黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共35页。试卷主要包含了考试时间120分钟，全卷共三道大题，满分120分，一次综合实践主题为等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，满分120分
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）
1．下列成语中，表示随机事件的是（ ）
A．竹篮打水B．杀鸡取卵C．水中捞月D．守株待兔
2．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
4．2023年是中国共产党建党102周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动，据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到万人，设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，中，，，，P是斜边上一动点（不与点A，B重合），交的直角边于点Q，设为x，的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的大致图象的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为，同时量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A．B．C．D．
7．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A．B．C．D．
8．齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”．我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为（ ）

A．1B．2C．D．
10．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
12．如图，在中，点、分别是边、上的点，若要使，则需添加的条件是 ．（只填一个条件即可）

13．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为 °．
15．已知函数的图象与x轴只有一个交点，则k需满足的条件是 ．
16．已知在半径为3的⊙O中，弦AB=3，弦AC=3，则∠BAC的度数为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且,再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．

(1)画出向下平移个单位长度得到的；
(2)画出绕着点按顺时针方向旋转得到图形，写出的坐标_____；
(3)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为．
19．解方程．
(1)
(2)
20．“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动的宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿．随机抽取了一部分学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了_____人，统计图中A（环保义工）部分扇形的圆心角等于______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)请用树状图或列表法计算：小明与小华两名同学在选择环保类社团活动时，参加同一社团项目的概率是______；
(4)若该校有名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加E（垃圾分类）社团．
21．如图，为的直径，过点B作的切线，连接，过点A作交于点D，连接交的延长线于点C．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长．
22．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）：
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由．
23．综合与实践
如图1所示，正方形绕正方形的顶点B逆时针旋转度（），与交于点H．
【初步感知】如图1，当时，则______度；
【探究发现】如图2，连接、、，判断与的数量关系，并说明理由；
【应用拓展】当G，F，D三点共线时，若正方形的边长为，，则正方形的边长为______．
24．综合与探究
如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点H，当的值最小时，点H坐标为______；
(3)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P，连接、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标和四边形面积的最大值；
(4)探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件；在一定条件下，必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；据此进行判断即可求解．
【详解】解：A、是不可能事件，故不符合题意；
B、是必然事件，故不符合题意；
C、 是不可能事件，故不符合题意；
D、是随机事件，故符合题意；
故答案：D．
【点睛】本题考查了事件的分类，必然事件、不可能事件、随机事件的定义，理解定义是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：、不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故不符合题意；
、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
3．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解．
【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是，
故选：C．
4．A
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，根据5月份的参观人数增加到万人，列一元二次方程即可．
【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例，以及二次函数开口向上，反之，开口向下．根据题意进行分类讨论：①当点Q在上时：通过证明，得出，根据三角形的面积公式，即可得出y关于x的解析式；②当点Q在上时，通过证明，得出，根据三角形的面积公式，即可得出y关于x的解析式，即可解答．
【详解】解：根据勾股定理可得：，
①当点Q在上时：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴；
②当点Q在上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵为开口向上的抛物线，为抛物线向下的抛物线，
∴表示y关于x的函数关系的大致图象的是C，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
根据镜面反射可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查等多边形的性质，等边三角形的判定性质，解题的关键是掌握正多边形中心角相等；过点O作于点C，通过证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理可得：，则，即可得出地基的面积．
【详解】解：过点O作于点C，

∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴地基的面积，
故选：D．
9．D
【分析】过A作轴于点C，过B作轴于点D，由条件证得，从而得出，即可得到，解方程求得k的值．
【详解】过A作轴于点C，过B作轴于点D，

∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
解得，
，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答关键是根据应用数形结合思想解题．
由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到b>0和；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；当时，根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，所以①②正确；
当时，，即，
当时，，即，
∴
∴，
∴
∴所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，y有最大值，
∴，
∴，所以④正确．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，根据“关于原点对称点点横坐标和纵坐标都互为相反数”即可解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
当，
则，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据已知可得，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴
故答案为：．
14．120
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图的圆心角，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，列出等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：120．
15．或
【分析】根据函数是一次函数和二次函数进行分类讨论，一次函数一定有一个交点，二次函数根据判别式等于0进行计算即可．
【详解】解：当时，即，，与x轴只有一个交点；
当时，即时，函数为二次函数，由题意得：，解得：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数图象与轴交点的个数问题．解题的关键是：根据二次项系数是否为零，进行分类讨论．
16．105° 或15°
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，根据垂径定理求出AE，AF的值，根据解直角三角形的知识求出∠OAE=45°，∠OAF=60°，然后分情况求出∠BAC即可．
【详解】解：有两种情况：
①如图，连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC
∴∠OEA=∠OFA=90°
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
∴，
∴∠OAE=45°，∠OAF=60°，
∴∠BAC=∠OAE+∠OAF=45°+60°=105°；
②如图，连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，
∴，
∴∠OAE=45°，∠OAF=60°，
∴∠BAC=∠OAF-∠OAE=60°-45°=15°，
故答案为105°或15°．
【点睛】本题考查的是垂径定理和解直角三角形，能够分情况讨论是解题的关键．
17．
【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将Rt△绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
每4次循环一周，，，，，
，
点与同在一个象限内，
点．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．
18．(1)见解析
(2)图见解析，
(3)见解析
【分析】（1）依据向下平移个单位长度，即可得到；
（2）依据绕着点按顺时针方向旋转即可得到图形；
（3）利用位似图形的性质，得出对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图所示，即为所求．的坐标；
故答案为：；
（3）解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了位似变换、旋转变换、平移变换的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据公式法法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
，
∴，；
（2）解：，
整理得，
，
解得：，．
20．(1)，；
(2)见解析；
(3)；
(4)240．
【分析】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出总人数和A（环保义工）部分扇形的圆心角；
（2）根据B（绿植养护）所占的百分比求出m的值，再用总人数减去已知数据计算出n的值，即可将条形统计图补充完整
（3）根据题意，先画出树状图，再求出相应的概率即可．
（4）用乘以愿意参加E（垃圾分类）社团在样本中所占比例，计算出全校约有多少名学生愿意参加E（垃圾分类）社团 人数．
【详解】（1）本次调查共抽取人数为：人，
统计图中A（环保义工）部分扇形的圆心角为：
故答案为：，；
（2）B（绿植养护）社团的人数为：人，
D（回收材料）社团的人数为：人，
补全条形图统计图如图：
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有25种等可能性，其中选择环保类同一社团项目的可能性有5种，
∴选择环保类同一社团项目的概率为，
故答案为：；
（4）人，
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团．
21．(1)直线与相切，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，先利用切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质和平行线的性质可证平分，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答；
（2）设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，再利用平行线分线段成比例可得，最后进行计算，即可解答．
【详解】（1）直线与相切，
理由：连接，
∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）设，
∵，
∴，
在中，CD=8，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为．
22．(1)；
(2)第分钟注意力更集中；
(3)能达到，理由见解析．
【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）根据上题求出的和的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能．
【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线的解析式为，
把代入得，，
∴．
当时，，
当时，
设C、D所在双曲线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴y与x之间的函数关系为：；
（2）当时，，
当时，
∴，
∴第分钟注意力更集中．
（3）能达到；
令，
∴，
∴，
令，
∴，
∴
∵，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
23．； 见解析；2．
【初步感知】根据旋转的性质可得，再利用互余关系求即可；
【探究发现】连接，由正方形性质，，从而得到，则，可证明，所以，，则；
【应用拓展】延长交于点M，分别求出，证明得到，设，求得，，则，在中，利用勾股定理，求出，进而，则正方形的边长可求．
【详解】初步感知
解：由已知，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
探究发现
证明：如图，连接，

在正方形和正方形中，和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴；
应用拓展
延长交于点M，
∵，
∴；
由正方形的边长为，
∴，
在正方形和正方形中，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，，
∴，
在中，
，
即，
解得，，（舍去），
∴，
∴．
则正方形的边长为2．
故答案为：2．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)，四边形的面积最大为16
(4)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，，则与对称轴的交点即为点H，用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解；
（3）连接，易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得∶
，
解得：，
∴该二次函数的解析式．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∵点A和点B关于直线对称，
∴与对称轴的交点即为点H，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
∴．
（3）解：如图：连接，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，
此时；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
∴，则斜边为或，
当斜边为时，，
即，
解得：，
∴或；
当斜边为时，，
即，
无解．
综上：或．
社团
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（醇素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
m
n
4