数学建模中的二种模型与真题训练-中考数学专题

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所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。笔者以一次函数的应用为例，探讨几种不同的数学建模过程。
一、直接给出模型
二、猜测建立模型
三、实际推导模型
我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人们对于数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。”因此，每一位数学教师都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的教学资源，让学生在做数学、体验数学的实践活动中，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣，并增强学习数学的自信心。
题型归纳
题型一：建立方程模型解决实际问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•江北区校级月考）在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．都有可能
【分析】根据三角形的内角和可求解△ABC的一内角为90°，进而可判断三角形的形状．
【解答】解：设这个三角形为△ABC，且∠A＝∠B﹣∠C，
则∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
2．（2022春•合肥期末）在新冠肺炎疫情防控期间，某药房第一次用7000元购进一次性医用口罩若干个，第二次又用8000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次的1.2倍，且购进的数量比第一次少200个．设第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则根据题意可列方程为（ ）
A．＝×1.2B．×1.2＝
C．×1.2＝D．×1.2＝
【分析】第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，利用单价＝总价÷数量，结合第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的1.2倍，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，
由题意得．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
3．（2022•浦江县模拟）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 2 米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 +1 ．
【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．
（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到
CE与AD的长度比即可．
【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，
∴四边形CESK是平行四边形，
∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．
故答案为：2．
（2）连结FH，
设DE＝a，CD＝b，
由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，
在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，
∴FH⊥GB，
又∵MK⊥GB，
∴MK∥FH，
∴△MOK∽△FOH．
∵FK＝MH，
∴OH＝OF，
∴∠OFH＝∠OHF，
又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，
∴∠GFO+∠OHF＝90°，
又∵∠FGO+∠OHF＝90°，
∴∠GFO＝∠FGO，
即OG＝OF，
∴OH＝OF＝OG，
∴∠FGH＝45°，
∴GH＝GF．
即：b＝a，
∴＝＝＝+1，
∴CE：AD＝+1．
故答案为：+1．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
4．（2022春•南海区校级月考）如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC＝，则AC2+BC2的值是 19 ．
【分析】由三角形的面积公式求得AC•BC＝3；结合完全平方公式的变形公式得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC，代入求值即可．
【解答】解：∵S△ABC＝，AC•BC＝S△ABC，
∴AC•BC＝，
∴AC•BC＝3．
∴AC2+BC2
＝（AC+BC）2﹣2AC•BC
＝52﹣2×3
＝19．
故答案为：19．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时，利用了完全平方公式的转化公式，巧妙的得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC．
5．（2022•龙岗区模拟）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，则DE的长为 7m ．
【分析】利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．
【解答】解：∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝4.2m，
∴＝，则＝，
解得DE＝7，
即DE的长为7m．
故答案是：7m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的性质，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
6．（2022秋•北碚区校级期中）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b元，蓝色的价格均为每包c元，且满足66≤b＜c≤74，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费 1350 元．
【分析】由题意可得a（50+b+c）＝3800，再由a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，求出b+c＝140，a＝20，则满足条件的有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，分别列出方程求解讨论即可．
【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了1200+1200+1400＝3800（元），即a（50+b+c）＝3800，
