精品解析：云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县民族中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. [0，1]
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得集合，，再求其并集即可．
【详解】由，得，故，
由，得，故，
故．
故选：D．
2. 金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.
【详解】由“甲是金钱豹”可推出“甲是猫科动物”，由“甲是猫科动物”不能推出“甲是金钱豹”，
所以“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的必要不充分条件.
故选：B
3. 对于函数，部分与的对应关系如下表：
则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格先求，再求的值.
【详解】由表格可得，，
所以.
故选：C.
4. 已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法令即可得出函数解析式.
【详解】令，则，
；故，
故选：A.
5. 若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ）
A. 或 3B. 1 或C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，
则，则或，
当，，不符合题意，
当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则；
故选：D.
6. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】，
则为奇函数，即，
故选:C.
7. 对，是真命题，则取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意转化为对任意恒成立，分k是否等于0两种情况讨论，即可解得.
【详解】由题意即对任意恒成立，
当时，恒成立，
当时，有，即，∴，
故选C.
8. 函数满足：，，当时，，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，作出示意图，结合图象利用符号法解不等式即可.
【详解】因为，所以在上为偶函数，
又，当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以，示意图如图：
由图象可知：时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则；
时，，，则.
综上，的解集为.
故选：C.
二､多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确；
【详解】对于A，设，则，故A错误；
对于B，由不等式的性质可得若，则，故B正确；
对于C，，
因为且，所以，所以，且，
所以，所以，故C正确；
对于D，，因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：BCD.
10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故选：AC
11. 已知函数下列命题正确的是（ ）
A. 的值域为
B.
C. 若函数在上单调递减，则的取值范围为
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域可判断AB；由二次函数的性质可判断C；由分段函数的单调性可判断D，则可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以，B正确，A错误．
若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确．
若在R上单调递减，则，解得的取值范围为，D正确．
故选：BCD.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，，则______
【答案】
【解析】
【分析】由已知，先求得，再计算集合的交集即可.
【详解】因为，，
所以，
则.
故答案：.
13. 函数的定义域为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.
【详解】的定义域满足且，解得且.
故答案为：
14. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.
详解】由可得，
当时，不等式解集为，不符合题意，舍，
当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，
当时，不等式的解集为，
因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，
所以，.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）计算： ；
（2）已知：， 求 的值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为，，所以，，
所以.
16. 已知方程的解为1，3.
（1）求实数a，b的值；
（2）若，，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理可求；
（2）利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值.
【小问1详解】
因为方程的解为1，3，故，故.
【小问2详解】
由（1）可得，
故，
当且仅当的时等号成立，
故的最小值为.
17. 已知，函数是定义在上奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【答案】（1）
（2）在区间上为严格增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；
（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．
【小问1详解】
根据题意，是定义在上的奇函数，
则有，解得，
又由，解得，
所以，定义域为，
且，所以；
【小问2详解】
在区间上为严格增函数．
证明如下：设任意，则，
由，得，
即，，，
所以，即，
故在区间上为严格增函数．
18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
（1）求的值；并求当时，的解析式；
（2）若函数，，求函数的最小值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数奇偶性的性质将代入解析式即可求得的值；当时，满足时的解析式，代入其中，再由偶函数的性质即可求得当时的解析式.
（2）由题意可知时函数的解析式，代入中，求得的解析式为含有参数的二次函数，在对二次函数的对称轴分别在区间的左边，右边，中间三种情况分类讨论，即可求得函数的最值.
【小问1详解】
；
设，则，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，则时，；
【小问2详解】
当时，，
所以，对称轴为，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
综上所述
19. 一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中．
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分两段解不等式，解得结果即可得解；
（2）求出当时，，再根据函数的单调性求出最小值为，解不等式可得解.
【详解】（1）由题意，当可得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时，
综上可得，
所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；
（2）当时，，
由，在均为减函数，
可得在递减，即有，
由，可得，可得m的最小值为．
【点睛】本题考查了分段函数的应用，正确求出分段函数解析式是解题关键，属于中档题.