北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

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2024年11月
学校________ 班级________ 姓名________
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．3
2．五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段BC的长是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
4．如图，D是边AC上一点，交AB于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．如图，在中，点E在AD上，BE交AC于点F．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（），那么（ ）

A． B． C． D．
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．如果，那么的值是________．
10．抛物线的对称轴是直线________．
11．如图，如果，，，那么的度数是________．
12．在二次函数的图象中，当时，y随x的增大而________．（填增大，减小或不变）
13．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段AD与BC相交于点O，小正方形的边AO长为1，那么的值等于________．
14．如图，在中，点E在AB边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是________．
15．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长AB为________米．

图1 图2
16．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为________米．
三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．已知二次函数的图象与x轴的交点为，．求此二次函数的表达式．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点．若，，．求证：．
19．如图，在中，，．
（1）利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：．
20．已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（2）当时，直接写出函数值y的取值范围．
21．如图，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在DB上且．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若，求线段BC的长．
22．已知二次函数（m为常数）的图象经过点，．
（1）求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）；
（2）请判断，的大小关系并说明理由．
23．某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下．
请根据以上测量结果及该小组的思路．求该学校旗杆AB的高度．
24．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米；
（3）求出y关于x的函数关系式；
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
25．如图，在中，D是BC边上一点，且，延长AD到点E，使，过点E作，交AC的延长线于点F．

（1）求证：点C是AF的中点；
（2）若，求BD的长．
26．已知抛物线，当时，x的取值范围是．
（1）该抛物线的开口方向________；
（2）若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围．
27．如图，在中，，AD为的中线，过点C作于点E，交AB于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求线段EF的长．
28．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟。
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束后，请将答题卡交回。
x
…
0
1
3
…
y
…
6
2
0
2
…
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
皮尺，标杆
测量示意图
说明：在水平地面上直立一根标杆EF，观测者沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶端E、旗杆的顶端A在同一直线上．
测量数据
观测者与标杆的距离DF
观测者与旗杆的距离DB
标杆EF的长
观测者的眼睛离地面的距离CD
问题解决
如图，过点C作于点H，交EF于点G．…
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…