∵a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，
∴185＝50+67+68≤50+b+c≤50+72+73＝195，
∴50+b+c＝190，a＝20，即b+c＝140，a＝20，
∴有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；
设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，
①，
整理得23x+6y＝520，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
②，
整理得11x+2y＝240，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
③，
整理得21x+2y＝440，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
④，
整理得3x+y＝70，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴或或或，
∴当x＝19，y＝13时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；
综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，
故答案为：1350．
【点评】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．
7．（2022春•沙坪坝区校级期中）“如果华佗再世，崇洋都被医治，外邦来学汉字，激发我民族意识…”最近，刘畊宏的键身操刷爆全网，掀起了一股全民健身热潮，《本草纲目》健身操让众多网友直呼酸爽．最出圈的《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量之比为4：3：6，三首曲目时长之比为3：2：2．走红以后，根据众多网友的反馈，刘教练对健身操的动作与曲目时长都进行了重新编排．重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量比之前降低了，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为之前的《公公偏头疼》和《本草纲目》的卡路里每分钟消耗量总和，《龙拳》的卡路里总消耗量减少，《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量与《龙拳》减少的卡路里消耗量之比为2：3，《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，且占三首曲目卡路里消耗总量的10%，则重新编排后《龙拳》与《本草纲目》的曲目时长之比为 44：89 ．
【分析】设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，根据题意，分别求出《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），再根据题意建立方程，求解方程即可．
【解答】解：设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，
∴总消耗的热量为4k•3t+3k•2t+6k•2t＝30kt，
则重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量为3k•（1﹣）＝2k，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为6k•＝8k，
设重新编排后，《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目三首曲目时长分别为a、b、c，
∴《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，
∴《龙拳》减少的卡路里的消耗量为3k•2t﹣2kb＝6kt﹣2kb，
∵《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量与《龙拳》减少的卡路里的消耗量之比为2：3，
∴《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量为（6kt﹣2bk）＝k（3t﹣2b），
∵《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，
∴《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），
∴重新编排后三首曲目卡路里消耗总量为3k•2t﹣（6kt﹣2kb）+4k•3t+k（3t﹣2b）+6k•2t+k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b），
∴k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b）×10%，
∴t＝b，
∴8kc﹣12kt＝k（3t﹣2b），
解得b：c＝44：89，
故答案为：44：89．
【点评】本题考查了方程的实际应用，能够根据题意建立方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
8．（2022秋•湟中区校级月考）（1）已知一个多边形的内角和的度数是外角和的4倍，求这个多边形的边数；
（2）已知一个多边形的每一个内角的度数都等于144°，求这个多边形的边数．
【分析】由多边形的内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，
（n﹣2）×180°＝4×360°，
∴n＝10，
答：这个多边形的边数是10．
（2）∵这个多边形的每一个内角的度数都等于144°，
∴这个多边形的每一个外角的度数都等于180°﹣144°＝36°，
∴这个多边形的边数为：360°÷36°＝10．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．
9．（2023春•潜江月考）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是20肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高16肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是30肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．
【解答】解：通过建模把距离转化为线段的长度．
由题意得：AB＝20，DC＝16，BC＝30，
设BE为x肘尺，EC为（30﹣x）肘尺，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
AE2＝AB2+BE2＝202+x2，DE2＝DC2+EC2＝162+（30﹣x）2，
又∵AE＝DE，
∴202+x2＝162+（30﹣x）2，
∴x＝12.6，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根12.6肘尺．
【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
