辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷及参考答案

这是一份辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷及参考答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．由一组样本数据得到经验回归方程，那么下列说法正确的是（ ）
A．若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱
B．若越大，则两组变量的相关性越强
C．经验回归方程至少经过样本数据中的一个
D．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知为的外心，，，，则的面积为（ ）
A．5B．C．6D．
8．已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．不共线，且，则.
B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
C．已知，则在上的投影的坐标为
D．已知点为的垂心，则
10．为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
A．第一次投篮的人是甲的概率为
B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
C．第二次投篮的人是甲的概率为
D．设第次投篮的人是甲的概率为，则
11．已知，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是 .
13．已知，且，则 .
14．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)化简:；
(2)求函数的最小正周期和图象的对称中心;
(3)求函数在上的单调递增区间.
16．在中，内角所对的边分别是，已知向量，，满足.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围;
(3)若角的平分线交边于点，求面积的最小值.
17．中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
(1)将列联表补充完整；
(2)是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;
(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差.
附:，其中
18．已知函数，数列满足，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值．
19．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导.则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
(1)已知且，
（i）若恒成立，求实数的取值范围；
（ii）当时，求证：.
(2)已知函数有两个零点，记作，若，证明：
男
女
合计
了解
20
不了解
20
40
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1．A
【分析】先化简集合，再利用集合间的包含关系，即可求得实数的取值范围.
【详解】，
由，可得，
又，则.
故选：A
2．B
【分析】根据复数的除法，化简整理为标准型，结合共轭复数与虚部的定义，可得答案.
【详解】，则，
所以复数的共轭复数的虚部是.
故选：B.
3．D
【分析】根据相关系数的含义可判断AB；根据回归直线的含义可判断CD；
【详解】对于A，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误；
对于B，若越大，则两组变量的相关性越强，是回归直线的斜率，
它不反应两变量的相关性强弱，B错误；
对于C，经验回归方程不一定经过样本数据中的一个，C错误；
对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，
若，相应的观测值y约增加个单位；若，相应的观测值y约增加个单位；
故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位，正确，
故选：D
4．A
【分析】由两角和的正弦公式展开后求得，然后求得，再由二倍角公式计算．
【详解】，又，则，
所以，
，
故选：A．
5．C
【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解.
【详解】因为①，
当时，②，由①②得，
又，满足，所以，
由，得到，
所以，
故选：C.
6．D
【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围.
【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.
由，得，即，
从而，即
故选：D
【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围.
7．D
【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案.
【详解】设的中点为，由为的外心可得，，
，
又，
所以，
又，可得，
故，
则的面积为.
故选：D.
8．B
【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围．
【详解】，
时，，当时，，递减，时，，递增，
时，，时，，是极小值，
时，，在上是增函数，
时，，时，，且，
作出函数的大致图象，如图，

由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解，
方程有四解，
则方程有两解且，
记，
则，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用．
9．BD
【分析】求得三向量间的关系判断选项A；求得的取值范围判断选项B；求得在上的投影的坐标判断选项C；求得三者间的关系判断选项D.
【详解】选项A：不共线，且，
则，则
即.判断错误；
选项B：向量，且与的夹角为钝角，
则，解之得或或
则的取值范围是.判断正确；
选项C：在上的投影向量为
，
则在上的投影的坐标为.判断错误；
选项D：点为的垂心，则,
则，
则，
由可得
，
则，
即，
由，可得
，
则,
即，
故.判断正确.
故选：BD
10．BCD
【分析】根据古典概型的概率公式可判断A选项，结合条件概率的公式可判断B选项，根据概率的加法公式及对立事件的概率公式可判断C和D选项.
【详解】掷两枚硬币向上的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有种情况，
记事件：向上的结果一正一反，记事件：向上的结果同正或同反，则，故选项A错误，
对于B选项，设事件：第一次投篮的人是甲，事件：第二次投篮的人是乙，
则,，
则，所以B选项正确，
对于C选项，第二次投篮的人是甲的概率为，所以C选项正确，
对于D选项，由已知，当时，，即，所以D选项正确；
故选：BCD.
