京改版数学七年级下册第四章《一元一次不等式和一元一次不等式组》综合复习练习

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《一元一次不等式》考点例析现实世界中有各种各样错综复杂的数量关系,其中既有相等关系,也有不等关系;一元一次不等式(组)是刻画不等关系的很好的数学模型.为了帮助同学们熟练掌握不等式,搞好期末复习，现就一元一次不等式(组)中常见题型与考点举例说明如下，希望大家能有所斩获. 考点一 考查一元一次不等式以及它的解的定义：例1．(1)下列各式：.其中,不等式有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个(2)下列各数,是不等式的解的有( )个A．5 B．6 C．7 D．8解析：(1)第(2)(4)(5)(6)是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故选B。(2)都可以使不等式成立,故应选A点评:概念是初中数学的最基本知识，要熟练掌握.考点二 考查不等式的基本性质：例2.(1)下列四个结论中正确的有(　　)①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．个 B．个 C．个 D．个(2)不等式的解集是，那么的取值范围是( ).A． B． C． D．解析: (1)不等式的性质1 如果,那么不等式的性质2 如果,并且,那么不等式的性质3 如果,并且,那么根据不等式性质1, ①是正确的;根据不等式性质2, ④是正确的;根据不等式的性质3, ③是正确的;根据不等式的性质1,可由,得,根据不等式性质3,可由,,所以.故选C.(2)由得到,说明运用了不等式性质3,所以,故选B.点评：不等式的性质是解不等式(组)的根据,本身也有很大应用.在不等式的两边都乘以或除以同一个数数时,一定要首先仔细判定这个数的正负.考点三 解一元一次不等式：例3．(1)解一元一次不等式： (1)不要漏乘不含分母的项;(2)注意分数线的括号作用,去掉分母时分子要加括号.(3)如果都乘以的是负数,要记得改变不等号的方向解: (1)正确运用乘法分配率,不要漏乘括号内的某些项;(2)正确运用去括号法则,特别要注意括号前面是负号时,去掉括号和它前面的负号时,括号中的每一项都要变号.去分母,得去括号,得移项,得(1)移项时一定要变号;(2)千万不要漏项.合并同类项,得(1)如果不等式两边都乘以或除以的是负数时,一定要记得改变不等号的方向(2)做分母的一定是未知数的系数..不等式两边都除以,得点评：以上是解不等式的一般步骤和每个步骤需要注意的问题,但步骤要因题而异,具体解题时应灵活选择.考点四 解一元一次不等式组：例4.(海南省)解不等式组：解：解不等式①，得解不等式②，得把不等式①和②的解集在同一数轴上表示如图所示：原不等式组的解集为．点评: 解不等式组是中考的一个热点题型.当解出不等式组中的两个不等式后,最好借助于数轴求不等式组的解集,这样比较直观。不过在把两个不等式的解集表示在数轴上时,要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”。最后，当根据数轴上的公共部分确定不等式组的解集时，同样要注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”。考点五 根据不等式组解集的含义求字母的值例5．(1) (潍坊市)不等式组的解集是，那么的值等于　　　(2)(泰安市)若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 ．解析：(1)解不等式组，得，如果不等式组有解集，只能是，又不等式组的解集是，所以有，解这个方程组可得,故.(2) 解不等式组可得,对于2和之间的关系可以分以下三种情况:容易看出,只有情况(3)有解,所以有,解得.点评:运用数形结合的思想,借助于数轴,可以很清楚的看出不等式组的解集的情况.要熟练掌握运用数轴解决有关不等式组解集问题的方法.考点六 列不等式(组)解决实际问题例6. (茂名市)某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11 815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：(1)该采购员最多可购进篮球多少只？　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？　　　　　　　解：(1)设采购员最多可购进篮球只，则排球是(100－)只，　依题意得：． 　解得．　　 ∵是整数　，∴=60．答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只．(2)由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球40只，商场可盈利(元)．即该商场可盈利2600元．　　　　　例7. (济南市)某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．(1)设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案解：(1)由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆,由题意得：解得：即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．(2)第一种租车方案的费用为元；第二种租车方案的费用为元第一种租车方案更省费用．点评:列一元一次不等式(组)解答实际问题,是中考考查的热点,因为生活中大量存在不等关系,或者说不等是比相等更普遍的一种数量间的关系. 列一元一次不等式(组)解答实际问题一般需要般要遵循如下步骤:①审题：认真仔细的阅读题目,找到关键词句,抽取有用信息,从而搞清其中的数量关系.