河北省承德市承德县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份河北省承德市承德县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共26页。试卷主要包含了答案须用黑色字迹的签字笔书写等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟．
2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚．
3．答案须用黑色字迹的签字笔书写．
一、选择题(本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知的半径长为2，若，则得到的图形可能是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B．C．D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．反比例函数y=的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＞0C．k＞3D．k＜0
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
7．抛物线y＝﹣5可由y＝﹣5﹣6如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
9．某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为（ ）
A．9.2环B．9.3环C．9.4环D．9.5环
10．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（ ）

A．点DB．点EC．点GD．点F
11．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ）

A．B．C．D．
12．将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1B．1．5C．2D．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（ ）
A．70°B．120°C．140°D．110°
16．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A．-3＜m＜-B．-5＜m＜-C．-5＜m＜-3D．-3＜m＜-
二、填空题(本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分)
17．已知一元二次方程 (m是常数)有实数根，则m的值可以是 ．(写出一个符合条件的值即可)
18．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C是线段上一点，且反比例函数的图像经过点C．

（1）在反比例函数的图像中，y随x的增大而 ；(填“增大”或“减小”)
（2）当点C在线段上运动时，k的取值范围是 ．
19．如图，正方形的边长为8，M是的中点，P是边上的动点，连接，以点P为圆心，长为半径作．
（1）当时，点C在 ；(填“上”“内”或“外”)
（2）当与正方形的边相切时，的长为 ．
三、解答题(本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．解方程：
(1)
(2)
21．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组(每组20人)进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．
甲组成绩统计表
乙组成绩统计图
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
(2)请求出乙组成绩的平均数；
(3)已知甲组成绩的方差为，请求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定．
22．如图，已知反比例函数与正比例函数的图像交于，两点．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)已知点C在x轴的正半轴上，且的面积为3，求点C的坐标．
23．如图，在中，，的平分线交于点E，点D在上，且以为直径的经过点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
24．某科技小组利用无人机测量高速路口一广告牌的高度，如图，在广告牌的对面楼的顶点C处测得点A的俯角为，无人机从点C出发沿水平方向向左移动15米到达点E，此时测得点A的俯角为（图中的点均在同一平面内）．

