山东省高青县2024-2025学年8年级上学期期中考试数学试题

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
二、填空题：每小题4分，共20分
三、解答题：（10分×4+12×2+13×2）
16．每小题5分，满分10分。
解：（1）3a2-6ab+3b2=3（a2-2ab+b2）=3（a-b）2；
（2）x2（m-2）+y2（2-m）=（m-2）（x2-y2）=（m-2）（x+y）（x-y）。
17．每小题5分，满分10分。
（1）原式===
（2）去分母，得4-x2=-（x2-2x），解得x=2，
经检验，x=2是原分式方程的增根，∴原分式方程无解。
18．解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是：（2a2+5ab+2b2）cm2的长方形的长是（2a+b）cm，宽是（a+2b），
由此可得：（2a2+5ab+2b2）=（a+2b）（b+2a），
故答案为：（a+2b）（b+2a）；………………………………2分
（2）①根据长方形的周长为30cm，可得：
2（2a+b+a+2b）=30，
2（3a+3b）=30，
6（a+b）=30，
a+b=5。………………………………6分
②由①得：a+b=5，
∵阴影部分的面积为34cm2，
且阴影部分的面积表示为2a2+2b2，
故a2+b2=17，
∵（a+b）2-2ab=a2+b2，
∴52-2ab=17，
∴ab=4，
∴5ab=20。
答：空白部分的面积为20cm2。……………………10分
19．解：（1）将乙公司套餐得分相加除以7可得：
乙公司套餐平均数：=88，
将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数，
则b=88，
在乙公司套餐得分中，90出现的次数最多，为2次，
则其众数为c=90，
故答案为：88，88，90；………………………………3分
（2）甲公司套餐得分方差为：，
乙公司套餐得分方差为：，
∵，∴乙公司套餐的得分较稳定；……………………7分
（3）∵甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，
∴选择乙公司套餐品质较好。……………………………………10分
20．（1）解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为（x+20）元。
根据题意，得，
解得：x=20。
经检验，x=20是所列方程的解，
∴x+20=20+20=40（元）。………………………………6分
答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元。
（2）解：设李老师购买A款吉祥物m个，则购买B款吉祥物（10-m）个。
根据题意，得40×0.9m+20（10-m）≤240，解得m≤。
答：李老师最多可购买2个A款吉祥物。…………………………12分
21．解：（1）把a-b=1两边平方，得（a-b）2=1，
化简，得a2+b2-2ab=1，
将a2+b2=9代入得9-2ab=1，解得ab=4；………………6分
（2）把两边平方，得，
化简，得，
则。…………………………………12分
22．解：（1）令x-y=A，
1+6（x-y）+9（x-y）2=1+6A+9A2
=（1+3A）2，
将“A”还原，可以得到：
原式=（1+3x-3y）2；……………………4分
（2）令a2-4a=B，
则（a2-4a+1）（a2-4a+7）+9
=（B+1）（B+7）+9
=B2+8B+16
=（B+4）2，
将“B”还原，可以得到：
原式=（a2-4a+4）2
=（a-2）4；………………………………8分
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
=（n2+3n+2）（n2+3n）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1正整数．
∴（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2，
即代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方。……13分
23．解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下：
C
-
D
=
1
x
+
2
-
x
2
+
5
x
+
6
x
2
+
4
x
+
4
C-D=-
=
= -
= -1。
因为-1不是正数，所以C不是D的“雅中式”。……………………4分
（2）P-Q=-==。
∵P是Q的雅中式，P关于Q的雅中值为2，
∴E-2x2-6x=2（9-x2）。
∴E=6x+18。
∴P===。
∵P的值也为整数，且分式有意义。
故3-x=±1，或3-x=±2，或3-x=±3，或3-x=±6且x≠±3，
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9。
符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9=27。……………………9分
(3)∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1。
M-N==1。
整理得：（-b-c+a+4）x+bc-5a=0。
由上式子恒成立，则：
消去a得：bc-5b-5c+20=0。
∴b（c-5）-5（c-5）=5。
∴b（c-5）=5（c-4），
∴b=，
∵a、b、c为整数。
∴c-4、c-5是连续整数。
当c-4=2、c-5=1时，b=10，c=6，a=12，
∴a-b+c=8。
当c-4=0，c-5=-1时，c=4，b=0，a=0。
∴a-b+c=4。
当c-4=4，c-5=5时，c=10，b=6，a=12，
∴a-b+c=16。
当c-4=-4，c-5=-5时，c=0，b=4，a=0，
∴a-b+c=-4。
综上：a-b+c的值为：8或4或16或-4。…………………………13分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
D
B
A
A
D
C
题号
11
12
13
14
15
答案
2xy（2x+3）（2x-3）
87
2025
或1