江西省新余市第四中学2024-2025学年高三补习班上学期第一次段考数学试卷

这是一份江西省新余市第四中学2024-2025学年高三补习班上学期第一次段考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试题卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，则下列关系成立的是（ ）
A.B.C.D.
2.的否定为（ ）
A.B.
C.D.
3.函数的大致图象为（ ）
A.B.C.D.
4.已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A.9B.6C.4D.3
5.若函数是幂函数且为单调函数，则的值为（ ）
A.2B.3C.4D.2或4
6.已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（ ）
A.B.C.2D.4
8.已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9.若集合，则实数的取值可以是（ ）
A.2B.3C.-4D.5
10.若函数既有极小值又有极大值，则（ ）
A.B.C.D.
11.已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.曲线在点处的切线方程为______.
13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这一系列函数为“同族函数”，试问解析式为，值域为的“同族函数”共有______个.
14.已知函数，给出以下命题：
①若函数不存在单调递减区间，则实数的取值范围是；
②过点且与曲线相切的直线有三条；
③方程的所有实数根的和为16.
其中真命题的序号是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）已知集合，函数的定义域为集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值．
17.（本小题15分）已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，求实数的取值范围.
18.（本小题17分）定义函数，其中为自变量，为常数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）集合，求实数的取值范围.
19.（本小题17分）已知函数.
（1）当时，求证：函数有唯一极值点；
（2）当时，求在区间上的零点个数；
（3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求m，n的值.
2024-2025学年度上学期补习年级第一次段考数学试卷·参考答案
1-8.CBAACDBA9.BD10.ABC11.ACD
12.13.914.②
7.解：设点，点
当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；
当，由，知，即，即．
又，知，即.
将（*）式代入，得.
由于，有．
因此有，即，即．
由于，所以（*）式可知不满足条件，则有.
代入（*）式得.
所以，故.
故选：B.
8.解：由题意可知：的定义域为，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，可得，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
作出的图象，如图所示，
对于关于的方程，
令，可得，整理得，
且-1不为方程的根，
若方程有三个不相等的实数解，
可知有两个不同的实数根，
且或或，
构建，
若，则，解得；
若，则，解得，
此时方程为，解得，不合题意；
若，则，解得，
此时方程为，解得，不合题意.
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A
11.【答案】ACD
解：作出的图象如下：
若时，，
令，得，即或，
所以或，解得或，
令，得，即或，
所以或，解得或，
若时，，令，得，解得或-3，
令，得，即，解得，
由图可知，
对于选项有4个根，故A正确；
对于选项B：因为，
所以当时，，即，
当时，，即，故B错误；
对于选项C：因为，则，
则，
因为，则令，
则在上单调递增，所以，
即，故C正确；
对于选项D：令，由于，
则，
所以
，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为10，故D正确.
故选：ACD.
14.【答案】②
解：因为，所以，
若函数不存在单调递减区间，
则，解得，所以①错误；
设过点的直线与曲线相切于点，则有，
又点在曲线上，
所以，将代入，
得，
解得或或，
所以过点且与曲线相切的直线有三条，②正确；
又函数的导数为，
令，解得或，所以递增区间为和；
令，可得，所以递减区间为.
即时取得极大值时取得极小值，
作出函数与函数的图像，
由图象可得的图象与的图像有4个交点，它们关于对称，则它们的横坐标和为，故③错误.综上所述，真命题的序号为②.故答案为：②.
15.【答案】解：由得，
所以，
当时，
（2）因为，所以，
①若，则，解得；
②若，则，解得；
实数的取值范围是或.
16.【答案】解：（1）易知函数的定义域为
令，得或，
令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）得当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以.
17.【答案】解：（1）命题为真命题，
，
解得，
实数的取值范围为.
（2）命题为真命题，
在上有解，
又在单调递增，在单调递减，
当时，取最大值-2，
当时，，当时，，
实数的取值范围为.
18.【答案】解：（1）令，
函数在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，解得，
故实数的取值范围为；
（2），
，
由已知即在内有解，
令，则，方程在上有解，
也等价于方程在上有解，
在上单调递增，
，
故所求的取值范围是.
19.【答案】解：（1）证明：由，得，且.
当时，.因为，
所以.因为对任意恒成立，所以当时，.所以是的唯一极值点．
（2），当时，，所以在上单调递减，
因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点.
当时，令，则，当时，有，
所以在上单调递增，又因为，所以存在使得，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，故在上无零点，
当时，，所以在上单调递增，又，所以在上有且仅有一个零点.综上所述：在上有且只有2个零点．
（3）设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则.因为，所以.所以.
不妨设，则.因为，由“合一切线”的定义可知，.所以.
由“合一切线”的定义可知，，所以.当时，取，则，符合题意．所以．