精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025届高三上学期期中考试（11月）数学试题

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本试卷主要命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何．
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. 若复数为纯虚数，则它的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
4. 设是等差数列的前项和,若,则
A. B. C. D.
5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ）
A. 5B. 5或6C. 10D. 9或10
7. 中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（ ）
A. 正四棱锥的底面边长为24mB. 正四棱锥的高为
C. 正四棱锥的体积为D. 正四棱锥的侧面积为
8. 内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ）
A. B. C. 3D. 或3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
10. 如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）

A. 函数在上单调递减B. 点为图象的一个对称中心
C. 直线为图象的一条对称轴D. 函数在上单调递增
11. 已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，是直线BD上一点，若，则实数值为____________.
13. 已知正实数a，b满足，则的最小值是___________.
14. 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知函数．
（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
16. 已知数列满足.等比数列的公比为3，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列前项和.
17. 在ΔABC中,角所对边分别是,若,且.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求ΔABC的面积.
18. 已知数列的前项和为，且
（1）求，并证明数列是等差数列：
（2）若，求正整数的所有取值.
19. 已知函数．
（1）若函数的图象与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．