备战2025年高考数学北京模拟卷四

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．或 12． / 13． （答案不唯一）
14． 4 3或4 15. ②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.（13分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可;
（2）结合正弦定理和余弦定理求解即可;
【详解】（1）由正弦定理得,--------------1
得,--------------2
,--------------3
因为,
所以
则.--------------4
所以,
所以.--------------5
（2）选条件①:
因为,--------------6
由正弦定理得,--------------7
由余弦定理得,--------------8
解得，--------------9
则,
解得，--------------11
所以存在且唯一确定,
则.--------------13
选条件②:,
已知--------------6
由正弦定理得,--------------8
因为,
所以,--------------9
,--------------11
所以存在且唯一确定,--------------12
则.--------------13
选条件③:,
由余弦定理得,--------------8
即,--------------9
所以,--------------10
即,--------------11
因为,--------------12
所以不存在使得存在.-------------13
17．（14分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得；
（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.
【详解】（1）取中点，连接、，--------------1
由，，故、，-------------2
又、平面，，
则平面，--------------4
又平面，故；--------------5
（2）由侧面底面，且，平面，
平面平面，故平面，
又平面，故，
即有、、两两垂直，--------------7
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由，，，，，
则，，
即、、、A1,0,0、，--------------8
、、，
令，则，--------------9
由，故，解得，
故，--------------10
令平面的法向量为m=x,y,z，
则有，令，则有，--------------12
由轴平面，故平面的法向量可为，--------------13
则，
故二面角的余弦值为.--------------14

18．（13分）
【答案】(1)①0.16；②3.128
(2)答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；--------------1
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，--------------2
连败两局：，--------------3
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，-------------4
；--------------5
故的分布列如下：
故数学期望；--------------6
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，--------------7
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且--------------8
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；--------------10
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；--------------12
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.--------------13
19．（15分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解；
（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即．当直线l的斜率存在时，设l：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，分别表示出坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
【详解】（1）由题意可得，，--------------1
解得，--------------3
所以椭圆的方程为.--------------4
（2）

当直线l的斜率不存在时，
有，，，
则，，故，即．--------------5
当直线l的斜率存在时，设l：，其中．--------------6
联立，得，--------------7
由题意，知恒成立，
设，则，．--------------8
直线MA的方程为，--------------9
令，得，即，同理可得．
所以，．--------------10
因为--------------12
，--------------14
所以．--------------15
综上所述，．
20．（15分）
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）根据可求出，并对其进行检验即可求解；
（3）分和两种情况，求出函数在区间上的最大值即可作答.
【详解】（1）由可得，--------------2
当时，，，--------------3
在点处的切线方程为；--------------4
（2）因为在处取得极值，所以，解得，--------------5
检验如下：
令，解得或，--------------6
若或时，则；若，则.
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
故在处取得极小值，满足题意，--------------8
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；--------------9
（3）由（1）知，由时，得，因，--------------10
当时，当时，，即函数在上单调递减，则，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；--------------11
当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增， --------------12
于是得在上的最大值为或，而，，--------------13
，即，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，--------------14
所以当时，关于的不等式在区间上无解.--------------15
21．（15分）
【答案】(1)
(2)不存在，使得成立
(3)
【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，，--------------1
所以.--------------2
（2）假设存在，使得，--------------3
则有，--------------4
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，--------------5
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，--------------6
故不存在，使得.--------------7
（3）首先证明时，对任意的都有，--------------8
因为，--------------9
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，--------------10
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，--------------11
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，--------------12
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，--------------13
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，--------------14
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.--------------15
【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论的思想，计算量较大，属于难题.1
2
3
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5
6
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8
9
10
A
B
C
C
A
D
B
C
D
D
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