(1)求广告牌与楼之间的距离；（参考数据：）
(2)已知楼的高为26米．若市政规定此处的广告牌的高度不高于16米，且不低于10米，请判断该广告牌的高度是否符合要求，并说明理由．（参考数据：）
25．如图1，在中，．如图2，点E为边的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到．
(1)求的长．
(2)当时，
①求证：；
②求的长．
(3)当经过的外心时，直接写出的度数．
26．如图，有一个人站在水平球台上打高尔夫球，球台到x轴的距离为8米，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且米，弯道末端垂直x轴于点B，且米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线L：运动，落在弯道的点D处，且点D到x轴的距离为4米．
(1)k的值为 ；点D的坐标为 ； ；
(2)红色球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若抛物线G的顶点坐标为．
①求抛物线G的表达式，并说明小球在D处弹起后能否落在弯道上？
②在x轴上有托盘米，若把托盘向上平移，小球恰好能被托盘接住(小球落在托盘边缘不会掉落)，设托盘向上平移的距离为d米，求d的取值范围．
(3)若在红色球从E处飞出的同时，一黄色球从点E的正上方处飞出，它所运行的轨迹与抛物线L的形状相同，且在红色球落在D处之前，黄色球始终在红色球的正上方超过6米的位置处，直接写出m的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据，判定点B在圆的外部，选择图形即可．
【详解】∵，
∴点B在圆的外部，
故选A．
2．C
【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可；
【详解】解：二次函数的顶点式 的顶点坐标为
所以抛物线 的顶点坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了配方法解方程，正确配方计算选择即可．
【详解】∵，
∴，
故选C．
4．A
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∴，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
5．C
【分析】利用反比例函数的性质可得出k−3＞0，解不等式即可得出k的取值范围．
【详解】解：在图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，根据反比例函数的性质，
得k−3＞0，
∴ k＞3．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
6．B
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．D
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣5﹣6先向右平移2个单位，再向上平移6个单位即可得到抛物线y＝﹣5．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
8．B
【分析】过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长．
【详解】解：过点作半径于，如图，
∴，
在中， ，
∴，
∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据求算术平均数的方法计算即可．
【详解】解：（环），
即该军人这10次射击的平均成绩为9.3环，
故选：B．
【点睛】本题考查求算术平均数，解答本题的关键是明确平均数的计算方法．
10．C
【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可．
【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且，
，
∴，
故，
故选C．
11．B
【分析】根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案．
【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为，
最高车速为，
在最高车速下的行驶时间，
同理可得，在最低车速下的行驶时间为，
通过段限速区间的行驶时间应该在之间．
，
B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式．
12．C
【分析】利用相似三角形和相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：如图1，可知：，
∴，，
∴；
如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值相等，对应角相等，
∴新图形与原图形相似；
如图3，∵，，
则，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
综上：新图形与原图形相似的有2个；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似多边形的判定．熟练掌握相似三角形和多边形的判定方法，是解题的关键．
13．D
【分析】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
【详解】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，得，
故选D．
14．A
【分析】先求出的长度为2，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴的长度为2，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，熟知扇形面积公式是解题的关键．
15．D
【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵BC=CD，
∴，
∵∠DAB=40°，
∴∠BAC=∠DAB=20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=180°﹣∠B=110°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．D
【分析】直线与、共有3个不同的交点，正好处于、之间的区域，即可求解．
【详解】令：，可以得到：，，
，
，
，
，
则：，
则：右侧抛物线方程为：，
直线与、共有3个不同的交点，正好处于、之间的区域，
其中：与抛物线上方相切，过点B，
将方程和右侧抛物线方程联立得：，
，解得：；
点代入中，则：，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数的平移、图象相切等知识点，综合性较强．
17．8（答案不唯一）
【分析】根据方程的根的判别式即可．
【详解】∵方程有实数根，且，
∴，
∴，
解得．
故的值可以为8，
故答案为：8．
18． 增大
【分析】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数，解题的关键是求出直线的解析式，得到是关于k的二次函数．
（1）根据反比例函数的性质可直接得到答案．
（2）设直线的解析式为，设，且，
结合点C在上，得到，根据抛物线的性质计算即可．
【详解】解：（1）反比例函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大，
故答案为：增大；
（2）设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
∵点C在线段上运动，
∴设，且，
∵点C在上，
∴，
∴对称轴为，抛物线开口向下，距离对称轴越远的点的函数值越小，
∵，
∴时，k取得最大值，此时；时，k取得最小值，此时；
故k的取值范围是．
19． 内 3或##或3
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，切线的性质，分类思想．
(1)根据勾股定理，求的半径，计算，比较与半径的大小即可解答．
(2)分与两种情况，运用勾股定理列式计算即可．
【详解】(1)∵正方形的边长为8，M是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
故点C在圆的内部，
故答案为：内．
(2)当与相切时，
设，
则，，
∴，
解得；
当与相切时，设切点为K，
则，
∵正方形的边长为8，M是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，
则，
∴，
解得或（舍去）；
故答案为：3或．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法及公式法是解题的关键，注意方法的灵活运用．
（1）运用配方法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：
解得：，；
（2）解：
，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，．
21．(1)；8
(2)
(3)；乙组更加稳定些
【分析】本题考查了众数，中位数，平均数，方差，熟练掌握公式是解题的关键．
(1)根据中位数，众数的定义计算即可．
(2)根据加权平均数的公式计算即可．
(3)根据方差计算公式计算即可．
【详解】（1）根据题意，甲组成绩的是中间两个数据8和9的平均数，
故中位数是，
故答案为：；
乙组中，成绩为8的数据出现了9次，次数最多，
故乙组数据的众数是8，
故答案为：8．
（2）根据加权平均数的公式，得
（3）∵乙组的平均数是，
∴其方差为：
∵，
故乙组更加稳定些．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，再根据题意得到，据此求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
（2）解方程组得：或，
∴，
设点C的坐标为，
则，
解得：，
∴点C的坐标为．
23．(1)见解析
(2)3
【分析】(1)连接，根据平分，得到，再根据得到，继而得到，继而得到，结合得到证明即可．
(2)连接，根据，设，继而得到，结合，，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）如图，连接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）连接，
∵，
设，
∴，
∵，，
根据勾股定理，得，
解得，
故，
故圆的半径是3．
【点睛】本题考查了切线的证明，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线证明，勾股定理是解题的关键．
24．(1)广告牌与楼之间的距离为25米；
(2)该广告牌的高度是否符合要求．理由见解析．
【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，推出，在中，利用余弦函数求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求得，据此求解即可作出判断．
【详解】（1）解：延长和相交于点F，

∵，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴米，
∴米，
答：广告牌与楼之间的距离为25米；
（2）解：∵在中，，，
∴米，
∵米，
∴，
∴该广告牌的高度是否符合要求．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．
25．(1)
(2)①见解析②
(3)
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，作高化斜为直解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆的外心，线段的垂直平分线，
(1)过点A作于点M，利用特殊角的函数值计算即可．
（2）①根据沿将折叠得到，得到．结合，得到，继而得到，结合
，利用公共角相等证明即可．
②利用三角形相似，列出比例式计算即可．
（3）根据经过的外心，得到点P一定在线段的垂直平分线上，结合，得到，，结合，得到点P是的交点，，结合沿将折叠得到，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）过点A作于点M，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①∵沿将折叠得到，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
②∵
∴．
∵点E为边的中点，，
∴．
∴，
解得．
（3）∵经过的外心，
∴点P一定在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，，
∴点P是的交点，
∵，
∴，
∵沿将折叠得到，
∴，，
∴，
∴．
26．(1)24，，
(2)①小球在D处弹起后不能落在弯道上，见解析②
(3)
【分析】(1)根据球台到x轴的距离为8米，米，确定点，确定k，结合，点D到x轴的距离为4米，结合，计算即可．
(2)①小球在D处弹起后不能落在弯道上，见解析②分别计算当时，时的函数值，计算即可．
(3) 根据，黄色球的轨迹为，
且，计算即可．
【详解】（1）∵球台到x轴的距离为8米，米，
∴点，
∴
解得，
故反比例函数的解析式为；
∵， ，
∴，
解得，
∵点D到x轴的距离为4米，，
∴，
解得，
故，，
把代入中，得，
解得，
故答案为：24，，．
（2）①∵抛物线G的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
故抛物线G的解析式为
当时，．
∴小球在D处弹起后不能落在弯道上．
②根据题意，当时，．
当时，．
故d的取值范围是．
（3）∵，
∴黄色球的轨迹为，
根据题意，得当时，，
解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，反比例函数的解析式及其性质，二次函数的平移，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线性质是解题的关键．
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5