第二章　§2.5　函数性质的综合应用-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查.
题型一　函数的奇偶性与单调性
例1　(2023·长春模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则不等式f(x＋1)0，解得x>1或x1时，f(x)＝lg(x－1)＋2x＋2－x，则y＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，
令g(x)＝2x＋2－x，x∈(1，＋∞)，所以g′(x)＝2xln 2－2－xln 2＝(2x－2－x)ln 2>0，所以g(x)＝2x＋2－x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而得到f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
跟踪训练1　(2024·扬州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，f(2)＝0，则不等式f(x－1)f(x)f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误.
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
跟踪训练4　(多选)(2023·盐城模拟)已知非常数函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有A.f(x)的图象关于直线x＝－1对称B.g(2 023)＝0C.g(x)的最小正周期为4D.对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)
因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x＝1为对称轴，所以直线x＝－1也是对称轴，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，
故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为4的周期函数，则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确；但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误.
一、单项选择题1.已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2 023.5)等于A.－0.75 B.－
由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期，故f(2 023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75.
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则函数f(x)A.在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减B.在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增C.在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减D.在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增
∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴f(x)在区间[0,1]上单调递增，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是周期为2的函数，∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增.
3.(2023·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1,1)上单调递增，则A.f(－5.3)