江苏省南京市秦淮区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省南京市秦淮区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）一艘轮船以3海里/时的速度从港口A出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（ ）
A．3海里B．4海里C．5海里D．10海里
3．（2分）如图，点C，F在BE上，且△ABC≌△DEF，若BC＝5，CE＝3，则FC的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
4．（2分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当点B、E、C在同一直线上且固定点B、C到杆脚E的距离相等时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合
5．（2分）如图，△ABC的边AB＝10，BC＝12，O是△ABC三条角平分线的交点，若△ABO的面积为15，则△BCO的面积为（ ）
A．11B．17C．18D．20
6．（2分）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且BM⊥AE．有下列结论：①∠AMC＝135°；②△AMH≌△BME；③AH+CE＝AC；④BM+MH＝BC．其中，正确的结论是（ ）
A．①③B．①②③C．②④D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）等腰三角形的顶角为80°，则底角等于 ．
8．（2分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
9．（2分）如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则△ADF≌△ADE的依据是 ．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E．若BC＝5，DE＝2，则DB的长为 ．
11．（2分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，则BD与BA之间的数量关系为 ．
13．（2分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，BC＝9，CD＝4，则AB2﹣AC2的值为 ．
14．（2分）我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”，如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个推断：①x2+y2＝81；②x﹣y＝3；③xy＝36；④x+y＝13．其中所有正确推断的序号是 ．
15．（2分）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝3，若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．
16．（2分）如图，长方形ABCD中，AB＝9，BC＝4，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：△ADB≌△ADC．
18．（6分）如图，点C是线段AB的中点，AD＝BE，∠A＝∠B．求证：∠D＝∠E．
19．（5分）如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C三点都在格点上．
（1）在图中画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；（要求点A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）线段BC与线段B1C1的数量关系为 ．
20．（6分）如图，在一块三角形土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，BC＝12，AB＝13，求绿地的面积．
21．（6分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．判断△AEG的形状并说明理由．
22．（6分）如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．
（1）证明：△ABD≌△ECD；
（2）若AB＝8，AC＝4，设AD＝x，可得x的取值范围是 ．
23．（6分）如图，在一条笔直的马路EF同侧有A，B两个小区，A小区到马路的垂直距离AC为10千米，B小区到马路的垂直距离BD为2千米，CD的长度为15千米．
（1）求A，B小区之间的距离；
（2）现要在线段CD上修建一个车站P，使得车站P到A，B两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站P的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
24．（9分）定义：如果一个三角形中有两个内角α、β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝60°，则∠A＝ ．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形；
②求BD的长．
25．（8分）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即： AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由．
26．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°．BE分别交AC、AD于E、F．
（1）如图1，AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，取BF中点G，若BF2+EF2＝CG2，求证：AF＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DN⊥AC于点N，请直接写出的值．
2024-2025学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、C中的图片与题目中的图片都不是全等形，故A、B、C不符合题意；
D、图片与题目中的图片是全等形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等图形，关键是掌握全等形的定义．
2．【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了3海里，4海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：如图，设轮船向东北方向航行到B，向东南方向航行到C，
由题意得，AB＝3×1＝3（海里），AC＝4×1＝4（海里），∠BAC＝90°，
∴BC＝＝5（海里），
∴离开港口1小时后，则两船相距5海里，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，掌握勾股定理是解题的关键．
3．【分析】由全等三角形的对应边相等推出EF＝BC＝5，即可求出FC＝EF﹣CE＝2．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝5，
∵CE＝3，
∴FC＝EF﹣CE＝2．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
4．【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝EC，
∴AE⊥BC（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到BC，AB的距离相等，
∴△BOC的面积：△AOB面积＝BC：AB＝12：10＝6：5．
∵△ABO的面积为15，
∴△BCO的面积为18．
故选：C．
【点评】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．【分析】根据AD是△ABC的高，∠DAC+∠DCA＝90°，结合CF是△ABC的角平分线，AE平分∠CAD，得到MAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝45°，即可得到∠AMC＝135°，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据△CMA≌△CMB（AAS）得到AC＝BC，结合得到AH＝BE，结合CE+BE＝BC，等量代换即可得到AH+CE＝AC，可判定③正确；延长BM交AC于点N，得到∠BNC＝90°+∠MAN，得到BC＞BN，可以判断④错误，解答即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∵CF是△ABC的角平分线，AE平分∠CAD，
