江西省新余市第四中学2020-2021学年高一下学期第一次段考数学试题

新余四中2020级高一年级下学期第一次段考数学试卷

一、单选题（每小题5分，共60分）

1. 的值为（    ）

A  B.  C.  D.

2. 英国浪漫主义诗人(雪莱)在《西风颂》结尾写道“”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知角终边经过点，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知角第二象限角，且，则角是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

6. 在中，角均为锐角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

8. 若，则的值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

9. 若对任意恒成立，则的最大值为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

10. 已知函数的周期为且，若，则关于函数，下面判断正确的是（    ）

A. 函数是偶函数 B. 是函数的一条对称轴

C. 函数是奇函数 D. 是函数的一个对称中心

11. 若，则的值域为（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A  B.  C.  D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 函数的定义域是________________.

14. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.

15. 关于函数，下列命题：

①若存在，有时，成立；

②在区间上是单调递增；

③函数的图象关于点成中心对称图像；

④将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合.

其中正确的命题序号_________(注：把你认为正确的序号都填上)

16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________.

三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分，总分70分）

17. 计算求值：

（1）

（2）.

18. 已知，，.

（1）求的值.

（2）求的值.

19. 已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：

经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，，的图象.

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？

20. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若为偶函数，求的值.

（3）若，求取值范围.

21. 已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.

（1）求的解析式，并求其在上的增区间；

（2）若在上有两解，求实数的取值范围.

22. 已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；

（3）当 时，否存在满不等式？若存在，求出

的范围，若不存在，请说明理由.

新余四中2020级高一年级下学期第一次段考数学试卷

一、单选题（每小题5分，共60分）

1. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦的差角公式求解即可

【详解】，

故选：A

2. 英国浪漫主义诗人(雪莱)在《西风颂》结尾写道“”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．

【详解】解：由题可得每一等份为，

从冬至到次年立春经历了等份，即.

故答案为：A.

【点睛】本题考查角的运算，是基础题.

3. 已知角终边经过点，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数定义，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，角终边经过点，可得，

又由，根据三角函数定义，可得且，解得.

故选：C.

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式化简结合已知条件即可求解.

【详解】，

故选：D.

5. 已知角第二象限角，且，则角是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】由第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．

【详解】因为角第二象限角,所以，

所以，

当是偶数时，设，则，

此时为第一象限角；

当是奇数时，设，则，

此时为第三象限角.；

综上所述：为第一象限角或第三象限角，

因为，所以，所以为第三象限角．

故选：C．

6. 在中，角均为锐角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦函数的诱导公式，结合余弦函数的单调性、三角形内角和定理、余弦函数的值的正负性进行判断即可.

【详解】因为角均为锐角，所以有.

，

而为三角形的内角，所以，因此.

故选：B

7. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据函数的图象得到，再根据三角函数的平移变换即可得到答案.

【详解】由题知：，所以，解得.

，

所以，，解得，.

又因为，所以，.

因为，所以只需将的图象向右平移个单位长度.

故选：A

8. 若，则的值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角公式对化简，然后转化为，再给分子分母同除以，化为只的式子，再代值计算即可

【详解】因为，

所以

，

故选：D

9. 若对任意恒成立，则的最大值为（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再换元求出最值，即可得到答案.

【详解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，则.令，则，且，于是，且在上为减函数，所以，所以.

故选D.

【点睛】本题结合与的关系，考查不等式恒成立问题，属于容易题.

10. 已知函数的周期为且，若，则关于函数，下面判断正确的是（    ）

A. 函数是偶函数 B. 是函数的一条对称轴

C. 函数是奇函数 D. 是函数的一个对称中心

【答案】A

【解析】

【分析】令得，，由周期为且得，，再结合选项一一判断即可．

【详解】令，则，所以

则，故周期 得

又，则，又因为，所以 得

所以

由，故是偶函数，A正确，C错；

由的对称轴方程为知B错；

由的对称中心为， 知D错；

故选：A

【点睛】关键点点睛：通过换元法结合条件求得函数的解析式是解题的关键点．

11. 若，则的值域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数的图象，结合正弦、余弦函数图象与性质，即可求解.

【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，

当时，可得，

则；

当时，可得，则，

所以函数的值域为.

故选：B.

12. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.

【详解】令，则

令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.

作出和图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.

故选：B

【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 函数的定义域是________________.

