2025年中考数学二轮培优练习压轴题02 反比例函数的综合问题（3题型+解题模板+技巧精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc161754617" \l "_Tc161754618" 题型一 反比例函数与一次函数交点问题
\l "_Tc161754619" 题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题
\l "_Tc161754620" 题型三 反比例函数与几何图形结合
题型一 反比例函数与一次函数交点问题
【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．
【详解】（1）解：将点代入，
，
，
将代入，
，
，
将和代入，
，解得：，
；
（2）解：根据图象可得，当时，的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式1-1】（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
【变式1-2】（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．

(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)当或时，；当时，
(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题
【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)9；
(3)或．
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
【变式2-1】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
【变式2-2】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．

，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【变式2-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
(3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可；
（3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可；
方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：直线与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
，
，
在双曲线上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）∵，
∴不等式的解集为：或 ；
（3）方法一：连接，作轴于G，

在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线CD的表达式为．
方法二：
连接BF，作轴于，

在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
∴设直线的表达式为，
在直线上，
，
，
∴直线的表达式为．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键．
【变式2-4】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可；
（2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：把点代入和得：
，，
解得：，，
∴的解析式为，反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：延长交x轴于点F，如图所示：

将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
，
联立，
解得：，，
∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴点F的坐标为，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
题型三 反比例函数与几何图形结合
【例3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
(1)求，的值；
(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)，；
(2)点D的坐标为或
【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解；
（2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
【变式3-1】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
【变式3-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
【变式3-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
(2)点C的坐标为或
(3)点P的坐标为；m的值为3
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【详解】（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
画出图形如下：

又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
一、解答题
1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴
∴点A的坐标为．
∵反比例函数 的图象经过点，
∴．
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H，
∵，
则，．
由勾股定理，得,
由图象的对称性，可知．
又∵，
∴．
∴C点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
【答案】(1)，图见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
当点在轴负半轴上时：

，
∴
解得：或（不合题意，舍去）；
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或，
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
（3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．

如图，过作轴于点，过作轴于点，设，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
5．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．
【详解】（1）解：把代入中，，
解得，
∴，
把代入中，，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴C点坐标为，
过点C作轴，交于点，

在中，当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
7．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，可得，结合的面积是8．可得，从而可得答案；
（2）先求解，，可得直线为，联立，再解方程组即可．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴，
∵的面积是8．
∴，
解得：；
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点A的横坐标为2时，
∴，即，
则，
∵直线过点C，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
解得：或，经检验，符合题意；
∴或．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．
8．（2023·西藏·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为．

(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)点A关于原点O的对称点为，在x轴上找一点P，使最小，求出点的坐标．
【答案】(1)m=3，n=-3，反比例函数的解析式为：；
(2)；
【分析】（1）将点，点分别代入之中，即可求出的值；然后再将点代入即可得到反比例函数的解析；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则为最小，故得点为所求作的点，根据对称性先求出点，点，再利用待定系数法求出直线的解析式为，由此可求出点的坐标．
【详解】（1）解：将点，点分别代入之中，
得：，，
解得：，，
∴点，点，
将点代入之中，得：，
∴反比例函数的解析式为：，
（2）作点关于x轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图：

则为最小，
故得点为所求作的点．理由如下：
在轴上任取一点，连接，，，
∵点关于轴的对称点，
∴轴为线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
根据“两点之间线段最短”得：，
即：，
∴为最小．
∵点，点与点关于原点对称，
∴点的坐标为，
又∵点，点和点关于轴对称，
∴点点的坐标为，
设直线的解析式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
∴直线A'B'的解析式为：，
对于，当时，，
∴点的坐标为．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键．
9．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,

∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知或时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
10．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)，，
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标．
（2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）（1）将代入，得，
∴．
将代入，得，
∴．
如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，
∴．
又∵，
∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，
∵，
∴，
∴；
②若，则，
又∵，，
∴，
∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键．
题型解读：
反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①求反比例函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.
下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
解题模板：
技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：
解题模板：
解题模板：