∴∠MAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣（∠MAC+∠MCA）＝135°，
故①正确，符合题意；
∵AD是△ABC的高，BM⊥AE，
∴∠ADC＝∠AMB＝90°，
∵∠AHM＝∠BHD，
∴∠CBM＝∠HAM，
∵AE平分∠CAD，CF是△ABC的角平分线，
∴∠CAM＝∠HAM，∠ACM＝∠BCM，
∴∠CAM＝∠CBM，
在△CMA△和CMB中，
，
∴△CMA≌△CMB（AAS），
∴MA＝MB，
在△AMH和△BME中，
，
∴△AMH≌△BME（ASA），
故②正确，符合题意；
∵△CMA≌△CMB（AAS），
∴AC＝BC，
∵△AMH≌△BME，
∴AH＝BE，
∵CE+BE＝BC，
∴AH+CE＝BC，
∴AH+CE＝AC，
故③正确，符合题意；
延长BM交AC于点N，
在△AMH≌△AMN，
，
∴△AMH≌△AMN（ASA），
∴MH＝MN，
∴BH+2MH＝BH+MH+MN＝BN，
∵∠BNC＝90°+∠MAN，是钝角，
∴∠BNC＞∠BCN，
∴BC＞BN，
故BM+MH＝BC不成立，
故④错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，三角形角平分线、中线和高，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．【分析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，再依据三角形的内角和是180度，即可分别求出三角形的底角的度数．
【解答】解：（180°﹣80°）÷2
＝100°÷2
＝50°．
故答案为：50°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解答此题的主要依据是：等腰三角形的特点以及三角形的内角和定理．
8．【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加条件：∠A＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．【分析】由作图可知，AE＝AF，DE＝DF，结合全等三角形的判定可得△ADF≌△ADE（SSS），即可得出答案．
【解答】解：由作图可知，AE＝AF，DE＝DF，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴△ADF≌△ADE的依据是SSS．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
10．【分析】根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝DE＝2，
∵BC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝7，AC＝8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．
12．【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°可以推出AB＝2BC，同理可得BC＝2BD，则结论即可证明．
【解答】解：AB＝4BD．
理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°．
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD．
∴AB＝2BC＝4BD．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
13．【分析】由折叠得∠ADE＝∠ADC，且∠ADE+∠ADC＝180°，求得∠ADE＝∠ADC＝90°，由BC＝9，CD＝4，求得BD＝5，则AB2＝BD2+AD2＝25+AD2，AC2＝CD2+AD2＝16+AD2，所以AB2﹣AC2＝9，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵将△ABC沿AD折叠，点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADE＝∠ADC，且∠ADE+∠ADC＝180°，
∴2∠ADC＝180°，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵BC＝9，CD＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，
∴AB2＝BD2+AD2＝52+AD2＝25+AD2，AC2＝CD2+AD2＝42+AD2＝16+AD2，
∴AB2﹣AC2＝25+AD2﹣（16+AD2）＝9，
故答案为：9．
【点评】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，证明∠ADE＝∠ADC＝90°是解题的关键．
14．【分析】根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为大正方形的面积为81，
所以大正方形的边长为9，
则由勾股定理得，
x2+y2＝81．
故①正确．
因为小正方形的面积为9，
所以小正方形的边长为3，
则x﹣y＝3．
故②正确．
由x﹣y＝3得，
（x﹣y）2＝9．
又因为x2+y2＝81，
所以2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝72，
所以xy＝36．
故③正确．
（x+y）2＝x2+y2+2xy＝81+72＝153，
所以x+y＝（舍负）．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题主题考查了勾股定理的证明，熟知勾股定理是解题的关键．
15．【分析】分两种情况，①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，过点M作MH⊥OB于点H，当MH＝MN时，a＝6，即可求出a的取值范围；②当△PMN是等边三角形时，根据等边三角形的性质可得OM＝MP＝MN，求出a，即可确定a的取值范围．
【解答】解：①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，如图所示：
则PM＝PN，此时△PMN是等腰三角形，
过点M作MH⊥OB于点H，
当MH＞MN，满足条件的点P恰好只有一个，
∵MN＝3，∠AOB＝30°，
当MH＝3时，OM＝2MH＝6，
∴当a＞6时，满足条件的点P恰好只有一个，
②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个，
此时MN＝MP，∠NMP＝60°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴OM＝MP＝MN＝3，
∴a＝3，
综上，满足条件的a的取值范围：a＝3或a＞6，
故答案为：a＝3或a＞6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，理解题意以及数形结合是解题的关键．
16．【分析】作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝EF＝1，连接HG'交AB于E，推出GE+CF的最小值为G'H的长，再求出G'H的长即可．
【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝EF＝1，连接HG'交AB于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD、AD＝BC＝4、DC＝AB＝9，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∵G关于AB的对称点是G'、G为边AD的中点，
∴GE＝G'E，AG＝AG′＝AD＝2，
∴GE+CF＝G'E+EH＝G'H，
∴GE+CF的最小值为G'H，
∴DG'＝AD+AG'＝4+2＝6，DH＝DC﹣CH＝9﹣1＝8，
由勾股定理得：HG′＝＝＝10，
即GE+CF的最小值为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后利用AAS证明△ADB≌△ADC，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．【分析】根据SAS证明△DAC≌△EBC即可得出结论．
