为百吨,日处理污水的总成本元与百吨之间的函数关系可近似地表示为.若该企业每处理1百吨污水获收益100元,为使该企业可持续发展,政府决定对该污水处理企业进行财政补贴:处理百吨污水补贴元,求该企业每日可获得的最大利润.
    【答案】(1),.
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题设写出水费的分段函数表达式,即可求解;
    (2)表示出利润的表达式,即可求解.
    【小问1详解】
    设用水量为吨,则:
    当,水费元;
    当,水费元;
    当,水费元;
    由题设,水费,
    当元,而,,
    所以,可得吨.
    也即一年的用水量为吨.
    【小问2详解】
    由题意可得该企业每日可获得的利润为:
    由二次函数对称轴为,开口向下可知:
    当时,取得最大值,最大值为:.
    所以该企业每日可获得的最大利润为元.
    18. 已知函数是定义在上的奇函数且.
    (1)求函数的解析式;
    (2)判断并用定义证明函数在上的单调性;
    (3)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)在上为增函数,证明见解析
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)先根据f−x=−fx恒成立求出,再根据求出,故可求函数解析式;
    (2)利用单调性定义结合函数为奇函数可证得在−1,1上为增函数.
    (3)根据函数单调性结合定义域可得在−1,1上恒成立,利用特征法可得,结合判别式可求参数的范围.
    【小问1详解】
    因为为−1,1上的奇函数,故,
    故即,
    而,故,故,故.
    【小问2详解】
    在−1,1上为增函数,证明如下:
    设,则,
    因,故,
    所以即即在上为增函数,
    而在−1,1上为奇函数,故在−1,1上为增函数.
    【小问3详解】
    不等式fx2+fcx−c>0即为fx2>fc−cx,
    故在−1,1上恒成立,
    所以取,则,
    故在−1,1上恒成立且,
    所以即.
    19. 我们知道,函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.可以将其推广为:函数y=fx的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.
    (1)求函数y=fx图象的对称中心;
    (2)已知函数关于点对称,且当时,.若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设的对称中心为,根据对称性得到关于的方程,解得即可得解;
    (2)易求得的值域为,设函数的值域为集合,则问题可转化为,分,和三种情况讨论,从而可得出答案.
    【小问1详解】
    设的对称中心为,
    由题意,得函数为奇函数,
    则,
    即,
    即,
    整理得,
    所以,解得,
    所以函数的对称中心为;
    【小问2详解】
    解:因为对任意的,总存在,使得,
    所以函数的值域是函数的值域的子集,
    因为函数在上是增函数,
    所以函数在上是增函数,
    所以的值域为,
    设函数的值域为集合,
    则原问题转化为,
    因为函数关于对称,
    又因为,所以函数恒过点,
    当,即时,在0,1上递增,则函数在上也是增函数,
    所以函数在0,2上递增,
    又,
    所以的值域为,即,
    又,
    所以,解得,
    当即时,在0,1上递减,则函数在上也减函数,
    所以函数在0,2上递减,
    则,
    又,
    所以,解得,
    当即时,
    在上递减,在上递增,
    又因函数过对称中心,
    所以函数在上递增,在上递减,
    故此时,,
    要使,
    只需要,解得,
    综上所述实数m的取值范围为.
    【点睛】此类问题可转化为函数值域的包含关系即可.
    阶梯
    用户用水量(吨)
    综合水价(元/吨)
    其中
    自来水费(元/吨)
    污水处理费(元/吨)
    第一阶梯
    (含)
    3.50
    2.50
    1.00
    第二阶梯
    (含)
    4.22
    3.22
    第二阶梯
    360以上
    5.90
    4.90

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