10．（2022春•锦江区期末）成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．
（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；
（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．
①用含a的式子表示b；
②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．
【分析】（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；
（2）①根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是7500列出式子整理即可；
②列出利润w关于a的函数关系式，然后根据不等关系得出a的取值范围，计算w即可．
【解答】解：（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，
由题意得，，
解得x＝150，
经检验x＝150是原分式方程的根并符合实际意义，
所以2x＝2×150＝300，
答：普通帐篷的采购价为150元，防晒帐篷的采购价为300元．
（2）①根据题意可知：300a+150b＝7500，
整理得：b＝50﹣2a；
②设销售利润为w元，
则w＝（380﹣300）a+（180﹣150）b
＝80a+30（50﹣2a）
＝20a+1500，
w是关于a的一次函数，
a＞0，所以w随着a的增大而增大，
∵采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，
∴，
解得10，
a为正整数，所以当a＝16时利润最大，
最大利润w＝20×16+1500＝1820，
所以购买16件防晒帐篷，18件普通帐篷，可以获得最大利润1820元．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．
11．（2022秋•宜兴市期末）好学的丽丽用所学知识测量路灯的高度．如图，丽丽和爸爸站在路灯AD下，爸爸的身高EF＝1.8m，丽丽的身高MN＝1.6m．爸爸的影子BF＝3m，丽丽的影子CN＝2m，两人相距FN＝16m，求路灯AD的高度．
【分析】根据相似三角形△EBF∽△ABD的对应边成比例可得答案．
【解答】解：∵EF∥AD，
∴△EBF∽△ABD．
∴．
∴＝．
∴．
同理：，
∴，
∴．
∴．
∴AD＝7.2m．
答：路灯AD的高度为7.2m．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
12．（2022春•武汉期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段BC于点E，且∠BED＝60°．
（1）求证：∠ABE+∠EDC＝60°；
（2）如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．
①若∠1﹣∠2＝16°，求∠ADC的度数；
②当k＝ 2 时，（k∠1+∠2）为定值，此时定值为 140° ．
【分析】（1）利用平行线的性质和三角形的外角的性质解答即可；
（2）①设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；
②利用①中的方法，设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，通过计算k∠1+∠2，令计算结果中的x的系数为0即可求得结论．
【解答】（1）证明：∵l1∥l2，
∴∠ABE＝∠ECD．
∵∠BED＝∠ECD+∠EDC，∠BED＝60°，
∴∠ABE+∠EDC＝60°；
（2）解：①∵∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，
∴设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．
∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．
∴3x+3y＝60°，
∴x+y＝20°．
∵∠1+∠FBE＝∠BED＝60°，∠2+∠EDG＝∠BED＝60°，
∴∠1+∠FBE＝∠2+∠EDG，
∴∠1﹣∠2＝∠EDG﹣∠FBE，
∵∠1﹣∠2＝16°，
∴2y﹣x＝16°．
∴，
解得：．
∴∠ADC＝3y＝36°．
②当k＝2时，（k∠1+∠2）为定值，此时定值为 140°．理由：
设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．
∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．
由①知：x+y＝20，
∴y＝20﹣x，
∵∠1＝∠BED﹣∠FBE＝60﹣x，∠2＝∠BED﹣∠EDG＝60﹣2y，
∴k∠1+∠2
＝k（60﹣x）+60﹣2y
＝60k﹣kx+60﹣2（20﹣x）
＝（2﹣k）x+60k+20，
∵k∠1+∠2为定值，
∴2﹣k＝0，
∴k＝2，
∴此时k∠1+∠2＝60×2+20＝140°，
∴当k＝2时，（k∠1+∠2）为定值，此时定值为140°．
故答案为：2；140°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，利用方程或方程组的思想解答是解题的关键．
题型二：建立函数模型解决实际问题
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•青岛期中）音速通常指的是声音在空气中的传播速度，它会随空气的状态（如湿度、温度、密度）不同而有不同的数值，某次实验测得音速y（米/秒）与气温x（℃） 的部分数据如表：
下列说法不正确的是（ ）
A．气温是因变量，音速是自变量
B．y随x的增大而增大
C．当气温是25℃时，音速是346米/秒
D．气温每升高5℃，音速增加3米/秒
【分析】结合表格信息运用函数的概念进行求解．
【解答】解：由题意得，气温是自变量，音速是因变量；
而y随x的增大而增大，气温每升高5℃，音速增加3米/秒，故当气温是25℃时，音速是346米/秒，
故选：A．
【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2．（2022秋•亳州期中）已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（ ）
A．y＝50﹣x（0＜x＜50）B．y＝50﹣x（0≤x≤50）
C．y＝25﹣x（0＜x＜25）D．y＝25﹣x（0≤x≤25）
【分析】根据长方形周长的计算方法进行列式、求解．
【解答】解：由题意得2（x+y）＝50，
解得y＝25﹣x（0＜x＜25），
故选：C．
【点评】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能正确理解问题间数量关系进行求解．
3．（2022•涧西区一模）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A．B．C．5D．
