专题59 排列与组合-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】8
【考点1】排列问题8
【考点2】组合问题12
【考点3】排列与组合的综合问题15
【分层检测】19
【基础篇】19
【能力篇】26
考试要求：
1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
2.能解决简单的实际问题.
知识梳理
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
3．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
4．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
5．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
6．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2024·全国·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
8．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
9．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
10．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
参考答案：
1．B
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率.
解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选：B
2．D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
3．C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
4．B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
5．B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
6．D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
7． 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
8．
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
9．64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
10．/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
考点突破
【考点1】排列问题
一、单选题
1．（2023·辽宁·三模）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．36种B．30种C．24种D．12种
2．（23-24高三上·山西运城·期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．150种B．300种C．720种D．1008种
二、多选题
3．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．
6．（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
参考答案：
1．B
【分析】利用间接法，先求所有的可能情况，再排除甲、乙安排在同一所学校的可能情况.
【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种，
若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种，
所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种.
故选：B.
2．A
【分析】分和两种情况，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
综上，不同的安排方法有种.
故选：A
3．AD
【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.
【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B：，故B错误；
对C：，，左右两边不相等，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：AD
4．ABC
【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解.
【详解】对于A，有种排法，故A正确；
对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；
对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；
对于D，有种排法，故D错误．
故选：ABC
5．/0.25
【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.
【详解】服务员随机上这八道菜有种排法，
“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，
所以所求概率．
故答案为：.
6．336
【分析】
分两种情况，前排含有两种不同名称的吉祥物和前排含有三种不同名称的吉祥物，结合排列组合知识进行求解.
【详解】
由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，
首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有种情况，
从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法，
选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边，
由于属于不同的吉祥物，故有种排法，
综上，有种排法；
其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物，
故有种排法，故共有种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，
先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有种选法，
再进行全排列，故有种排法；
同理后排有种排法，此时共有种排法；
因此，共有种排法，
故答案为：336.
反思提升：
排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【考点2】组合问题
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．56B．84C．126D．210
2．（2024·河南商丘·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·吉林·三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ）
A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法
B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法
D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
4．（2024·河南信阳·二模）下列命题中真命题是（ ）
A．设一组数据的平均数为，方差为，则
B．将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法
C．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
D．已知随机变量的分布列为，则
三、填空题
5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为 .
6．（2024·广东·模拟预测）将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位数比乙组的中位数小1，则不同的平分方法共有 种.
参考答案：
1．B
【分析】将问题等价转换为将 10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法，利用隔板法即可求解.
【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法，
等价于将 10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法.
用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆，
由于 10个小球中间共有 9个空隙，因此共有 种不同的分法.
