专题41 直线与圆、圆与圆的位置关系8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
一、单选题
1．（2024·陕西宝鸡·二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
2．（2024·江西·模拟预测）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
4．（2024高二上·黑龙江鹤岗·期中）圆上到直线的距离为的点共有
A．个B．个C．个D．个
5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3B．8C．4D．9
6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·山西·模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2024·江西上饶·一模）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
10．（2024·四川成都·一模）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
11．（2024高二上·广东珠海·期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高二上·四川内江·期中）已知点P在圆上，点，，则错误的是（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
13．（2024·河南·模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（ ）
A．1B．C．D．2
14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ）
A．B．8C．D．
15．（2024·四川成都·模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（ ）
A．2B．3C．或D．2或4
16．（2024·全国）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
17．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024高三下·江苏南京·开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
20．（湖南省常德市第一中学2022届高三考前二模数学试题）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
21．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
22．（2024·安徽黄山·二模）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·贵州毕节·一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
24．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
25．（2024高三·北京·强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
26．（2024·黑龙江大庆·三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
27．（2024·河南·模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
28．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．
三、填空题
29．（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 .
30．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为 ．
31．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为 .
32．（2024·福建福州·模拟预测）写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程 .
33．（2024高三上·广东梅州·阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 .
34．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则 .
35．（河北省石家庄部分重点高中2023届高三下学期3月月考数学试题）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为 .

36．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 .
37．（2024·河北邯郸·二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 .
38．（2024·广东广州·三模）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ．
39．（2024高三下·江西南昌·阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 .
40．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ．
41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圆上两点，若，则的最大值为 .
43．（2024高三上·广东·阶段练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是 ．
44．（2024高二上·河北石家庄·期中）已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是 .
45．（2024高三下·安徽亳州·开学考试）若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为 ．
46．（2024·江苏无锡·三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
47．（2024·四川成都·二模）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ．
48．（2024·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为
49．（2024高二上·上海浦东新·期中）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
50．（2024·河北邯郸·一模）已知点，，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）．
51．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 .
52．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
53．（2024·福建宁德·模拟预测）已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
54．（2024高三下·上海徐汇·阶段练习）若，则的最小值为 .
55．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
56．（2024高三下·湖南·阶段练习）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程： .
57．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ．
58．（2024高三上·浙江丽水·期末）已知圆与圆相交于两点，则 .
59．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 .
60．（2024高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦的长为 ．
61．（2024高三下·浙江·阶段练习）从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为 .
62．（2024高三·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ．
63．（2024·安徽阜阳·三模）已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 .
四、解答题
64．（2024高二上·山东潍坊·阶段练习）已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
问题：是否存在唯一的圆过点且___________，并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
65．（2024·全国）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积．
66．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为
(1)求圆C方程;
(2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.
67．（2024高二·全国·课后作业）已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
（一）
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
题型1：直线与圆位置关系的判断
1-1．（2024·河北张家口·二模）已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相离C．相切D．相切或相交
1-2．（2024·安徽蚌埠·三模）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
1-3．（2024高三·黑龙江绥化·阶段练习）若直线与圆相交，则点（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能
题型2：圆上的点到直线距离个数问题
2-1．（2024高二上·四川·期末）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．B．
C．D．
2-3．（2024·江苏南京·模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2-4．（2024高三上·贵州贵阳·期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（二）
弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型3：弦长问题
3-1．（2024·宁夏银川·三模）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
3-2．（2024·广东深圳·二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为 .
3-3．（2024·全国）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
3-4．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知直线：与圆：交于，两点，则 ．
（三）
1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
2.常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
题型4：切线问题
4-1．（2024·河南开封·三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则 ．
4-2．（2024·北京·模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ．
4-3．（2024高三上·贵州·开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 .
4-4．（2024高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 .
4-5．（2024高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
4-6．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
（四）
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
题型5：直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
5-1．（2024高三上·北京昌平·期中）已知圆与直线相交于两点，则的最小值是 .
5-2．（2024·江苏镇江·二模）已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 .
5-3．（2024高三下·安徽池州·阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 .
5-4．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 .
5-5．（2024·湖北·模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
（五）
圆与圆的位置关系
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
题型6：圆与圆的位置关系
6-1．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．相交D．外离
6-2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6-3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6-4．（2024高二上·北京·阶段练习）圆．与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
题型7：两圆的公共弦问题
7-1．（2024·全国·模拟预测）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
7-2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则
7-3．（2024·天津和平·二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ．
题型8：两圆的公切线问题
8-1．（2024·湖南长沙·一模）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 .
8-2．（2024·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为 ．
8-3．（2024·湖北·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则 ．
8-4．（2024·湖南岳阳·三模）写出与圆和都相切的一条直线方程 ．