2022年高三数学重点知识解析参数取值题型与分析教案

这是一份2022年高三数学重点知识解析参数取值题型与分析教案，共21页。教案主要包含了直接根据图像判断等内容，欢迎下载使用。
（Ⅰ）参数取值问题的探讨
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当xR时，不等式a+cs2xa+2
上式等价于或，解得aa2.(下同)
例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式
f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成
立，这又等价于
对于任意x∈R恒成立。
不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3)
不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=,
即k≤1或k≥2,-----------(4)
由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的
取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的
根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构
造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思
想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量
，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB
的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程
代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
所求量的取值范围
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA= f（k），xB = g（k）
得到所求量关于k的函数关系式
求根公式
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围
解1：当直线垂直于x轴时，可求得；
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭
圆方程，消去得，
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .
思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根
源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与
联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程
xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）
构造所求量与k的关系式
关于所求量的不等式
韦达定理
AP/PB = —（xA / xB）
由判别式得出k的取值范围
解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则 令，则，
在（*）中，由判别式可得 ，
从而有 ，所以，
解得.结合得.
综上，.
说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
二、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x41,10，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另
一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关
于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在[2,2]上恒大
于0，故有：
即解得：
∴x3.
例8.设f(x)=x22ax+2,当x[1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二
次函数在区间[1,+)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.
ⅰ)当=4（a1)(a+2)0恒成立，求实数m的取值范围。
4．已知关于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。
5．试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形
状，并指出其焦点坐标。
6．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需
求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）
确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素
是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
7．某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单
位，售价0.5元，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学
校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如
何配制盒饭，才既科学又费用最少？
8．发电厂主控室的表盘，高m米，表盘底边距地面n米。问值班人员坐在什么位
置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为）
9. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50米铁丝网，
筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
（Ⅳ）、参考答案
分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定
义了个平面向量线性相关．在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则．所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）．
2．分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅 有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
转化为一元二次方程根的问题
求解
问题
关于x的方程有唯一解
解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程



由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .
说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的 优越性.
3．分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断f(x)的奇偶性和单调性，不难证 明，在R上f(x)是奇函数和增函数，由此解出cs2+2msin0,t∈[0,1]--------------------(*)
恒成立时，求实数m的取值范围。
接下来，设g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴t=m与区间[0，1]的位置关系，分类使g(t)min>0,综合求得m>.
本题也可以用函数思想处理，将（*）化为2m(1t)>(t2+1),t∈[0,1]
⑴当t=1时，m∈R;
⑵当0≤th(t)=2[(1t)+],由函数F（u)=u+在（1，1]上是减函数，易知当t=0时，h(x)max=1, ∴m>,综合（1）、（2）知m>。
说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。
4．分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数
x
y
l1
l2
l
-20
y= x2+20x及一次函数y=8x6a3，则只需考虑这两个
函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)
当直线为l1时，直线过点（20，0）此时纵截距为6a3=160,a=;
当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为6a3=0，a=
∴a的范围为[，）。
5．解：（1）当时，方程化为，表示轴。
（2）当时，方程化为，表示轴
（3）当时，方程为标准形式：
①当时，方程化为表示以原点为圆心，为半径
的圆。
②当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为
③当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为
④当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为
⑤当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为
6．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P＝6x+8y
由题意：30x+20y ≤300
5x+10y≤110
x≥0，y≥0
x、y均为整数
画图知直线 y＝－3/4x＋1/8P 过M（4,9）时，纵截距最大，这时P也取最大值Pmax＝6
×4＋8×9＝96（百元）
故：当月供应量为：空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元。
7．解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）
则目标函数为S＝0.5x+0.4y
且x，y满足 ： 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 ，y≥0
画图可知，直线 y＝－5/4x+5/2S
过A（13/15,14/15）时，纵截距5/2S最小，即S最小。
故每盒盒饭为13/15百克，米食14/15百克时既科学又费用最少。
8．解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 （米）。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生 产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人员的座位，才能避免盲目性。
9.解：假设围栏的边长为x米和玉米，于是由题设可知x＞0，y＞0，且
xy＝144 （1）
2x+y≤50 （2）
双曲线xy＝144在第一象线内的一支与直线2x＋y＝50的交点是A
（），B（），满足条件（1）、（2）的解集是在双曲线xy＝144（），这一段上的点集（即如图中双曲线A、B之间的一段），当过双曲线A、B之间上的任一点作一点作直线2x＋y＝k（k＞0）就是相应需用铁丝网的长度，直线2x+y=k（k＞0）与双曲线xy＝144相切。这时，相应的k值最小，消去y得x的二次方程： ，从△＝0得， 即k＝24（米）所需用铁丝网的最短长度为24米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点A的纵坐标给出，即米，利用墙的最短长度由B纵坐标给出，即米 （x，y）
（40,0）
（4,12）
（0,20）
T
40
16
20
班级学生数
配备教师数
硬件建设（万元）
教师年薪（万元）
初中
50
28
高中
40
2.5
58
1.6
资金
单位产品所需资金（百元）
月资金供应量（百元）
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力 （工资）
5
10
110
单位利润
6
8