【分析】从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为 AP＝3，当x＝0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝2，走过的角度为90°，可求出点P运动的速度，当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．
【解答】解：从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为 AP＝3，
当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，
∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为 ×2π×r＝，
∴点P的运动速度是 ÷2＝（cm/s），
当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，
此时点P走过的弧长为：×2π×r＝，
∴m＝÷＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图3），当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是（ ）
A．120B．121C．122D．123
【分析】设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝4，当x＝3时，y＝7，所以y与x满足了二次函数，然后进行计算即可．
【解答】解：设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，
由题意得：y＝ax2+bx+c，
则，
解得：，
y＝x2+x+1，
∴当x＝15时，代入y＝x2+x+1得，
y＝121，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据数据判断它们满足的是什么函数是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
5．（2021春•北镇市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点M，N从A点出发，点M沿线段AB运动，点N沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设AM＝AN＝xcm，阴影部分的面积为ycm2，则y与x之间的关系式为 y＝﹣x2+48 ．
【分析】因为空白部分面积可表示为x2，长方形ABCD的面积为8×6，则可表示出该函数解析式为y＝﹣x2+48．
【解答】解：由题意得，该阴影部分的面积为6×8﹣x2＝﹣x2+48，
故答案为：y＝﹣x2+48．
【点评】此题考查了根据实际问题写出相关函数表达式的能力，关键是能准确理解题目间的数量关系．
6．（2021春•普宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为 9 ．
【分析】连接BF，依据等边三角形的性质，即可得到点F在∠DBE的角平分线上运动；当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，最后根据CB的长即可得到CF的长．
【解答】解：如图所示，连接BF，
∵等边△BDE中，F是DE的中点，
∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，
∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，
∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，
又∵∠ABC＝30°，
∴∠CBF＝60°，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，
∴BC＝AC＝6 ，
∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝6 ×＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．连接BF，得到点F在∠DBE的角平分线上运动是解决问题的关键．
7．（2022秋•青羊区期末）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值＝ ．
【分析】方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，利用矩形性质和三角形中位线定理可得：MH＝AE＝2，再证明四边形MNPH是矩形，可得：PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，再证得△APG是等腰直角三角形，得出PG＝AP＝x，推出NG＝PG﹣PN＝x﹣2，运用勾股定理可得MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案．
方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，设P（0，t），运用中点坐标公式可得M（﹣2，），利用待定系数法求得直线AG的解析式为y＝x+4，进而可得G（t﹣4，t），再运用两点间距离公式即可求得答案．
【解答】解：方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，
设AP＝x，则AH＝PH＝x，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，
∴AB＝CD＝8，AD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，
∵PG∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠APG＝∠D＝90°，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，AB＝2AD＝8，
∴AE＝AD＝DF＝4，
∵点M是PE中点，点H是AP的中点，
∴MH∥AB，MH＝AE＝2，
∴∠PHM＝∠BAD＝90°，
∵MN⊥PG，
∴∠MNP＝∠MNG＝90°＝∠PHM＝∠APG，
∴四边形MNPH是矩形，
∴PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，
∵AD＝DF，∠D＝90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠AFD＝45°，
∵PG∥CD，
∴∠AGP＝∠AFD＝45°，
∵∠APG＝90°，
∴△APG是等腰直角三角形，
∴PG＝AP＝x，
∴NG＝PG﹣PN＝x﹣2，
在Rt△MNG中，MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴当x＝时，MG2取得最小值，
∵MG＝＝＝，
∴MG的最小值为，
故答案为：．
方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，
∴A（0，4），B（﹣8，4），C（﹣8，0），D（0，0），
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴E（﹣4，4），F（﹣4，0），