故选：B.
2．C
【分析】利用组合数公式可得，再求和并结合二项式系数的性质求出，然后赋值即得.
【详解】依题意，
，
则
，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：正确掌握并运用组合数公式及阶乘的运算性质是解决本题的关键.
3．AD
【分析】选项A、B根据组合及分步计数原理的知识可列出表达式，进行计算可得结果；选项C、D可采用间接的方法，先计算出反面一共有多少种，然后用总的种数减去反面的种数即可得到结果．
【详解】对选项A, 依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有种．所以该选项正确；
对选项B, 依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有种．所以该选项不正确；
对选项C, 依题意，要从7名同学中选取4人，一共有种，而甲乙都不在内一共有种，
甲与乙至少要有1人在内有种．所以该选项错误；
对选项D, 依题意，假设全是男生一共有种，全是女生的情况没有，
既有男生又有女生一共有种．所以该选项正确.
故选：AD
4．ABC
【分析】对于A，由方差公式平均数公式化简即可；对于B，由先分组再分配即可；对于C，由百分位数的定义求解即可；对于D，由所以概率之和为1，裂项求和即可判断.
【详解】对于A，由方差定义可得，
所以
，A 正确；
对于B，先把4个人分成3组，每组至少一个人，有种分法，
再把三族人分配到三个不同的工作岗位，有种分配方法，
所以共有种不同的方法，故B正确；
对于C，，所以该组数据的第75百分位数为158，故C正确；
对于D，，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
5．15
【分析】问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，利用隔板法求解即可.
【详解】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有种方法，
即方程的解的组数为15.
故答案为：15
6．36
【分析】首先确定甲和乙的中位数，再从其他的数字分组，利用组合数公式，即可求解.
【详解】依题意，甲组的中位数必为5，乙组的中位数必为6，
所以甲组另外四个数，可从1，2，3，4和7，8，9，10这两组数各取2个，共有.
故答案为：
反思提升：
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【考点3】排列与组合的综合问题
一、单选题
1．（22-23高三下·湖北·阶段练习）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三下·江苏苏州·开学考试）将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放置与上色方式
A．11232B．10483C．10368D．5616
二、多选题
3．（21-22高二·全国·单元测试）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ）
A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法
D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
三、填空题
4．（2024·广东佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ．
5．（2023·广东汕头·三模）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.
【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，
5人被分为或
当5人被分为时，情况数为;
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
所以甲不在小区的概率为
故选：B.
2．C
【分析】进行颜色分配，然后利用分类原理的相加和分步相乘的原理进行分析即可.
【详解】①3个1，3个2，0个3如表：
只用两种颜色，并选取两个位置放AB,此时有：种，
②1个1，2个2，3个3如表：
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在拐角），并选取两个位置放AB,此时有：种，
或
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在中间），并选取两个位置放AB,此时有：种，
③2个1，2个2，2个3如表：
选用三种颜色（2+2+2），并选取两个位置放AB，此时有：种，
或
选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放AB，此时有：种，
所以不同的放置与上色方式有：
.
故选：C.
3．ACD
【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解.
【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；
对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：
全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；
对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；
对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；
故选：ACD.
4．120
【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，
【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，
3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种，
故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种.
故答案为：120.
5．720
【分析】考虑和两种情况，结合同一闸机的不同人的顺序，计算相加得到答案.
【详解】将5人分为3组，有和两种情况：
当分组为时：共有；
当分组为时：共有；
综上所述：共有种不同的进站方式.
故答案为：.
反思提升：
(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
(2)对于分堆与分配问题应注意三点
①处理分配问题要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆时要注意是否均匀.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·贵州·三模）2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种.
A．48B．64C．72D．120
2．（2024·广东深圳·二模）已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ）
A．72种B．96种C．144种D．288种
3．（2024·河北邯郸·二模）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12B．18C．20D．60．
4．（2024·山东烟台·一模）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3B．6C．10D．15
二、多选题
5．（23-24高三上·福建厦门·期中）以下结论中,正确的是（ ）
A．若复数,则
B．若复数满足,则的最大值为
C．已知复数,其中,,则复数是纯虚数的概率为
D．五名学生按任意次序站成一排,则和站两端的概率为
6．（2023·湖北武汉·一模）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
7．（2024·山东青岛·一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件与是互斥事件B．事件与是对立事件
C．事件与是互斥事件D．事件与相互独立
三、填空题
8．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有 种．
9．（2024·广西·二模）智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有 种不同的选择方案.
10．（2024·河南郑州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答）
四、解答题
11．（2024·河北·模拟预测）有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.
(1)求检测过程中两件次品不相邻的概率；
(2)设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望.
12．（2024·辽宁·二模）小明从4双鞋中，随机一次取出2只，
(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
