内蒙古包头市北重三中高一（上）期中数学试卷

这是一份内蒙古包头市北重三中高一（上）期中数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，幂函数的性质等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}B．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}
3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2]C．[2，+∞）D．[0，2]
4．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）是（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．（5分）已知a＝lg2e，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
6．（5分）定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）＝6，则f（x）（ ）
A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）函数f（x）＝（）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1）C．[1，+∞）D．[3，+∞）
9．（5分）已知函数f（x）＝2x+3x，则函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（5分）已知y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（1，3）C．（0，3）D．[3，+∞）
11．（5分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）满足：任意x1，x2∈（0，+∞），都有，且f（﹣3）＝0，则不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣3，0）∪（3，+∞）
12．（5分）设函数则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数的图象恒过定点 ．
14．（5分）函数f（x）＝的值域是 ．
15．（5分）已知125x＝12.5y＝1000，则＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝，f（a）＝4，则f（﹣a）＝ ．
三、解答题：共6个大题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）化简求值
（1）
（2）
18．（12分）设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B＝{x|lg2（x+2）＜4}．
（1）求如图阴影部分表示的集合；
（2）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣3•2﹣x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）记，求g（x）的零点．
20．（12分）已知指数函数f（x）过点，g（x）为f（x）的反函数．
（1）写出函数f（x）和g（x）的解析式，并求不等式g（3x）≥g（8﹣x）的解集；
（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.9]＝0，[1.2]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．求[g（10）]，并求[g（1）]+[g（2）]+[g（3）]+…+[g（20）]的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；
（2）若函数g（x）＝f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数为R上的奇函数，．
（1）求f（x）；
（2）求出所有满足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的实数a构成的集合；
（3）对任意的实数x1∈[﹣1，1]，都存在一个实数x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），求实数m的取值范围．
2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【答案】C
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}B．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}
【考点】补集及其运算．
【答案】D
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，
可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
则：∁RA＝{x|﹣1≤x≤2}．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2]C．[2，+∞）D．[0，2]
【考点】函数的定义域及其求法．
【答案】C
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）＝中，
令lg2x﹣1≥0，
解得x≥2，
所以函数的定义域为[2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．
4．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）是（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【考点】幂函数的单调性与最值．
【答案】B
【分析】由幂函数f（x）＝xa的图象过点（2，），求出a＝﹣2，由此得到f（x）是偶函数．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象过点（2，），
∴f（2）＝2a＝，
解得a＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2．
∴f（x）是偶函数．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知a＝lg2e，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性即可比较．
【解答】解：a＝lg2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c＝＝lg23＞lg2e＝a，
则a，b，c的大小关系c＞a＞b，
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，
6．（5分）定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）＝6，则f（x）（ ）
A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x＝7时，函数取得最大值f（7）＝6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据偶函数的对称性是解决本题的关键．
7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x＝1时，f（1）＝e﹣＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
8．（5分）函数f（x）＝（）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1）C．[1，+∞）D．[3，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
【答案】A
【分析】复合函数求单调区间，求出内函数的单调区间，结合复合函数的单调性，求出减区间．
【解答】解：令y＝﹣x2+2x+3，得函数是二次函数．开口向下，x∈（﹣∞，1]时，函数是增函数，
∵y＝是减函数，
∴函数f（x）＝（）的单调递减区间是（﹣∞，1]
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数与其它函数的复合函数单调性的判断．
9．（5分）已知函数f（x）＝2x+3x，则函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】B
【分析】函数零点个数转化为两个函数的图象的交点个数，画出函数的图象判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝2x+3x＝0，可得2x＝﹣3x，
函数的零点个数就是方程的解的个数，也就是y＝2x，与y＝﹣3x图象交点的个数，如图：
由函数的图象可知两个函数这样一个交点，所以函数f（x）＝2x+3x，则函数的零点个数是1个．
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点个数的求法，函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．
10．（5分）已知y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（1，3）C．（0，3）D．[3，+∞）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质进行分析求解