在这一步,注意不要被一些无用的信息所迷惑,因为并不是每一个数据都是有用的.②确定相等和不等关系：应用题中往往有几种关系,要通过认真研究数量间的关系,搞清哪是相等关系,哪是不等关系;根据相等关系,可以得到方程,或把一个量用另一个量的式子表示出来;根据不等关系,可以列出不等式或不等式组.有不等关系的题目,往往最后要利用不等关系来确定数量的取值范围,进而确定数量的具体数值.③设出未知数，列出不等式或方程和不等式.④解不等式(组),有时可能需要同时解方程.⑤检验、写出答案：检验所求出的未知数的值是否符合实际意义，检验之后写出答案.如何学好不等式的概念不等式是初中代数里极为重要的内容之一，在我们的日常生活有着广泛地运用，是历年各地中考的热点之一，所以学好不等式非常重要.那么如何才能学好不等式呢？笔者以为应从以下几个方面入手： 一、正确理解不等式的有关概念一般地，用不等号连接的式子叫做不等式.8＞5，x+3≤4，等等.常见的不等号的符号有：“≠”读作“不等于”；“＜” 读作“小于”；“＞”读作“大于”；“≤” 读作“小于或等于”，也可读作“不大于”；“≥” 读作“大于或等于”，也可读作“不小于”.二、正确理解一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，且含未知数的式子是一个整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.它的标准形式是：ax+b＜0，或ax+b＞0（a≠0）.如前面讲的x+3≤4就是一元一次不等式.一元一次不等式的概念与一元一次方程的概念是有区别的，即一元一次方程的定义是：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，且含未知数的式子是一个整式，这样的等式叫做一元一次方程.它的标准形式是：ax+b＝0，（a≠0）.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如6、7、8都是x＞5的解.所以不等式的解不唯一，有无数个解.正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.求不等式解集的过程叫解不等式.三、正确理解一元一次不等式的基本性质一元一次不等式有下列三个基本性质：不等式的基本性质1　不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.用字母表示为：如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式的基本性质2　不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用字母表示为：如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc（＞）.不等式的基本性质3　不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用字母表示为：如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc（＜）.不等式的这三条基本性质是不等式变形的重要依据，其中的性质1、2类似于等式的性质，不等号的方向不变，在使用性质3时，必须注意改变不等号的方向，这是不等式独有的性质，也是同学们易出现错误的地方，望同学们注意.此外，不等式还有如下性质：①反身性：若a＞b，则b＜a；②延续性：若a＞b，b＞c，则a＞c.不等式的基本性质、解集的概念【要点知识回顾】（1）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫不等式；（2）一元一次不等式：含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式；（3）不等式的解集：一个含有未知数的所有的解，叫做这个不等式的解集；（4）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集；（5）不等式的三条基本性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；【经典考题解析】例1.若a－b＜0，则下列各式中，一定正确的是（　　）A．a＞b； B．ab＞0；C．＜0； D．－a＞－b．分析：由已知的不等式，两边同时加上b，得a＜b，两边同时乘以－1，得－a＞－b，故选D．注意A、B、C的变形都是毫无根据的．例2. 如果，那么下列结论中错误的是（ ）.（A） （B）（C） （D）分析：本题主要考查不等式的三条基本性质.依据性质1，由，得，故（A）正确；依据性质2，由且，得，故（C）不正确；依据性质3，由，得，，故（B）、（D）正确.故本题应选（C）.例3.如图，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是（ ）（A）x＞－3＜2　　（B）－3＜x≤2（C）－3≤x≤2　　 （D）　－3＜x＜2分析：由图可知，解集应为－3＜x≤2.故选（B）.【复习方法指导】1.例1～例2的关键在于熟练掌握不等式的基本性质，特别是性质3，即若，，则.同学们解类问题时，往往会出错.2.要借助数轴，熟记四种基本不等式组的解集的确定方法：“两个大于取大数，两个小于取小数，大小小大取中间，小小大大取不到.”【重点难点专练】1. 已知，下列式子中，错误的是（ ）.（A） （B） （C） （D）2. 如果t>0,那么a+t与a的大小关系是 ( ).（A）a+t>a （B）a+tb且cc则a>c（传递性）若a=b，b=c则a=c（传递性）若a>b则（性质1）若a=b则（性质1）若a>b.c>0则ac>bc，（性质2）若a=b，c则ac=bc，（性质2）若a>b.c