2024-2025学年上海市静安区高一上学期9月月考联考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市静安区高一上学期9月月考联考数学检测试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a+b= .
2．设全集，集合，或x>2，则用区间表示，结果是 .
3．设，，用列举法表示所有可能取值组成的集合，结果是 .
4．已知集合，，则 .
5．已知陈述句：素数都是奇数，则的否定形式为 .
6．设x，，已知，则的一个充分必要条件是 .
7．如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .

8．已知集合，，那么 .
9．设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有 个
10．设集合，，若，则实数a的取值范围是 .
11．设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则 .
12．若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素，将与105互素的所有正整数组成集合，且，则 .
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要
14．抛物线与直线x=1，x=2，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．若非空集合，，则使得成立的所有的集合是
A．B．C．D．
16．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题D．甲乙都不是真命题
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
18．设，已知集合，.
(1)若，求a的值；
(2)若，求a的取值范围.
19．如图，在直角坐标系中，过点F0,1的直线与抛物线相交于点Mx1,y1，Nx2,y2，自M，N引直线的垂线，垂足分别为，.

(1)用分别表示线段，MF的长；
(2)证明.
20．设，已知：关于的一元二次方程有两个相异正根；：对任意实数，不等式恒成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)判断，是否成立？给出你的结论，并说明理由.
21．已知实数，满足.
(1)求证：中至少有一个实数不小于1；
(2)设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值.
1．3
【分析】根据集合相等求出即可求解.
【详解】{1，a}{2，b}，
则，，
所以a+b= 3.
故3
2．
【分析】根据集合补集的定义，即可得答案.
【详解】由于集合，或，故其在实数集上的补集，
故
3．
【分析】根据，的符号，分情况去绝对值即可.
【详解】根据，的符号，分情况去绝对值：
若，，；若，，；
若，，；若，，.
所有可能取值组成的集合为.
故答案为.
4．
【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集.
【详解】由题意得：，解得：，
∴
故
5．见解析
【分析】由题意，素数都是奇数是全称量词命题，其否定是存在量词命题，由此可写出答案.
【详解】陈述句：素数都是奇数，是全称量词命题，
则的否定形式为：存在一个素数不是奇数.
故存在一个素数不是奇数.
6．
【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解.
【详解】因为
，
所以的一个充分必要条件是.
故
7．
【分析】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可.
【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，
所以可以表示为.
故答案为.
8．
【分析】根据根式性质可得集合,进而可求解.
【详解】由得，故，
故，∴.
故答案为.
9．32
【分析】根据集合的交、并运算得出，再由子集个数计算公式得解.
【详解】因为，，集合M满足
所以，则这样的集合M共有个.
故
10．
【分析】先得到，分，和三种情况，结合，得到a的取值范围.
【详解】因为，所以，
若，此时，不满足，
若，此时，不满足，
若，此时，又，
要想满足，
则.
故
11．##
【分析】设，将原方程变为，结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答案.
【详解】设，原方程变为，
设此方程有实根，，
则原方程的四个实根为，，
由于它们在数轴上等距排列，
即①，又，，
由此求得，满足，∴，
故
12．202
【分析】先求得前105个数中有多少个数与105互质，进而可求得第100个与105互质的数.
【详解】由题意知，不可以是3，5，7的倍数，
所以在前105个正整数中与105互素的整数个数为：
，
故不超过105而与105互质的正整数有48个．
故在第二轮的105个数中仍然有48个与105互质的正整数．
在前105个数中前4个与105互质的数为1，2，4，8，
故按照从小到大排列后可知.
故答案为.
13．B
【分析】解出不等式的解，利用必要不充分的判定直接判断即可.
【详解】由，得且，
则“”是“”的必要非充分条件.
故选：B
14．D
【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．
【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小，
把点代入得，把点代入得，
则的范围介于两者之间，故 ．
故选：D.
15．B
【分析】将转化为，再根据子集的定义，结合题设范围进行求解即可
【详解】由可知，又由得，解得，
故选B.
本题考查根据子集的条件求解参数问题，将转化为这一步至关重要，由于题中明确了集合非空，降低了难度，若没这一条件，则应讨论集合为空集的情况
16．B
【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断.
【详解】对于甲，
，故命题甲正确；
对于乙，如图所示：
所以，，故命题乙不正确.
故选.
关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断.
17．实数k的值为0或1，当时，；当，
【分析】集合A={x∣}中只有一个元素，即方程只有一个解，再讨论当时，当时方程的解的个数，再求集合即可.
【详解】解：由集合A={x∣}中只有一个元素，
即方程只有一个解，
①当时，方程为，解得，即；
②当时，方程只有一个解，则，即，
即方程为，解得，即，
综合①②可得：实数k的值为0或1，当时，；当，.
本题考查了方程的解的个数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由，分类讨论求解参数的值即可；
（2）解出集合，由可知，求解参数的取值范围即可.
【详解】（1），
∴或，
当时，，不符合，舍去，
当时，，，符合题意，
则.
（2）或，
∵，
∴，
∴.
19．(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用两点间距离公式得到线段，MF的长；
（2）设过的直线方程为，联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由题意知，，计算出，得到垂直关系.
【详解】（1），.
（2）显然过点的直线斜率存在，设过的直线方程为，
联立方程，
，
由题意知，，
.
故.
20．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况，得出不等式组，即可求出的范围.
（2）根据不等式恒成立，讨论和两种情况，进而求解即可判断.
【详解】（1）由题意知，有两个相异正根，
则，解得，
即的取值范围为.
（2）：对任意实数，不等式恒成立，
①当时，符合题意；
②当时，则，解得，
则仅能得出，得不到.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用反证法求解即可；
（2）由于若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，分析即得解.
【详解】（1）假设全都小于1，则与题目矛盾，
故中至少有一个实数不小于1.
（2）因为且，
集合的所有非空子集数为个，
由于时，中的元素和为0，因此计算所有的，的和时，不妨把也计上，
因为若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，
所以在32个子集中一定有16个包含，另外16个不包含，
故的平均值.