【解答】证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
在△DAC与△EBC中，
，
∴△DAC≌△EBC（SAS），
∴∠D＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质可得，BC＝B1C1．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，线段BC与线段B1C1的数量关系为BC＝B1C1．
故答案为：BC＝B1C1．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．【分析】先由勾股定理求出AC＝5，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC＝90°，由三角形面积公式求解即可．
【解答】证明：∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝＝5，
∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2＝169，
∴∠ACB＝90°；
∴绿地的面积＝AC×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．【分析】过点E作EF⊥BC交于点F，然后根据等腰三角形三线合一得出∠BEF＝∠CEF＝∠BEC，再根据EF∥AD，得出∠FEC＝∠DGC，得∠AGE＝∠EAG即可．
【解答】解：△AEG是等腰三角形，理由如下：
如图，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵BE＝CE，EF⊥BC，
∴∠BEF＝∠CEF＝∠BEC，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DGC，
又∵∠DGC＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠FEC＝∠BEC，
∴∠BEF＝∠AGE，
∵EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，关键是对这些性质的掌握和运用．
22．【分析】（1）由三角形中线的定义得到BD＝CD，再利用SAS即可证明△ABD≌△ECD；
（2）由全等三角形的性质得到CE＝AB＝8，再由三角形三边的关系可得8﹣4＜2x＜8+4，据此可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ECD，
∴CE＝AB＝8，
∵CE﹣AC＜AE＜AC+CE，
∴8﹣4＜2x＜8+4，
∴2＜x＜6，
故答案为：2＜x＜6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．【分析】（1）过点B作BG⊥AC于点G，则BG＝CD＝15千米，AG＝AC﹣CG＝AC﹣BD＝8千米，由勾股定理得AB＝，进而可得答案．
（2）结合线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，交线段CD于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）过点B作BG⊥AC于点G，
则BG＝CD＝15千米，AG＝AC﹣CG＝AC﹣BD＝10﹣2＝8（千米），
由勾股定理得，AB＝＝＝17（千米），
∴A，B小区之间的距离为17千米．
（2）如图，作线段AB的垂直平分线，交线段CD于点P，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．
24．【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝60°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝15°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②过点D作DM⊥BC于点M，证明Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），得出AC＝CM＝8，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝60°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α＝60°，α+2β＝90°，则β＝15°，
故答案为：15°；
（2）①△BDC是“近直角三角形”．
理由：设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
BC＝＝10，
如图，过点D作DM⊥BC于点M，
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，
∴AD＝DM．
在Rt△ACD和Rt△MCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．
∴AC＝CM＝8．
∴BM＝AB﹣CM＝2．
设AD＝DM＝x，
在Rt△BDM中，DM＝x，BM＝2，DB＝6﹣x，
∵DM2+BM2＝DB2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键．
25．【分析】（1）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC计算即可；
（2）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC计算即可．
【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，
∴，
∴，
∴PE+PF+PM＝BG；
（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，
∴，
∴，
∴PE+PF﹣PM＝BG．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解决此题的关键．
26．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BD＝CD＝5，从而求得AD的长，可推出DF＝BD＝5，进而得出结果；
（2）连接DG，作GH⊥BC于H，连接CF，根据直角三角形的性质得出DG＝BG＝FG＝BF，GH＝DH＝BH＝BD，设DH＝BH＝GH＝a，则DF＝CD＝BD＝2a，从而得出CH＝CH＝CD+DH＝3a，从而得出CG2＝10a2，BF2＝8a2，从而得出FG2＝2a2，进而得出EF＝FG，从而CE＝CG，从而∠CEF＝∠CGF，进而得出∠AEF＝∠BGC，进而证得△AEF≌△CGB（ASA），从而AF＝BC；
（3）从而（2）得出AF＝BC＝4a，DF＝CD＝2a，从而表示出AD、AC，进而得出DN，根据勾股定理得出CN，进一步得出结果．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，BD＝CD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠CBE＝∠BFD，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图1，
连接DG，作GH⊥BC于H，连接CF，
由（1）知，CD＝BD，AD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠FCB＝∠CBE＝45°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BE，
∵∠ADB＝90°，G是BF的中点，
∴DG＝BG＝FG＝BF，
同理可得，
∠BGD＝90°，
∴GH＝DH＝BH＝BD，
设DH＝BH＝GH＝a，则DF＝CD＝BD＝2a，
∴CH＝CH＝CD+DH＝3a，
∴CG2＝GH2+CH2＝a2+（3a）2＝10a2，
BF2＝BD2+DF2＝（2a）2+（2a）2＝8a2，
FG2＝BG2＝GH2+BH2＝2a2，
∵BF2+EF2＝CG2，
∴EF2＝2a2，
∴EF＝FG，
∴CE＝CG，
∴∠CEF＝∠CGF，
∴180°﹣∠CEF＝180°﹣∠CGF，
∴∠AEF＝∠BGC，
∵∠AFE＝∠BFD＝∠CBE＝45°，
∴△AEF≌△CGB（ASA），
∴AF＝BC；
（3）解：如图2，
由（2）知，
AF＝BC＝4a，DF＝CD＝2a，
∴AD＝AF+DF＝6a，
∴AC＝＝，
∵S△ACD＝，
∴DN＝，
∴CNCN2＝CD2﹣DN2＝＝，
∴，
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．