【解答】∵y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的减函数
∴0＜3﹣a≤3﹣ax≤3
即a＜3 ①
又∵y＝lga（3﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，且3﹣ax是减函数
∴a＞1 ②
综上所述：1＜a＜3
故选：B．
【点评】考查了复合函数的关于减函数的性质，属于基础题
11．（5分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）满足：任意x1，x2∈（0，+∞），都有，且f（﹣3）＝0，则不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣3，0）∪（3，+∞）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【答案】C
【分析】根据条件可得出f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，并得出f（3）＝0，从而由可得出，进而得出不等式组或，根据f（x）的单调性即可得出原不等式的解集．
【解答】解：∵任意x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）是奇函数，f（﹣3）＝0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（3）＝0，
∴由得，，
∴或，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴原不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）．
故选：C．
【点评】考查奇函数的定义，减函数的定义，以及分式不等式的解法．
12．（5分）设函数则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
【考点】分段函数的应用．
【答案】D
【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：
满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，
解得x∈（﹣∞，0）．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数的图象恒过定点 （﹣，2） ．
【考点】指数函数的单调性与最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象恒过定点的坐标．
【解答】解：∵函数，令2x+1＝0，求得x＝﹣，y＝2，
可得它的图象恒过定点（﹣，2），
故答案为：（﹣，2）．
【点评】本题主要考查幂函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）＝的值域是 （0，1） ．
【考点】函数的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】g（t）＝为减函数，t＝3x+1为增函数，进而求解．
【解答】解：因为3x+1＞0+1＝1，
所以0＜＜1，
所以函数f（x）的值域（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】考查反函数的性质，符合函数的综合应用；
15．（5分）已知125x＝12.5y＝1000，则＝ ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据125x＝12.5y＝1000可得出x＝lg1251000，y＝lg12.51000，从而得出，然后进行对数的运算即可求出．
【解答】解：∵125x＝12.5y＝1000，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，以及对数的运算性质．
16．（5分）已知函数f（x）＝，f（a）＝4，则f（﹣a）＝ ﹣2 ．
【考点】函数的奇偶性．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（﹣x）＝，
则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，
又由f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2；
故答案为：﹣2
【点评】本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．
三、解答题：共6个大题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）化简求值
（1）
（2）
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）进行根式和分数指数幂的运算即可；
（2）进行对数的运算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝1．
【点评】考查根式、分数指数幂和对数的运算．
18．（12分）设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B＝{x|lg2（x+2）＜4}．
（1）求如图阴影部分表示的集合；
（2）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
【考点】Venn图表示交并补混合运算；指、对数不等式的解法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用Venn图表示集合的关系即可求如图阴影部分表示的集合；
（2）根据集合关系C⊆B，建立不等式关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由（x+3）（x﹣6）≤0，得﹣3≤x≤6，即A＝[﹣3，6]，
由0＜x+2＜16，解得﹣2＜x＜14，即B＝（﹣2，14），
∵阴影部分为A∩∁RB，
∴A∩∁RB＝[﹣3，﹣2]．
（2）∵C＝{x|x＞2a且x＜a+1}，
∴①2a≥a+1，即a≥1时，C＝∅，成立；
②2a＜a+1，即a＜1时，C＝（2a，a+1）⊆（﹣2，14），
则，
解得﹣1≤a＜1．
综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合的基本关系的应用，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣3•2﹣x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）记，求g（x）的零点．
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用函数的性质的应用求出函数的关系式．
（2）利用函数的零点和方程之间的转换，利用分类讨论思想的应用求出函数的零点．
【解答】解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝2﹣x﹣3•2x，
又f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以：﹣f（x）＝2﹣x﹣3•2x，
即x＜0时，f（x）＝﹣2﹣x+3•2x，
又f（0）＝0，
∴．
（2）函数g（x）的零点即为方程g（x）＝0的根．
当x＜0时，﹣，即6•22x﹣2x﹣2＝0，解得或，
故x＝1﹣lg23，
当x＞0时，2x﹣3•2﹣x＝，即2•22x﹣2x﹣6＝0，
解得2x＝2或（舍去），故x＝1．
综上所述g（x）的零点为1﹣lg23或1．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的确定，分段函数的应用，对数的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
20．（12分）已知指数函数f（x）过点，g（x）为f（x）的反函数．
（1）写出函数f（x）和g（x）的解析式，并求不等式g（3x）≥g（8﹣x）的解集；
（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.9]＝0，[1.2]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．求[g（10）]，并求[g（1）]+[g（2）]+[g（3）]+…+[g（20）]的值．
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式，利用的单调性转化求解不等式的解集．
（2）利用新定义，求出函数的解析式，然后求解表达式的值即可．
【解答】解：（1）指数函数f（x）过点，g（x）为f（x）的反函数．
得，
∵g（3x）≥g（8﹣x），
∴，
∴0＜x≤2，
所以，不等式的解集为（0，2]．
（2）[g（10）]＝﹣2，
，
∴[g（1）]+[g（2）]+…+g[（20）]＝3×（﹣1）+12×（﹣2）+4×（﹣3）＝﹣39．
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的解析式的求法以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；
（2）若函数g（x）＝f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用；函数的零点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式f（x）≥1﹣x2即可；
（2）根据二次函数g（x）的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2+ax+2，a∈R；
