专题34 等比数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】等比数列基本量的运算4
【考点2】等比数列的判定与证明5
【考点3】等比数列的性质及应用7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】10
【培优篇】11
考试要求：
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为eq \f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
二、填空题
4．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ．
6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
7．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
8．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
考点突破
【考点1】等比数列基本量的运算
一、单选题
1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4B．8C．D．
2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
4．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列可能为常数列
B．数列可能为等比数列
C．若，则
D．若，记是数列的前项积，则的最大值为
三、填空题
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等比数列的前项的和，若，，则 .
6．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
反思提升：
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
【考点2】等比数列的判定与证明
一、解答题
1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)若是数列的前项和，求的最小值.
2．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知数列为等差数列，，，数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)设，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）对于给定的正整数，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”．
(1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”．
(2)已知数列既是“数列”，又是“（3）数列”．
①证明：数列是等比数列．
②设数列的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题：
(1)对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数，记的“切线轴数列”为；
②设函数，记的“切线轴数列”为，
则，求的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明）
反思提升：
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【考点3】等比数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ）
A．2B．C．3D．
2．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（ ）
A．B．5C．10D．20
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
4．（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
5．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 .
6．（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里.
反思提升：
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．（2024·山东泰安·模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取得最大值时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为B．的前项和为
C．的前项积为D．
7．（23-24高三上·全国·开学考试）记公比为的单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知是等比数列的前项和，若，则 .
9．（23-24高二上·山东青岛·期末）数列是等比数列，且前项和为，则实数 ．
10．（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有 个节点.（填写具体数字）
四、解答题
11．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知数列满足，，数列前n项和．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求、的通项公式；
(3)设，求的最大值．
12．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知等差数列满足（），数列是公比为3的等比数列，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和中的项由小到大组成新的数列，记数列的前n项和为，求．
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则，，构成等差数列
B．若a，b，c成等比数列，则，，构成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，构成等比数列
D．若a，b，c成等比数列，则，，构成等比数列
二、多选题
2．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ）
A．B．满足的的最小值为11
C．D．
三、填空题
3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（ ）
A．B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前项和取值范围
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，（），对任意，都存在，使得.若（），则 ， .