江西省景德镇市2025届高三上学期第一次质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省景德镇市2025届高三上学期第一次质量检测数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题 景德镇一中 江宁 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（ ）象限
A.一B.二C.三D.四
3.已知，，则的值为（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.已知，则（ ）
A.B.C.D.
5.过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A.B.C.D.
6.函数的零点个数是（ ）
A.5B.6C.7D.8
7.函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ）
A.B.C.D.
8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A.B.C.D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.函数为偶函数，且最小正周期为4
B.若，，则往方向上的投影长为
C.是抛物线上一点，，则的最小值为1
D.已知两直线与，则“”是“，互相平行”的充分不必要条件
10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（ ）
参考数据：若，则，
，
A.
B.总体是35万人
C.样本均值为73.5
D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人
11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A.的值随着的增大而减小B.是定值
C.D.若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________.
13.已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________.
14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）求函数的单调递减区间和对称中心；
（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求.
16.（15分）如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（15分）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率.
（1）求的方程；
（2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值.
18.（17分）已知函数，其中.
（1）已知，若在定义域内单调递增，求的最小值；
（2）求证：存在常数使得，并求出的值；
（3）在（2）的条件下，若方程存在三个根，，，且，求的取值范围.
19.（17分）第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数.
（1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值；
（2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值；
（3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值.
景德镇市2025届高三第一次质检试题
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．D 【解析】，，．故选D．
2．D 【解析】，∴对应的点为在第四象限．故选D．
3．B 【解析】，．故选B．
4．C 【解析】，故选C．
5．A 【解析】，点A不在曲线上，由已知可求得切线过点，得直线方程为，，故选A．
6．B 【解析】数形结合．故选B．
7．B 【解析】∵是奇函数，∴，即关于点对称．又函数的定义域为，故．
且当时，令，即，解得．
根据对称性可知当时，．
综上所述，的解集是．故选B．
8．A 【解析】分别取的中点，
不难发现平面即平面，平面即平面，
∴平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，
∵正四面体的棱长为1，不难计算得出．故选A．
E
F
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．
9．BC 【解析】∵，显然是奇函数，故A错误；往方向上的投影长为，故B正确；设，其中，∴
，即的最小值为，故C正确；∵互相平行，∴，解得或，经检验时两直线重合，∴“”为“互相平行”的充要条件，故D错误．故选BC．
10．AD 【解析】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值
，故C错误；∵，，，
∴小于66分的人数约为人，故D正确．故选AD．
11．ABD 【解析】在中，由正弦定理可知
，显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大，∴的值随着的增大而减小，故A正确；
，
由于，∴，∴为定值，故B正确；
，而，
∴，故C错误；
，，
∴，∴，解得，
∴，故D正确．故选ABD．
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．
12． 【解析】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，∴，∴，．故答案为．
13． 【解析】，∴，半径为，，∴，半径为．若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴．由于，故，，即的最小值为．
14． 【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，
第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，
第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，
第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，
∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率．
故答案为．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．
15．（本小题13分）
解：（1），…………………………2分
该函数的单调递减区间为：……………………………………4分
令，解得，
∴函数的对称中心坐标为，其中．……………………………6分
（2）∵，∴，∴或，∵，
∴．…………………………………………………………………………………………8分
∵，…………………………………………………9分
且，，∴，解得：…………………11分
由余弦定理可知，．…………………………………………13分
16．（本小题15分）
解：（1）取中点，连接，∵，故．
∵，平面平面，平面，
∴平面，∴．…………………………………………………………4分
又∵，∴平面．………………………………………………………6分
（2）由上可知，又，
∴平面．…………………………………………………………………………7分
如图以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系．……………………8分
∴，……………………………………9分
设平面的法向量，则，令，
解得．………………………………………………………………………………11分
同理，平面的法向量，……………………………………………………13分
∴平面与平面夹角余弦值…………………………14分
∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．…………………15分
17．（本小题15分）
解析：（1）由题意，解得，
∴椭圆的方程为．………………………………………………………………5分
（2）设直线为，设，设中点为，
联立，
根据韦达定理可知，
其中．………………………………………………8分
∴，．
∴，………………………10分
∴，…………………………………………12分
令，∴，等号当且仅当，即时取到，满足………………………………………14分
∴，即的最大值为．……………………………………………………15分
18．（本小题17分）
解：（1）依题意可知当时，恒成立，…………………………1分
即，而的最小值为，故，………………………………3分
解得，即的最小值为．……………………………………………………………4分
（2），
……………………………………………………………………………………………………6分
∵，∴，解得．
即当时，．…………………………………………………………9分
（3）构造函数，则方程存在三个根即函数函数存在三个零点．∵，∴．………………10分
令，得，于是为的一个零点．…………………………………11分
若存在零点，且，由可知，则必存在相应的零点，且．∴必在上存在唯一零点．……………………………13分
若恒成立，即成立，解得，此时在上单调递增，无零点；………………………………………………………………14分
若，则，且，∴在上单调递增，故在上存在零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增．……………………………………………15分
∵，即，解得，………………………………………16分
∴，即．
综上所述，的取值范围是．…………………………………………………17分
19．（本小题17分）
解：（1）第一次将对换得到，∴．…………………………2分
第二次将对换得到，∴．
故．…………………………………………………………………………………4分
（2）∵的逆序数分别为，∴必为这个数中的最大数．
的逆序数分别为，则可能是这个数中第二大或者第三大的数．………………5分
若是第二大的数，先将对换到末位需要次对换，再将对换到倒数第二位需要
次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要次对换，则
；…………………………………………………………………………………6分
若是第三大的数，则只能是第二大的数，同理需要对换次，需要对换次，
需要对换次，…，∴．……………………………………………………8分
综上所述，或．……………………………………………………9分
（3）先证明排序不等式，不妨假设,是
的一个排列，，不妨假设，则
，于是
成立的充要条件为，于是经过若干次对换后得：．
……………………………………………………………………………………………………12分
假设经过若干次对换后得到，其中，
则．
∵，其中与均为正常数，要使
得拟合效果最佳，则．∵，不妨假设，则．
……………………………………………………………………………………………………13分
设的所有逆序数之和为，反之，正序数之和为，由于这个数互不相
等，则．
∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能大，则应将按
从小到大的顺序排列．
将中的数按大数优先对换的原则，则将该组数按从小到大的顺序排列共需次
对换，再将排最前面有次对换，故．………………………………14分
∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能小，则应将按从大到小的顺序排列．
而中的数按小数优先对换的原则，则将该组数按从大到小的顺序排列共需要次对换，位置不变，故．……………………………………………………15分
∴．…………………………………………16分
若，同理可得．
综上所述，为定值．………………………………………………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
D
B
C
A
B
B
A
BC
AD
ABD