(2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望，
参考答案：
1．C
【分析】利用插空法和分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意，分两步进行：
第一步：安排3名同学站成一排合影，不同的站法共种；
第二步：安排2名老师，采用插空法，不同的站法共种；
由分步乘法计数原理可得：不同的站法共种.
故选：C
2．C
【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可.
【详解】由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况，
若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种，
若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种，
所以所有符合条件的可能是种.
故选：C.
3．C
【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.
【详解】根据题意，可分为两类：
①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法；
②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的差法.
故选：C.
4．B
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
5．BC
【分析】对于A根据复数的除法运算即可判断;对于B根据复数的模的几何意义可得复数对应在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆即可判断;对于C由题意得,根据已知符合题意的有组即可求解;对于D先把和排两端再排其他学生,即根据分布计数原理即可求解.
【详解】对于A,由,得,,故A错误;
对于B,可以看作复数对应的点到的距离为,故复数对应在复平面内的轨迹为以点为圆心,以为半径的圆,故当点运动到与轴的交点,且向上的位置时,此时最大,最大值为,故B正确;
对于C,在中,,,因为复数为纯虚数,所以,此时有共组,所以复数是纯虚数的概率为,故 C正确;
对于D,首先将和排两端共有种情况,再将其余三人全排列共有种情况,所以共有种情况,
因为五名学生按任意次序站成一排,共有种情况,
故和站两端的概率为,选项D错误.
故选:BC.
6．ABC
【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
7．AB
【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断.
【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确；
对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误；
对于D：，
则，即事件与不相互独立，D错误；
故选：AB.
8．
【分析】先安排铅球工作，再安排其他两项工作进而求解.
【详解】依题意，分两步：①在甲乙之外人中任选人，承担铅球记录工作，有种情况；②在剩下的人中任选人，承担跳高和跳远记录工作，有种情况，则不同的安排方法有种
故答案为：
9．150
【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．
【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为C62C53=150，
故答案为：150.
10．
【分析】首先计算出所有的选派方式，再挑选出不合题意选派方式，即可计算出结果.
【详解】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种，
其中甲、乙都不参与的选派方式共有种，
其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种，
所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种.
故答案为：
11．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）记检测过程中两件次品不相邻为事件，
依题意即将个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率，
所以.
（2）依题意的可能取值为、、、，
所以，，，
，
所以的分布列为：
所以.
12．(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）利用组合的知识，结合古典概型的概率公式即可得解；
（2）根据题意确定X的取值：0，1，2；然后分别求出概率，列出分布列，计算期望即可.
【详解】（1）由题可得：取出2只都不来自同一双的概率为：.
（2）由题可知X的取值为：0，1，2，
，，，
故X的分布列为：
，
故.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南·三模）有除颜色外大小相同的9个小球，其中有2个红球，3个白球，4个黑球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，要求2个红球相邻，3个白球两两互不相邻，不同的排列种数为（ ）
A．100B．120C．10800D．21600
二、多选题
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若，为正整数且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
3．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 .
四、解答题
4．（2024·海南省直辖县级单位·一模）远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windws系统中可以使用内置的应用程序，通过输入IP地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由“1，2，3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.
(1)求满足条件的对接码的个数；
(2)若对接码中数字1出现的次数为，求的分布列和数学期望.
参考答案：
1．A
【分析】将4个黑球放好，把两个红球捆绑插空，然后将3个白球插空即可求解.
【详解】将4个黑球放好有一种，形成5个空，从中选一个空将2个红球作为一个整体排上，有种排法，
如此就形成6个空，将3个白球插空到6个空中，有种排法，
由分步计数原理得，共有种不同排法．
故选：A．
2．BD
【分析】对A：借助二项式的展开式计算即可得；对B、C、D：结合排列数与组合数的计算公式计算即可得.
【详解】对A：，又，故A错误；
对B：
，
故B正确；
对C： ，
，即，故C错误；
对D：，
，即，故D正确.
故选：BD.
3．
【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.
【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为，
故答案为：.
4．(1)150；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）分两种情况讨论：①当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次；②当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次，根据分类加法计数原理即可求解；
（2）随机变量的取值为1，2，3，求出对应的概率可得分布列，再根据期望公式即可求解.
【详解】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，
种数为：，
当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时，
种数为：，
所有满足条件的对接码的个数为150.
（2）随机变量的取值为1，2，3，其分布为：
，，
，
故的分布列为：
故EX=1×715+2×25+3×215=53.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1)
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
D
C
B
B
D




题号
1
2
3
4






答案
B
A
AD
ABC






题号
1
2
3
4






答案
B
C
AD
ABC






题号
1
2
3







答案
B
C
ACD







1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
3
1
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
C
C
C
B
BC
ABC
AB



X
0
1
2
P
题号
1
2








答案
A
BD








1
2
3