设P（0，t），
∵点M是PE中点，
∴M（﹣2，），
设直线AG的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AG的解析式为y＝x+4，
∵PG∥x轴交AF于G，
∴G（t﹣4，t），
∴MG2＝[（t﹣4）﹣（﹣2）]2+（t﹣）2＝t2﹣6t+8＝（t﹣）2+，
∵＞0，
∴MG2有最小值，
∵MG＞0，
∴MG的最小值为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的最值等知识，解题关键是运用函数思想解决几何问题．
三．解答题（共7小题）
8．（2022春•顺德区校级期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：
（1）自变量是 t ，因变量是 y ．
（2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式．
（3）若小明通话15分钟，则需付话费多少元？
（4）若小明某次通话后，需付话费6元，则小明通话多少分钟？
【分析】（1）根据函数的定义即可确定自变量与因变量；
（2）根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果；
（3）将t＝15代入该函数解析式进行求解即可；
（4）将y＝6代入该函数解析式进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，自变量是t，因变量是y，
故答案为：t，y；
（2）由题意可得，每通话1分钟需付话费0.15元，
∴电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是y＝0.15t；
（3）当t＝15时，得y＝0.15×15＝2.25，
故小明通话15分钟，则需付话费2.25元；
（4）当y＝6时，得0.15t＝6，
解得t＝40，
故小明通话40分钟．
【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能结合题意与函数的概念进行列式、计算．
9．（2022春•云岩区期中）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．
（1）设家居用电的二氧化碳排放量为y（kg），耗电量为x（kW•h），则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为 y＝0.785x ；
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加 0.785kg ；当耗电量从1kW⋅h增加到100kW•h时，二氧化碳排放从 0.785kg 增加到 78.5kg ；
（3）小明家本月家居用电大约110kW•h，天然气20m3，自来水5t，开私家车耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
【分析】（1）根据家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可得此题结果；
（2）由家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可解得此题结果；
（3）分别按照表中提供信息分别进行求解．
【解答】解：（1）由题意可得y＝0.785x，
故答案为：y＝0.785x；
（2）∵家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785，
∴耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg，
当耗电量1kW⋅h时二氧化碳排放量为0.785kg，当耗电量100kW⋅h时二氧化碳排放量为78.5kg，
故答案为：0.785kg，78.5kg；
（3）110×0.785＝86.35（kg），
0.19×20＝3.8（kg），
0.91×5＝4.55（kg），
2.7×75＝202.5（kg），
答：小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳排放量是4.55kg，开私家车的二氧化碳排放量是202.5kg．
【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解．
10．（2023春•中原区期中）已知梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，梯形的面积记为y．
（1）求梯形的面积y与上底长x之间的关系式；
（2）请将下面的表格补充完整，并说明当x每增加1时，y如何变化；
（3）当x＝0时，y的值表示的含义是什么？
【分析】（1）结合题意，运用梯形面积公式进行列式、化简；
（2）分别将对应x的值代入（1）题所求函数解析式进行求解；
（3）当x＝0时该梯形就变成了一个三角形，y的值表示的含义是就是该三角形的面积．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝×（x+15）×8，
化简得y＝4x+60，
∴该梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y＝4x+60；
（2）当x＝3时，
y＝4×3+60
＝12+60
＝72；
当x＝6时，
y＝4×6+60
＝24+60
＝84，
故答案为：84；
（3）当x＝0时，该图形就变成了一个三角形，
∴y的值表示的含义是就是一个底为15，高是8的三角形的面积．
【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解题意，正确地列式、计算．
11．（2022春•碑林区校级期中）大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张8元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，大剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款，两种方案只能选择其中一种，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别求出两种优惠方案中y与x的关系式；
（2）若听音乐会的学生人数为12人，请通过计算确定选择哪种方案更优惠．
【分析】（1）根据两种消费方式分别列出对应的函数解析式；
（2）将x＝12分别代入两个函数解析式进行计算比较．
【解答】解：（1）由题意得，方案1中y与x的关系式为：
y＝20×4+8×（x﹣4），
整理得，y＝8x+48，
方案2中y与x的关系式为：
y＝（20×4+8x）×80%，
整理得，y＝6.4x+64；
（2）当x＝12时，
方案1的消费为y＝8x+48＝8×12+48＝144（元），
方案1的消费为y＝6.4x+64＝6.4×12+64＝140.8（元），
∵144＞140.8，
∴此时方案2更优惠．
【点评】此题考查了用函数解析式解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题中的数量关系写出对应解析式，并进行相关的计算．
