海淀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A.3B.0C.D.
4.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有实数根 D.没有实数根
5.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）

A.B.C.D.
6.如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为（ ）
A.2B.C.D.
7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
下列说法正确的是（ ）
A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵
B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
C.移植的幼树越多，成活率越高
D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900
8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①②B.②③C.①②③D.①②④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________.
10.如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和前开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）.
11.若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是________（写出一个即可）.
12.已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：
则该二次函数有________（填“最小值”或“最大值”）.
13.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________.
图1 图2
14.如图，，是的两条切线，切点分别为，，.若的半径为3，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）.
15.如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形.若正方形和矩形的周长相等，则的值是________.
16.小云将9张点数分别为的扑克牌以某种分配方式全部放入，两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为这一事件的概率记为.
（1）若将点数为1和2的扑克牌放入袋，其余扑克牌放入袋，则________；
（2）对于所有可能的分配方式以及所有的，的最大值是________.
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.解方程：.
18.已知，求代数式的值.
19.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上.求证：.
20.已知关于的方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值.
21.如图，是外一点，与相切，切点为.画出的另一条切线，切点为.小云的画法是：
①连接，过点画出的垂线交于点；
②画出直线.
直线即为所求.
（1）根据小云的画法，补全图形；
（2）补全下面的证明.
证明：连接，.
，，
垂直平分，.
① .
② .
.
是的切线，为切点，
.
.
.
于点.
是的半径，
是的切线（ ③ ）（填推理的依据）。
22.不透朋袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.
（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个.请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率.
23.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点与轴垂直的直线与抛物线交于点，，其中，与直线交于点.若，直接写出的取值范围.
24.如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形.设为，正方形的面积为.
（1）关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________；
（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象；
（3）当________时，正方形面积有最小值________.
25.如图，为半圆的直径，点，在半圆上，直线与半圆相切于点，.
（1）若，求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点作交于点，交于点，若，，求的长.
26.在平面直角坐标系中，点，点在抛物线
上.设抛物线的对称轴为直线.
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围.
27.如图，在中，，点，分别在边，上，连接，.
（1）求证：；
（2）连接，点为的中点，连接，.
①依题意补全图形；
②若，求的大小.
28.在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”.
（1）如图、正方形的顶点分别为点，，，.
①在点，，中，正方形的“伴随切点”是________；
②若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围；
（2）已知点，正方形的边长为2.若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围.移植总数
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率
结果保留小数点后三位
0.800
0.870
0.883
0.890
0.909
0.899
0.902
0
1
2
0
1
-1