【答案】 ，

【解析】

【详解】试题分析：根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，，，故可知答案为，，，

考点：三角函数的性质

点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．

14. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.

【答案】

【解析】

【分析】

如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得，可求的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.

【详解】如图，是月牙湖的示意图，是的中点，

连结，可得，由条件可知， 所以，所以，，

所以月牙泉的周长.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.

15. 关于函数，下列命题：

①若存在，有时，成立；

②在区间上是单调递增；

③函数的图象关于点成中心对称图像；

④将函数的图象向右平移个单位后将与的图象重合.

其中正确的命题序号_________(注：把你认为正确的序号都填上)

【答案】①③④

【解析】

【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数为：，然后利用三角函数的性质和图象变换逐项判断.

【详解】

，

显然函数周期为，若存在，有时，成立，故①正确；

， ，单调递减，故②错误；
 

当时，，故图形图象关于点成中心对称，故③正确；

将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的解析式为，故④正确，

故答案为①③④.

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，图象变换以及二倍角公式，辅助角法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可.

【详解】∵，∴

∵，∴，∴

∴

要使，总，使得成立，

则需满足：

∴ ，解得或

∴的取值范围是.

【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析．

三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分，总分70分）

17. 计算求值：

（1）

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）逆用两角和的正切公式化简即可求解；

（2）利用两角和正弦公式将展开化简即可求解.

【详解】（1）；

（2）

.

18. 已知，，.

（1）求的值.

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据二倍角的余弦公式，结合已知，得到答案；（2）根据的值和的范围，判断出和的范围，得到和的值，从而利用两角和的正弦公式，得到答案.

【详解】（1）因为，所以.

（2），，

，

，，

.

又，

，

.

【点睛】本题考查二倍角的余弦公式，利用同角三角函数关系进行求值，利用两角差的正弦公式进行求值，属于简单题.

19. 已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：

经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，，的图象.

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，那个时间段不对冲浪爱好者开放？

【答案】（1）振幅；最小正周期；函数表达式（2）一天内的至之间，至之间，至之间时间段不对冲浪爱好者开放

【解析】

【分析】

（1）由题意可得可知，，，，即可求得；

（2）先阅读题意，然后解三角不等式求解即可.

【详解】解：（1）根据以上数据，可知，，

周期.即

当时，可得，

即

，

故得函数表达式；.

（2）当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，即函数时，

即.

即，

即，

又，

则或或.

则一天内的至之间，至之间，至之间时间段不对冲浪爱好者开放.

【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，重点考查了阅读能力，属中档题.

20. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若为偶函数，求的值.

（3）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

【分析】（1）由图可先得出和，即可求出，再利用可求出即可得出解析式；

（2）可得，令即可求出；

（3）利用三角恒等变换可化简得出，再根据的取值范围即可求出.

【详解】（1）由图可得，，，

，则，

又，解得，

，，

；

（2）为偶函数，

，解得，

，或；

（3）

，

，，

则当时，取得最小值为0，

当时，取得最大值为，

的取值范围为

【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式的方法：

（1）根据图象的最值可求出；

（2）求出函数的周期，利用求出；

（3）取点代入函数可求得.

21. 已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.

（1）求的解析式，并求其在上的增区间；

（2）若在上有两解，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式，令，可得结果

（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.

【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，

函数的图像关于原点对称，，所以

（1）由， 得，

令得，得

在增区间是；

令，则所以

若有两解，即在上有两解，

由的图象可得，，即

取值范围是

22. 已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；

（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出

的范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.

【解析】

【分析】

（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；

（2）若是函数的零点，则，解得

或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；

（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.

【详解】选择①②：

因为函数的图象过点，

所以，解得，因为，所以，

因为函数的图象关于点对称，则，

可得，因为，所以，，

所以，

选择①③：

若函数的图象过点，

所以，解得，因为，所以，

因为函数相邻两个对称轴之间距离为，

所以，所以，，解得：，

所以，

选择②③：

因为函数相邻两个对称轴之间距离为，

所以，所以，，解得：，

若函数的图象关于点对称，则，

可得，因为，所以，，

所以

（2）若是函数的零点，则，

可得，

所以或

解得：或，

若是函数的零点，则，，

当时，，

当时，，

当时，

所以的值组成的集合为；

（3）当时，，

令，则，令，

则，，

因为，

所以，即，

所以，即，，

解得：.

所以实数的范围是：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.