压轴题02 反比例函数的综合问题（3题型+解题模板+技巧精讲）-2024年中考数学一轮复习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
压轴题解题模板02
反比例函数的综合问题
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u 题型一 反比例函数与一次函数交点问题
题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题
题型三 反比例函数与几何图形结合
题型一 反比例函数与一次函数交点问题
【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当为何值时，？
【变式1-1】（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
【变式1-2】（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．

(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题
【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【变式2-1】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【变式2-2】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【变式2-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
(3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
【变式2-4】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．

(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接，，求的面积．
题型三 反比例函数与几何图形结合
【例3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
(1)求，的值；
(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【变式3-1】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【变式3-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
一、解答题
1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标．
2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
5．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．
6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
7．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
8．（2023·西藏·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为．

(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)点A关于原点O的对称点为，在x轴上找一点P，使最小，求出点的坐标．
9．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
10．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
题型解读：
反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①求反比例函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.
下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.
解题模板：
技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：
解题模板：
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