当不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，
对应方程x2+ax+2＝0有两个实数根1和2，
∴﹣a＝1+2，即a＝﹣3；
∴不等式f（x）≥1﹣x2可化为
x2﹣3x+2≥1﹣x2，
即2x2﹣3x+1≥0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）≥0，
解得x≤或x≥1；
∴该不等式的解集为{x|x≤或x≥1}；
（2）∵函数g（x）＝f（x）+x2+1＝x2+ax+2+x2+1＝2x2+ax+3，
且g（x）在区间（1，2）上有两个不同的零点，
∴，
即；
解得﹣5＜a＜﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣5＜a＜﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式（组）的解法与应用问题，是综合性题目．
22．（12分）已知函数为R上的奇函数，．
（1）求f（x）；
（2）求出所有满足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的实数a构成的集合；
（3）对任意的实数x1∈[﹣1，1]，都存在一个实数x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），求实数m的取值范围．
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）进而求解；
（2）根据定义法确定f（x）的单调性，得出f（3）＞﹣f（2a﹣a2）＝f（a2﹣2a）进而求解；
（3）f（x）在R上是增函数，当x1∈[﹣1，1]时，即f（x1）∈[﹣，]＝A，
设g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，则由题意可知A⊆B，g（x）＝（x+m）2+﹣m2即﹣m2≤﹣，解得 m≤﹣或m，进而分类讨论求解．
【解答】解：（1）f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）∴解得b＝2∴；
（2）f（x）为增函数定义域为R，设x1、x2是R上任意两个值，且1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣（1﹣）＝，
∵x1＜x2，∴2＜2，∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上是增函数，
∵f（﹣x）＝＝＝＝﹣f（x），
∴f（x）在R上是奇函数，
∵f（2a﹣a2）+f（3）＞0，∴f（3）＞﹣f（2a﹣a2）＝f（a2﹣2a），
又∵f（x）在R上是增函数，∴a2﹣2a＜3，
解得，﹣1＜a＜3，∴所求实数a构成的集合为{a|﹣1＜a＜3}；
（3）∵f（x）在R上是增函数，∴当x1∈[﹣1，1]时，f（x1）∈[f（﹣1），f（1）]，即f（x1）∈[﹣，]＝A，
设g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，则由题意可知A⊆B，
∵g（x）＝（x+m）2+﹣m2，∴﹣m2≤﹣，解得 m≤﹣或m，
①当m≤﹣时，函数g（x）在[﹣1，1]上为减函数，
所以B＝[g（1），g（﹣1）]＝[+2m，﹣2m]，
由A⊆B得 解得 m≤﹣，
②当m 时，函数g（x）在[﹣1，1]上为增函数，
所以B＝[g（﹣1），g（1）]＝[﹣2m，+2m]，
由A⊆B得 解得m≥，
综上可知，实数m的取值范围为m≤﹣或m≥．
【点评】（1）考查奇函数的性质；
（2）考查定义法判断函数的单调性，奇函数的应用，不等式的求解；
（3）考查函数的单调性，集合思想，分类讨论思想，不等式组求解．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
3．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．
Venn图表示N∩（∁UM）为：．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是∁R（M∪N）＝[0，8]．
4．指、对数不等式的解法
【知识点的认识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
5．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
6．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
7．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
8．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
9．由函数的单调性求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
10．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
11．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
12．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
13．幂函数的单调性与最值
【知识点的认识】
一、幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
二、幂函数与指数函数的对比
三、五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1
四、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
14．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
【解题方法点拨】
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a•{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\rt{4}{{a}^{3}}$，
∴B不正确；
∵$\rt{4}{（﹣3）^{4}}＝\rt{4}{{3}^{4}}＝3$，
∴C正确；
∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$ B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
15．指数函数的单调性与最值
【知识点的认识】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
16．指数式与对数式的互化
【知识点的认识】
ab＝N⇔lgaN＝b；
algaN＝N；lgaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝lgab；lgaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；lgaf（x）＝lgag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）lgma＝g（x）lgmb；（两边取对数法）
（4）lgaf（x）＝lgbg（x）⇔lgaf（x）＝；（换底法）
（5）\;Alg4{a}^{2}$x+Blgax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝lgax或t＝ax）（换元法）
17．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
18．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
19．函数的零点
【知识点的认识】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解题方法点拨】
解法﹣﹣二分法
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【命题方向】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
20．函数与方程的综合运用
【知识点的认识】
函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．
【解题方法点拨】
﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．
﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．
﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．
【命题方向】
常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．
21．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
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名称
a
x
y
指数函数：y＝ax
底数
指数
幂值
幂函数：y＝xa
指数
底数
幂值
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，+∞）时，增
x∈（﹣∞，0]时，减
增
增
x∈（0，+∞）时，减
x∈（﹣∞，0）时，减
公共点
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）