北京市育才学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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期中考试试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 圆的半径为
A. B. C. D.
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
3. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
4. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ）
A B. C. D.
5. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围（ ）
A. −∞,1B. C. D.
7. 已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为
A. B. C. 或D. 或
10. 在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. D. 4
二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分
11. 写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程：______．
12. 过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程______.
13. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正切值为______.
14. 已知点，点在圆上，则的取值范围是______；若与圆相切，求切线的方程______.
15. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：
①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到坐标原点距离都不超过2；
③曲线围成区域的面积大于；
④方程表示的曲线在第二象限和第四象限
其中正确结论的序号是______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
16. 在平面直角坐标系中，已知，，，线段AC的中点为M.
（1）求过点M与直线BC平行的直线方程；
（2）求△ABC的面积.
17. 已知圆过原点和点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
18. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.

（1）求证：平面；
（2）若平面，，，，求：
（ⅰ）二面角的余弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
19. 已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若点，求的面积.
20. 如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点.
（1）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线长度之和等于4．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．