第六章　§6.6　数列中的综合问题-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.
例1　已知公差不为0的等差数列{an}满足a2＝6，a1，a3，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
题型一　等差数列、等比数列的综合运算
根据题意，设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由于a2＝6，a1，a3，a7成等比数列，
(2)设bn＝n· ，求数列{bn}的前n项和Sn.
由bn＝n·22n＝n·4n，则Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，①4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，②
数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
跟踪训练1　(2024·无锡模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a3是a1，a13的等比中项，S5＝25.(1)求{an}的通项公式；
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋bn＋1＝Sn，求b20.
bn＋1＋bn＋2＝(n＋1)2，②②－①得，bn＋2－bn＝2n＋1，∵b1＝－1，∴b2＝2.∴b20＝b20－b18＋b18－b16＋…＋b4－b2＋b2＝37＋33＋29＋…＋5＋2
题型二　数列与其他知识的交汇问题
命题点1　数列与不等式的交汇例2　(1)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋ ，b2＝1＋ ，b3＝1＋ ，…，依此类推，其中αk∈N＋(k＝1,2，…).则A.b1b5>b7>…，故A不正确；
同理可得b40时，f(x)>0; 当x0.再根据a1＋a2 023＝2a1 012>0，所以a1>－a2 023，
则f(a1)>f(－a2 023)＝－f(a2 023)，所以f(a1)＋f(a2 023)>0.同理可得f(a2)＋f(a2 022)>0，f(a3)＋f(a2 021)>0，…，所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 022)＋f(a2 023)＝[f(a1)＋f(a2 023)]＋[f(a2)＋f(a2 022)]＋…＋[f(a1 011)＋f(a1 013)]＋f(a1 012)>0.
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.
跟踪训练2　(1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方
形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为
设第n个正方形的边长为an，则由已知可得an＝an＋1sin 15°＋an＋1cs 15°，
则数列{xn}是等差数列，公差为4，且f(xn)＝－2，n∈N＋ ，因此A＝2，函数f(x)的最小正周期是4，
一、单项选择题1.(2023·广州模拟)已知f(x)＝2x2，数列{an}满足a1＝2，且对一切n∈N＋，有an＋1＝f(an)，则A.{an}是等差数列B.{an}是等比数列C.{lg2an}是等比数列D.{lg2an＋1}是等比数列
所以lg2an＋1＝1＋2lg2an，所以lg2an＋1＋1＝2(lg2an＋1)，n∈N＋，所以{lg2an＋1}是等比数列，又lg2a1＋1＝2，所以lg2an＋1＝2n，所以lg2an＝2n－1，故A，B，C错误，D正确.
2.(2024·铜仁模拟)为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛.统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的40%分位数为A.76　　　B.77　　　C.78　　　D.80
记10个班级的平均成绩形成的等差数列为{an}，则an＝70＋2(n－1)＝2n＋68，
3.(2023·岳阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5，1an＋1，故{an}要单调递减，所以00，所以等比数列{bn}为正项单调数列，
所以T2 023＝b1＋b2＋…＋b2 023>2 023b1 012＝2 023a1 012＝S2 023.
二、多项选择题7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝ln( －an)(n∈N＋)，则Sn的取值可能是
因为an＋1＝ln( －an)，所以 ＝ －an，即an＝ － ，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝( － )＋( － )＋…＋( － )＝ － ＝e－ .因为a1＝1，所以an>0，所以Sn>1.因为 >an＋1，所以 －an>1，所以an＋1>0，所以Sn