11．AD
【分析】已知变形后可设，，即，由确定出的范围，然后分别计算和，结合三角函数知识得最值．
【详解】，因此可设，，
则，
，，
，，即，
所以，
，
由，知，
，所以，
时，取得最大值，A正确，B错误；
，
由知，
因此，时，，D正确，C错误；
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求最值的常用方法：一是由函数的性质求解，二是利用基本不等式求解，三是利用导数求解，在由条件求最值时，当已知等式是平方和形式时，可以利用三角换元法把代数式转化为三角式，利用三角恒等变换变形，利用三角函数性质求最值．本题已知条件可以变形为，因此可用三角换元求解．
12．##
【分析】根据题意，利用百分位数的定义和计算方法，即可求解.
【详解】将数据从小到大排序得，
因为，所以第75百分位数是.
故答案为：.
13．或
【分析】根据条件，利用换底公式得到，从而得到或，即可求解.
【详解】因为，整理得到，
解得或，所以或，
故答案为：或.
14．
【详解】当时，代入题中不等式显然不成立
当时，令， ，都过定点
考查函数，令，则
与轴的交点为
时，均有
也过点
解得或（舍去），
故
15．(1)1
(2)，
(3)
【分析】（1）由同角关系化切为弦，然后由两角和的正弦公式、二倍角公式，诱导公式变形求值；
（2）由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数的性质求解；
（3）由正弦函数的单调性求解．
【详解】（1）
；
（2），
所以的最小正周期；
令，得，
即图象的对称中心为.
（3）令，得，
令，得；令，得，
所以函数在上的单调递增区间为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用共线的坐标表示及正弦定定边转角，得，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理得，再利用的性质，即可求解；
（3）根据条件，利用等面积法及面积公式得到，再利用基本不等式可得，即可求解.
【详解】（1）因为，，
由得，，
再由正弦定理角化边得，整理得到，
再由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
，
又，得，所以，得到，
因此，周长的取值范围是.
（3）由，，
又因为，角的平分线交边BC于点，
所以有，整理得，
由基本不等式得，所以，且时取等号，
即，
即面积的最小值为.
17．(1)表格见解析
(2)没有
(3)分布列见解析，期望1，
【分析】（1）根据已知数据填写列联表；
（2）由已知公式计算后比较临界值可得；
（3）确定，且，结合二项分布可得分布列，再根据期望公式、方差公式计算出期望和方差．
【详解】（1）由题得列联表如下：
（2）由（1）可得，
所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关
（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，
所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为，
则由题意可知，且，
所以，
，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为,
随机变量的方差为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可；
（2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可；
（3）结合（2）的条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为函数，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有；
（2）由（1）可知：，
所以
（3）由（2）可知：，
所以由，
因为，
所以由，
设，
由，
由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，
，，
于是有时，，
所以，，因此，
存在，使得成立，则有，
因此实数k的最大值.
【点睛】关键点点睛：本题的关键利用作差法判断函数的单调性进行求解.
19．(1)（i）；（ii）证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）法一：构造函数，利用函数单调递增，则在上恒成立，然后转化为分离参数求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中值定理知，恒成立 ，使得，将问题转化为恒成立，在对其进行求解即可；
（ii）将，再结合拉格朗日中值定理进行证明即可；
（2）由函数有两个零点，转化为方程有2个根，构造函数，即函数φx有两个零点，然后求导借助函数的单调性和最值确定两个零点的范围，即可求解.
【详解】（1）（i）解：法一：由，且化简得，即，
令，可知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，显然hx在上单调递减，
所以，即，故实数的取值范围为.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故问题转化为恒成立.
又，则恒成立，即恒成立，
因为，
故令，显然在上单调递减，
所以，所以，故实数的取值范围为.
（ii）证明：要证，即证，
即证，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由题意知，当时，f′x在上单调递增，
则，故，
即，所以命题得证.
（2）函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根.
令，
所以φx在0,+∞上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根，
所以，则，则由，得，
所以，则，
要证，即证，
又，令，
令，
又，所以，故在上单调递增，
所以，
所以，故在上单调递减，所以，
即，
即，所以不等式得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）对于第一问和第二问关键是理解拉格朗日中值定理，借助定义进行求解即可；
（2）第三问是函数“隐零点”问题，解决这类题的方法是对零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目中的条件解决问题.
男
女
合计
了解
40
20
60
不了解
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2
3