备战2025年高考数学模拟（新课标I卷）试卷四

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知集合为正奇数组成的集合，且，则，故选C.
2．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以．故选B
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】B
【解析】由题意可得 ，因为，所以，
解得，故选：B
4．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，
.，
，，
.
故选：.
5．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥PO的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，
解得，因此圆锥的高，
所以该圆锥的体积为.故选：C
6．若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在区间上不单调，所以，故选：B．
7．方程在内根的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由题意，，
即，可得或，
解得或
又因为，所以，故选：D.
8．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以为奇函数，
又因为，所以为上的增函数.
因为，为奇函数，
所以，
又为上的增函数，所以，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
附：若，则，，．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布
【答案】BC
【解析】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是 ，标准差是，所以A错误；
由，可得，
所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确；
由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；
由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误．
故选：BC.
10．已知函数的极值点，则（ ）
A．是的极小值点B．有三个零点
C．D．
【答案】ABD
【解析】由，
得，
由是函数的极值点，得，解得，
故函数，，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，A选项正确；
又，，，，
所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又在上单调递减，且，
所以，
又，故，C选项错误；
同理，
且，
，D选项正确；
故选：ABD.
11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为，B．曲线C关于x轴对称
C．面积的最大值为2D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】设点，依题意，，整理得：，
对于A，当时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；
对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；
对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确；
对于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ．
【答案】
【解析】因为，即，解得，所以的虚轴长为
13．若直线与曲线和圆，都相切，则a的值为 ．
【答案】
【解析】设直线与曲线相切的切点坐标为，
由曲线，可得，则，解得，
所以切线方程为，
因为直线与圆相切，
所以，解得或（舍）．
14．编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，座位编号和学生编号一致时称为一个“配对”，用X表示“配对”数，则X的期望 ．
【答案】1
【解析】X的可能取值为0,1,2,4，全排列为 ，
当X=0时，先安排的第一人由3种选择，比如说先安排“1”号人，可以选择2,3,4座位，
如果安排在2号位，则“2”号人也可以由3种选择，比如是安排在1号位，
则“3”号人只能在4号位，“4”号人只能在3号位；如果是安排在3号位，
则“3 ”号人只能在4号位，“4”号人只能在1号位，如果安排在4号位也是类似，
所以有 种排法， ；
当X=1时，先从4人中选一人安排在对应的位置上，由 种选法，
比如选“1”号人安排在1号位，则“2”号人有2种选法，如果选3，则“3”号人只能选4，
“4”号人只能2,；如果选4，则“4”号人只能只能选3，“3”号人只能选2；所以有
种排法， ；
当X=2时，先从4人中选2人安排在对应的位置，有 种选法，比如先安排“1”号人
和“2”号人，分别安排在1号和2号位置，则“3”号人和“4”号人只能由1种排法，所以总共
有6种排法， ；
当X=4时，只有1种排法， ；
其数学期望为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
【解】（1），
由正弦定理得：， ………………………2分
整理得：， ………………………3分
∵在中，，
∴，
即， ………………………4分
∴，
即； ………………………5分
（2）由余弦定理得：， ………………………7分
∴， ………………………8分
∵，
∴， ………………………10分
∴，
∴， ………………………12分
∴的周长为. ………………………13分
16．(本小题满分15分）已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程.
【解】（1）由焦点为得 ………………………1分
又离心率，得到， ………………………2分
所以， ………………………3分
所以椭圆C的方程为. ………………………4分
（2）设
联立，消y得， ……………………5分
，得到，
由韦达定理得，，， ……………………7分
又因为， ………………………9分
又原点到直线的距离为， ………………………10分
所以，………………13分
所以，所以，即，满足， ……………………14分
所以直线l的方程为. ……………………15分
17．(本小题满分15分）如图，AB是圆的直径，MA与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A、B的一点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【解】（1）∵平面，平面，∴， …………………1分
∵是圆的直径，∴， ………………………2分
∵，、平面，
∴平面， ………………………4分
∵平面，∴平面平面； ……………………5分
（2）法一：如图，建立空间直角坐标系，
则， ………………………7分
， ………………………8分
设平面的法向量，
则有，令，得，………………………10分
设平面的法向量，
则有，
令，得， ………………………12分
则，，
二面角的正弦值为. ……………………15分
法二：作于，作于，连接， ……………………6分
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面， ……………………7分
∵平面，∴，
又∵，、平面，∴平面，………………………8分
∵平面，∴，
∴为二面角的平面角， ………………………10分
， ………………………11分
∵平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，∴，
， …………………13分
则，
二面角的正弦值为. ……………………15分
18．(本小题满分17分）已知函数，其中.
(1)证明：当时，；
(2)若时，有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【解】（1）因为，
则对任意恒成立， ………………………1分
可知在内单调递减， ……………………2分
则， ………………………3分
所以当时，. ……………………4分
（2）因为，
则， ………………………5分
令，
则对任意恒成立 ， ………………………6分
可知在内单调递增，
则， ………………………7分
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意； ………………………8分
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；
当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增， ………………………10分
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为. ………………………11分
（3）令，
则， ………………………12分
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得， ………………………14分
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意； ……………16分
综上所述：实数的取值范围为. ……………………17分
19．(本小题满分17分）定义：已知数列为有穷数列，①对任意（），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意（），总存在 ，使得，则称数列为“除法封闭数列”，
(1)若，判断数列是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列，为“除法封闭数列"，求和 .
(3)已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.
【解】（1）由题意知，数列为：. ……………………1分
由，不是数列中的项， ………………………3分
故数列不是“乘法封闭数列”； ………………………4分
（2）由题意数列递增可知，
则，且， ………………………5分
又数列为“除法封闭数列”，
则都是数列中的项， ………………………7分
所以，即①；
且，即②，
联立①②解得，； ………………………9分
（3）数列是等比数列 ………………………10分
证明：当时，设数列为，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”， ………………………12分
则这个数都是数列中的项，
所以有，
则有，③；
同理由，可得，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列. ………………………14分
当时，由题意数列递增可知，
则有， ………………………15分
由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列. ………………………17分