2024-2025学年江苏省连云港市东海高级中学城北校区高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省连云港市东海高级中学城北校区高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x−3>0}，B={x|x2−5x+4>0}，则A∩B=( )
A. (−∞,1)B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. (4,+∞)
2.已知集合M={a,2a−1,2a2−1}，若1∈M，则M中所有元素之和为( )
A. 3B. 1C. −3D. −1
3.下列各式正确的是( )
A. 3−8=6(−8)2B. (3−π)2=3−π
C. nan=|a|(n>1,n∈N∗)D. (na)n=a(n>1,n∈N∗)
4.已知p：|x−3|<1，q：x2+x−6>0，则p是q的( )
A. 充要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为M=lgA−lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的( )倍．
A. 10 2B. 10 10C. 10 5D. 10 3
6.若命题“∃x∈[−1,3]，x2−2x−a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 3
7.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若ac>bc，则a>b
B. 若b>a>0，m<0，则b−ma−m>ba
C. 若a>b，1a>1b，则ab>0
D. 若a>b>c，a+b+c=0，则ab>ac
8.已知A={a1,a2,a3,a4}，B={a12,a22,a42}，且a1A. 8B. 6C. 7D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的必要条件的图( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 命题“∃x∈R，12”
C. 若x∈R，则函数y= x2+4+1 x2+4的最小值为2
D. 当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是[0,4)
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x<−6}
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为(−13,12)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合{a2,a}={a,1}，则a= ______．
13.已知lg2=a，1g3=b，则lg125= ______．
14.若正数x，y，z满足x+y=xy，x+y+3=xyz，则z的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−x<0,x∈R}，B={x|a(1)当a=−1时，求A∩B；
(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
(1)若已知10m=2，10n=3，求103m−2n2的值；
(2)计算(lg2)2+lg2×lg50+lg25+lg0.01；
(3)已知a12−a−12=2 3.求a32−a−32a12+a−12的值．
17.(本小题15分)
已知不等式mx2−mx+2>0．
(1)当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当3≤x≤5时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
(1)已知x>0，y>0，2x+8y=xy.求：
(ⅰ)xy的最小值
(ⅱ)8x+2y的最小值．
(2)解关于x的不等式：mx2−(3m−1)x−3>0(m∈R)．
19.(本小题17分)
已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i=1,2,…,n)满足a1+a2+…+an=a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．
(1)判断：集合{−1− 3,−1+ 3}是否是“完美集”并说明理由；
(2)a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2；
(3)若ai为正整数，求：“完美集”A．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.B
6.A
7.D
8.A
9.BC
10.BD
11.AB
12.−1
13.3a+b−1
14.74
15.解：(1)解不等式x2−x<0可得A={x|0当a=−1时，可得B={x|a所以A∩B={x|0(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⫋A，
当B=⌀时，则a≥1−a，可得a≥12；
当B≠⌀时，可得a<1−aa≥01−a≤1，且两端等号不同时成立，可得0≤a<12；
又a=0时，A=B不合题意；所以0综上可知实数a的取值范围为{a|a>0}．
16.解：(1)由已知10m=2，10n=3，
可得103m−2n2=103m210n=(10m)3210n=2323=2 23，
(2)(lg2)2+lg2×lg50+lg25+lg0.01
=(lg2)2+lg2×(lg5+1)+lg0.25
=(lg2)2+lg2lg5+lg2+lg14=lg2(lg2+lg5)+lg2−2lg2=0；
(3)由a12−a−12=2 3，可得(a12−a−12)2=a+a−1−2a12⋅a−12=12，可得a+a−1=14，
所以a12+a−12= (a12+a−12)2= a+a−1+2a12⋅a−12= 14+2=4，
因此可得a32−a−32a12+a−12=(a12−a−12)(a+a−1+1)a12+a−12=2 3×154=15 32．
17.解：(1)①若m=0，则原不等式可化为2>0，显然恒成立，
②若m≠0，则不等式mx2−mx+2>0恒成立，
等价于 m>0Δ=m2−8m<0，解得0综上，实数m的取值范围是{m|0≤m<8}．
(2)①当m=0时，则原不等式可化为2>0，显然恒成立，
②当m>0时，函数y=mx2−mx+2的图象开口向上，对称轴为直线x=12，
若x∈[3,5]时不等式恒成立，
则m>09m−3m+2>0，解得m>0，
③当m<0时，函数y=mx2−mx+2的图象开口向下，
若x∈[3,5]时不等式恒成立，
则m<09m−3m+2>025m−5m+2>0，解得−110综上，实数m的取值范围是{m|m>−110}.
18.解：(1)(ⅰ)因为2x+8y≥2 2x×8y=8 xy，
当且仅当2x=8y时取等号，所以2x+8y=xy，可得xy≥8 xy，解得xy≥64，
当且仅当x=16，y=4时等号成立，所以xy的最小值为64．
(ⅱ)由2x+8y=xy，得2y+8x=1，
所以(8x+2y)(2y+8x)=16xy+16yx+4+64≥68+2 16xy×16yx=100，
当且仅当16xy=16yx时取等号，此时解得x=y=10，所以8x+2y的最小值为100．
(2)不等式mx2−(3m−1)x−3>0对应方程为mx2−(3m−1)x−3=0，解方程得x=3或x=−1m，
所以原不等式化为(x−3)(mx+1)>0，
当m=0时，原不等式化为x−3>0，解得x>3，
当−1m<3时，m<−13或m>0，
当m>0时，解不等式(x−3)(mx+1)>0，得x<−1m或x>3，
当m<−13时，解不等式(x−3)(mx+1)>0，得−1m当−1m>3时，−130，得3当−1m=3时，m=−13，此时不等式可化为−13x2−(3×(−13)−1)x−3>0，
化简得−x2+6x−9>0，该不等式无解，原不等式的解集为空集．
综上，
m=0时，解集为{x|x>3}，
m>0时，解集为{x|x<−1m或x>3}，
m<−13时，解集为{x|−1m−13m=−13时，解集为空集．
19.解：(1)由(−1− 3)+(−1+ 3)=−2，(−1− 3)(−1+ 3)=−2，则集合{−1− 3,−1+ 3}是“完美集”，
(2)若a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，
设a1+a2=a1⋅a2=t>0，
根据根和系数的关系知，a1=2和a2相当于x2−tx+t=0的两根，
由Δ=t2−4t>0，解得t>4或t<0(舍去)，
所以a1⋅a2>4，又a1，a2均为正数，
所以a1、a2至少有一个大于2．
(3)不妨设A中a1由a1a2⋅⋅⋅an=a1+a2+⋅⋅⋅+an当n=2时，即有a1<2，又ai为正整数，所以a1=1，
于是1+a2=1×a2，则a2无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，
于是“完美集”A只有一个，为{1,2,3}．
当n≥4时，由a1a2⋅⋅⋅an−1≥1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，即有n>1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，
而n−(n−1)(n−2)=−n2+4n−2=−(n−2)2+2<0，
又(n−1)(n−2)≤1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，因此n<1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，故矛盾，
所以当n≥4时不存在完美集A，
综上知，“完美集”A为{1,2,3}．