专题20 二次函数中对称变换问题-2024年中考数学二次函数压轴题讲义（含答案解析）

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(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）得到，即可求解；
（3）由题意的：，即可求解．
【详解】（1）由题意，得
（2）由（1）得抛物线的解析式为．
令，则，得．
∴B点的坐标为．
，
∴．
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴可设直线的解析式为．
∵在直线上，
∴．
∴．
∴直线的解析式为．

（3）设P点坐标为．
∵点P在直线和抛物线上，
∴．
∴．
解得（舍去）．
∴点P的坐标为．

由翻折，得．
∵，
∴'．
∴．
．
设点E的坐标为，则．
．
当时，点E的坐标为．
设,
由，得：
，
解得：，
则点的坐标为．
当时，同理可得，点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：如图1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
当点在线段上时，连接，交于，
点和点关于对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
∴；
如图3，
当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．
4．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)求点C，D的坐标；
(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；

5．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；
（2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
∴，
∵对称轴为，
∴，，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，

令，
解得：，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
6．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；
(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（3）解：根据折叠可知，，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴或，
解得：或或，
∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，
∴，
∴点M的坐标为，．

【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形．
7．（2022·甘肃武威·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
(3)连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；
（2）根据抛物线可求出点A的坐标，点C的坐标，根据，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；
（3）①连接交于点，设，则，求出，得出点，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；
②在下方作且，连接，，证明，得出，说明当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果．
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①连接交于点，如图1所示：
∵与关于轴对称，
∴，，
设，则，
，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，连接，，如图2所示：
∵，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，最小，最小为，
过作，垂足为，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴
，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，得出当，，三点共线时，最小，是解题的关键．
8．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C．

(1)求出抛物线解析式；
(2)如图1，过y轴上点D作的垂线，交直线于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标；
(3)如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去；
（3）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：将，代入表达式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，

∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∵，，
∴直线：，
设，，
∴或，
∴或，
解得：，，，，
∴或或或
其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去，
∴点的坐标为或 ；
（3）分两种情况讨论：
①如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则四边形为矩形，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
由折叠可知：，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
②如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，

由得： ，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的图象和性质，锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点及分类讨论思想的应用．
9．（2023·广西贵港·三模）抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点为抛物线上一点，且直线轴，点M是抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线的垂线，垂足为N，若将沿翻折，点N的对应点为，则是否存在点M，使点则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．
【答案】(1)；
(2)或或
(3)存在，或
【分析】（1）可先求得点的坐标，将其代入抛物线的解析式求得的值，令，求得的值，进而求得点的坐标；
（2）分为为边和为对角线两种情形，当为边时，分为，前者观察点和点重合，后者点的纵坐标和点坐标互为相反数，进而求得结果，点为对角线时，点和点重合；
（3）证明是正方形，求得的解析式为：和，进一步求得结果．
【详解】（1）解：∵轴，，
把代入得
由解得
（2）如图1，

当为边时，，此时和点重合，，
时，点的纵坐标和点的纵坐标互为相反数，即，
当为对角线时，此时点和点重合，
综上所述：或或
（3）如图2，

由折叠知，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵时，
∴矩形是正方形，
∴平分，
当平分时，
直线的解析式为：，
由得，(舍去)，
当时，，
∴，
当平分时，
直线的解析式为：，
由得，(舍去)，
当时，，
综上所述：或．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，解一元二次方程，平行四边形的分类，正方形的判定和性质等知识点，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
10．（2023·四川成都·三模）如图，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧）坐标分别为，，交轴于点．
(1)求出抛物线解析式；
(2)如图，过轴上点作的垂线，交线段于点，交抛物线于点，当时，请求出点的坐标；
(3)如图，点的坐标是，点为轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点刚好落在轴上，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或 ；
(3)点的坐标为或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）过点作轴的垂线交于， 交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去；
（）分两种情况讨论：
如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解；
本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的性质，锐角三角函数、图形的折叠变换、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想．
【详解】（1）将，代入表达式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，
∵，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∵，，
∴直线：，
设，，
∴或，
∴或，
解得：，，，，
或或或
其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去，
∴点的坐标为或 ；
（3）分两种情况讨论：
如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
则四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
由折叠可知：，，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
由得： ，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
11．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图象的翻折、等腰三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，，即可求解；
（3）是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
抛物线的表达式为：；
（2）∵点，，
∴，抛物线的对称轴为直线，
如图，由题意得，设翻折后点和点B对应，

则， ，，
∴，
∴，
∴，
当点M在x轴下方时，根据对称性，则点；
故点M的坐标为：或；
（3）存在，理由： 是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上，
∵，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∴的垂直平分线为，
∴，
解得：，
∴或．
12．（2023·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过两点，且．
(1)求抛物线的解析式．
(2)是抛物线第一象限内的一个动点，过作于，求的最大值．
(3)是抛物线对称轴上的一个动点，连接，把线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值为
(3)点坐标为或
【分析】（1）先求出，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点作轴，交于，交轴于，过点作于，过点作于，设，则，，由可求得，再由可得，，再证明，可得，进而可得，再运用二次函数的性质即可；
（3）设，，由翻折可得的中点在直线上，即，分两种情况：当点在的上方时，过点作轴交抛物线的对称轴于，设对称轴交于，利用解直角三角形可得，联立①②可得，即，当点在的下方时，同理可得．
【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，，解得：，
，，
∵抛物线经过两点，且，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于，交轴于，过点作于，过点作于，如图1，
，
设，则，，
，
，，
，，
在中，，
轴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，轴，
，
，
，
，
，
，
，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：设，，
∵线段沿着直线翻折，的对应点恰好落在抛物线上，
的中点在直线上，
，
化简得：，
当点在的上方时，
如图2，过点作轴交抛物线的对称轴于，设对称轴交于，
，
则，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
联立①②得：，
解得：，
，
，
；
当点在的下方时，如图3，
，
同理可得：，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质，解直角 ，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是解此题的关键．