12．（2017•高台县模拟）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【分析】（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润＝件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．
（2）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，当x＝5.5时y有最大值，从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）
＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）根据（1）得：
y＝﹣10x2+110x+2100，
y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
13．（2017•裕华区校级模拟）某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同；
（3）某人估计一个月内通话300min，应选择哪种移动通讯合算些．
【分析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1min付费0.6元．若一个月内通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元，则y1＝50+0.4x，y2＝0.6x；
（2）令y1＝y2，解方程即可；
（3）令x＝300，分别求出y1、y2的值，再做比较即可．
【解答】解：（1）y1＝50+0.4x；y2＝0.6x；
（2）令y1＝y2，则50+0.4x＝0.6x，
解之，得x＝250
所以通话250分钟两种费用相同；
（3）令x＝300
则y1＝50+0.4×300＝170；y2＝0.6×300＝180
所以选择全球通合算．
【点评】本题需仔细分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题．
14．（2021秋•上城区期末）已知Rt△ABC，两直角边AB与AC之和为4，作△ABC的外接圆，点O为圆心．
（1）如图1，连结OA，当90°时，求OA的值．
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连结DE，求证：2∠ADE．
（3）如图3，作∠BAC的平分线交BC于点F，线段AF是否存在最大值？若存在，请求出AF的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用圆周角定理的推论可得∠ABC＝45°，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和相似三角形的判定与性质可得∠ADE＝∠B，再利用圆周角定理的推论可得结论；
（3）过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，利用角平分线的定义和正方形的判定定理可得矩形ADFE为正方形，设正方形ADFE的边长为x，BD＝m，通过建立函数模型，用含m的式子表示出正方形的边长，利用配方法求得正方形边长的最大值，利用AF＝DF即可求得结论．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径．
∵90°，
∴∠ABC＝45°．
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
∴BA＝AC．
∵两直角边AB与AC之和为4，
∴BA＝AC＝2．
∴BC＝．
∴OA＝BC＝．
（2）证明：∵AD⊥BC于点D，点E为AC中点，
∴DE＝＝AE＝EC．
∴∠EDA＝∠EAD．
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴△ABD∽△CAD．
∴∠B＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠B．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
∴∠B．
∴2∠ADE．
（3）解：线段AF存在最大值，理由：
过点F作FD⊥AB于点D，FE⊥AC于点E，如图，
∵∠BAC＝90°，FD⊥AB，FE⊥AC，
∴四边形ADFE为矩形．
∵∠BAC＝90°，AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°．
∴矩形ADFE为正方形．
∴FD＝FE＝AD＝AE，AF＝．
设正方形ADFE的边长为x，BD＝m，
∴DF＝AD＝AE＝x，AB＝x+m．
∵AC+AB＝4，
∴AC＝4﹣x﹣m．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC．
∴．
∴．
∴x2+mx＝4m﹣mx﹣m2．
∴x2+2mx+m2＝4m．
即：（x+m）2＝4m．
∵x＞0，m＞0，
∴x+m＝2．
∴x＝﹣m+2＝﹣+1．
∵﹣1＜0，
∴当＝1即m＝1时，x有最大值1，
∴当m＝1时，DF由最大值1．
∵AF＝，
∴AF有最大值为．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，通过构建函数模型解答实际问题，配方法，二次函数的性质，建函数模型解答问题是解题的关键．
【真题训练】
一．解答题（共1小题）
1．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，根据数量＝总价÷单价且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据费用等于单价×数量列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，
根据题意，得，
解得x＝7，
经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，
∴x+23＝30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得7×3m+30m＝510，
解得m＝10，
∴3m＝30，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．
气温x（℃）
0
5
10
15
20
…
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
…
通话时间t（分钟）
1
2
3
4
5
6
…
电话费y（元）
0.15
0.30
0.45
0.6
0.75
0.9
…
排碳计算公式：
家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785
开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7
家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19
家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91
底长x
…
2
3
4
5
6
…
面积y
…
68
72
76
80
84
…