2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解对数不等式化简集合，再根据补集和交集的概念可求出结果.
【详解】由，得，，又，
所以，.
故选：B.
2．已知向量，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.
【详解】，，，解得：.
故选：D.
3．某市要对全市出租车司机的年龄（单位：岁）进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在区间[20，45]内，根据调查结果得出司机年龄情况的残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是 （ ）
A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁
【答案】C
【分析】先求出的频率，然后求中位数.
【详解】根据频率分布直方图中的频率和为1，设的频率为，
可列式得：
又因为的频率为，的频率为，所以中位数位于之间，设为可列示为岁
故选：C
4．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列判断正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】B
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：对于，由，，得或与相交，故错误；
对于，由，，利用线面垂直的性质可得，故正确；
对于，由，，，得或或与相交或与异面，故错误；
对于，由，，，得或与异面．
判断正确的是．
故选：．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．
5．维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）
A．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数
B．猕猴桃的方差小于柚子的方差
C．猕猴桃的极差为32
D．柚子的中位数为121
【答案】B
【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可.
【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为，柚子的平均数为，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A正确；
猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B错误；
猕猴桃的极差为，故C正确；
柚子的中位数为，故D正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题.
6．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】讨论和两种情况，列式求实数a的取值范围.
【详解】当时，恒成立，
当时，，解得：,
综上可知，.
故选：C
7．执行如图所示的程序框图，若输出的数，那么判断框内可以填写的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由程序框图，写出运行结果，根据程序输出结果是，可得判断框内应填入的条件.
【详解】初始，第一次运行不输出，
第二次运行不输出，
第三次运行不输出，
第四次运行不输出，
第五次运行不输出，
第六次运行，停止运行输出，
所以判断框要填.
故选：C.
【点睛】本题考查补全循环结构程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
8．某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150B．90C．60D．15
【答案】B
【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可求出.
【详解】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法，
则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法，
则这5人观看比赛的方案种数为90种，
故选：B
9．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为，所以
因为
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故选：C
10．的展开式中的常数项为（ ）
A．240B．C．400D．80
【答案】D
【分析】根据二项式定理求解的展开式中的常数项和含的项的系数，进而求解的展开式中的常数项.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
则的展开式中的常数项为，
令，得，
则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
11．过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】设切线为，即，由与圆相切，得，即可解决.
【详解】由题知，圆，圆心为，半径为1，
因为在圆外，
所以设切线为，即，
因为与圆相切，
所以，解得或，
所以切线的方程为，或，
故选：C
12．在中，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理和余弦定理求出，从而得到，由正弦定理化边为角，，结合，利用正弦函数图象，求出，得到答案.
【详解】因为，
所以，整理得，
所以，
又，所以，
又，所以，解得，
所以
又，则，
所以，
即的取值范围为.
故选：C.
二、填空题
13．某保险公司抽取了1000辆投保车辆，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
若每辆车的投保金额均为2700元，则这1000辆车中赔付金额大于投保金额的概率为______．
【答案】0.27##
【分析】根据统计表分别求得赔付金额为3000元和 4000元的概率，再利用互斥事件的概率求解.
【详解】设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，且事件，互斥，
则，，
由于投保金额为2700元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，
所以所求概率为．
故答案为：0.27
14．已知实数，满足约束条件，则的最大值为______.
【答案】##0.75
【分析】代表着过点且经过可行域的直线的斜率，根据约束条件画出可行域即可找到斜率最大值.
【详解】根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.
目标函数中z表示过点的直线的斜率，由图可知当直线经过点时斜率最大，故z的最大值为
故答案为：
15．每逢春节，家家户户都要贴“福”字，“福”字，代表福气、福运和幸福，某同学想给图中的“福”字镶边，为了测算“福”字的面积，在半径为30 cm的圆形区域内随机投掷1000个点，其中落在“福”字上的点有410个，据此可估计“福”字的面积为___(结果保留π)．
【答案】
【分析】根据与面积有关的几何概型列式计算即可．
【详解】设“福”字的面积为x ，则由题可知：，解得．
故答案为：．
16．定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______
【答案】8091
【分析】利用“均倒数”的概念求出，再利用递推关系求出，再代入值即可.
【详解】由已知可得数列的前项的“均倒数”为
可得,则时,
，
当时,,满足,
.
故答案为: 8091 .
三、解答题
17．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求边长
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．
【详解】（1），由正弦定理可得，即，
因为，则，，所以，，因此，；
（2）∵的面积为，则
∴根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，；
若，则，即
∴或.
18．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，且，E是的中点，．
（1）求证：面平面EDC；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）用勾股定理逆定理证明，然后直四棱柱的垂直证得平面，从而得面面垂直；
（2）即求三棱锥的体积，高是，底是，由体积公式计算．
【详解】解：（1）因为点E是的中点，所以，又，
故在中，．
由题可知，，，
则，所以．
因为四棱柱是直四棱柱，故．
因为、平面，且，
所以平面，
又平面EDC，
所以平面平面，
（2）由（1）可知，平面，
又因为，，，
所以，即，
所以．
【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求棱锥的体积．掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直之间的转化是证垂直的关键．
19．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情，某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第天的滑雪人数（单位：百人）的数据
(1)根据表中的数据，求出关于的线性回归方程；
(2)经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请根据关于的线性回归方程，预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.
参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，
【答案】(1)
(2)滑雪场开业的第9天开始盈利
【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法的计算公式，即可求解．
（2）由回归直线方程，列不等式即可求解.
【详解】（1）由表中数据可得，，，
所以，
，
所以，
，
故回归直线方程为.
（2）因为一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑场雪可实现盈利，
即时，可实现盈利，解得，
故根据回归方程预测，该滑雪场开业的第9天开始盈利．
20．各项均为正数的等比数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前 项和为，证明：.
【答案】(1) (2)见证明
【分析】（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求和，即证得结果.
【详解】解：（1）设等比数列的公比为，
由得，
解得或.
因为数列为正项数列，所以，
所以，首项，
故其通项公式为.
（2）由（Ⅰ）得
所以，
所以
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
21．已知圆，圆
(1)若圆、相切，求实数的值；
(2)若圆与直线相交于、N两点，且，求的值.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】(1)根据圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系计算即可求解；
(2)根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解.
【详解】（1）已知圆，圆，
圆的圆心为，半径，
圆的圆心，半径为，圆心距，
当两圆外切时，有，
即，解得，
当两圆内切时，有，
即，解得，
故m的取值为或.
（2）因为圆与直线相交于、N两点，且，
而圆心到直线的距离，
有，即，
解得：或.
22．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示.
(1)估计这组数据的平均数；
(2)在样本中，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
(3)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购.请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
【答案】(1)；
(2)；
(3)选择方案②获利多.
【分析】（1）根据区间的频率和区间中点的坐标进行求解即可；
（2）根据分层抽样的性质，用列举法，结合古典概型的计算公式进行求解即可；
（3）根据两个不同方案进行计算求解判断即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为，
这组数据的平均数为：；
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在内的芒果有2个，记为，，质量在内的芒果有3个，记为；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为；
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于350克的芒果收入为（元；
不低于350克的支果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）.
由于，所以选择方案（2）获利多.
赔付金额/元
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
500
130
100
160
110
天数代码
1
2
3
4
5
滑雪人数（百人）
9
11
14
26
20