宁夏吴忠市吴忠中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份宁夏吴忠市吴忠中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 函数的定义域是， 已知函数，且，则， 函数的值域为， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解.
【详解】由题可知，，所以.
故选：C.
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，总有B. ，总有
C. ，使得D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】特称命题否定全称命题即可
【详解】因为命题“，使得”，
所以其否定为“，总有”
故选：．
3. 下列四个图象中,是函数图象的是
A. ①B. ①③④C. ①③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数值的定义，在是的函数中，确定一个值，就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．
【详解】解：根据函数的定义知：
在是的函数中，确定一个值，就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有（2）不符合此条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的概念，因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应，是基础题．
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据0的0次幂无意义，分母不为0和偶次根式下不小于0列出不等式组，解出即可.
【详解】要使函数有意义，需满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
5. 已知函数，且，则（ ）
A. 3B. C. 17D.
【答案】A
【解析】
【分析】代入即可求解.
【详解】在中取可得，所以，
故选：A
6. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求的范围，再求的值域.
【详解】令，则
在上单调递减，∴，又，
∴的值域为.
故选：A
7. 已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，解之即可得解.
【详解】因为函数是上的单调递增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
8. 已知偶函数在上单调递减，且，则关于不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】偶函数在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增， ，因为，当，，解得；当x∈0,+∞，得，解得，综上所述不等式式的解集是，故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
①，；②；③；④
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的定义，通过判断定义域、对应关系是否相同来判断，从而得解.
【详解】对于①，，因为两个函数的定义域都为，
且对应关系也一样，所以是同一个函数，故A正确；
对于②，因为的对应关系不一样，
所以不是同一个函数，故B错误；
对于③，的定义域为，
的定义域为，两个函数的定义域不一样，故C错误；
对于④，，
所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：AD.
10. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为1D. 的图象与轴有1个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
11. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为或x>12
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可.
【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或，
∴，A选项错误；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，
则，
不等式，即，又，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．
故选：BD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数且图象必过定点___________．
【答案】
【解析】
【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标．
【详解】令，求得，且，
故函数且恒过定点.
故答案为：．
13. 已知正实数a、b满足，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】把转化为，展开后利用基本不等式求得最值
【详解】已知，，且，
则，
当且仅当，即，时，取得最小值．
故答案为：
14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得出不等式对任意的恒成立，然后分和两种情况讨论，在时，代入检验即可，在时，得出，由此解出实数的取值范围.
【详解】由题意知不等式对任意的恒成立.
①当时，则有恒成立；
②当时，则有，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，同时也考查了二次不等式在实数集上恒成立问题，解题的关键就是对参数的取值进行分类讨论，结合首项系数与判别式符号来进行限制，考查化归与转化思想，属于中等题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②.
【答案】（1）；（2）①7；②47
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果；
（2）①由求解出结果；②由求解出结果.
【详解】（1）原式；
（2）①因，所以，即，所以；
②由①知，两边平方得，.
16. 设，已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【答案】（1） ，或x>7；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据并集，补集和交集的概念求出答案；
（2）由必要不充分条件得到是的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，
，
，
故或x>7；
【小问2详解】
由题可得是的真子集，
当，则；
当，
则或，解得，
综上，.
17. 已知函数的解析式为
（1）画出这个函数的图象，并写出的最大值；
（2）解不等式；
（3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围．
【答案】（1）图象见解析，最大值为4
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值；
（2）分段求解不等式，再求并集；
（3）根据图象，画出与y=fx有2个交点，求取值范围.
【小问1详解】
根据分段函数的解析式，画出函数的图象，
当时，取得最大值4.
【小问2详解】
当时，，所以恒成立，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上可知，或，
所以不等式的解集为或；
小问3详解】
如图，与y=fx有2个交点，则或.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式；
（2）用定义证明函数的单调性；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
【小问1详解】
由题意，得，
∴（经检验符合题意），故．
【小问2详解】
证明 任取，且，
则．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函数．
【小问3详解】
由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，∴，∴，
解得．∴不等式的解集为．
19. 已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）6.
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象过点，得到，再根据，由对称性求得m即可；
（2）根据，，分， ，，讨论求解；
（3）根据不动点的定义得到方程有两个不相等的正实根，，由，求得t的范围，再由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以
又，
所以，解得，
所以函数的解析式为：．
（2），，
当，即时，函数在上单调递减，
所以，
当，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上：
（3）因为函数有两个不相等的不动点，，
且，
所以，即方程有两个不相等的正实根，．
所以，即，所以．
，
因为，所以，，
所以
当且仅当，即时，取“=”．
所以，所以的最小值为6．