福建省晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份福建省晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题，文件包含泉港五中2024-2025高二上数学期中考试卷docx、福建省晋江二中奕聪中学广海中学泉港五中马甲中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
1．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2.“m=2”是“椭圆x2m+y2=1且离心率为22”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
3.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4.设点P为椭圆C：x29+y24=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为( )
A. 43B. 23 C. 433 D. 233
【答案】C
5．如图所示，在平行六面体中，，，分别为，，的中点．若，，，则向量可用，，表示为
A．B．C．D．
【答案】B
6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为( )
A. x236+y216=1 B. x240+y215=1
C. x249+y224=1 D. x245+y220=1
【答案】C
7．若圆C:x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点a,b向圆C所作的切线长的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为（ ）
37 B.39 C.41 D.43
【答案】A
二、多选题
9.已知点F1(−1,0),F2(1,0)，动点P到直线x=2的距离为d，PF2d=22，则( )
A. 点P的轨迹是椭圆B. 点P的轨迹曲线的离心率等于12
C. 点P的轨迹方程为x22+y2=1D. △PF1F2的周长为定值42
【答案】AC
10.已知点P在曲线x2+y2=|x|+|y|上，点Q(2,0)，则|PQ|的可能取值为( )
A. 32B. 1C. 26+ 22D. 4
【答案】BC
11．在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足（，），下列结论正确的是（ ）
A．若，则点到平面的距离为
B．若，则四面体的体积是定值
C．若，则点的轨迹长为
D．若，，则存在点，使得的最小值为
【答案】BCD
三、填空题
12．已知直线互相垂直，则的值为____________.
【答案】
如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.长度为2的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内(含边界)移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为
【答案】π
已知等腰Rt△ABC内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）．现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角C−AB−M为π4，则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为____________．
【答案】12
四、解答题
15.已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
答案：（1）k=2（6分） （2）(15,0,−25)（7分）
16.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作∆ABC，AB=AC=4，B−1,3，C4,−2，且其“欧拉线”与圆M：x−32+y2=r2相切．
(1)求∆ABC的“欧拉线”方程；
(2)点x,y在圆M上，求x+ 3y的最值．
解：(1)因为在▵ABC中，AB=AC=4，
所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，
则其“欧拉线”为∆ABC边BC的垂直平分线AD，
因为点B−1,3，点C4,−2，所以D32,12，
由直线BC的斜率为3+2−1−4=−1，
可得BC的垂直平分线的斜率为1，
所以BC的垂直平分线方程为y−12=x−32，
即x−y−1=0为∆ABC的“欧拉线”方程；（7分）
(2)圆M：x−32+y2=r2的圆心为M(3,0)，半径为r，
因为直线x−y−1=0与圆M相切，
所以圆心M(3,0)到直线x−y−1=0的距离为r，即3−1 2= 2=r，
令z=x+ 3y，即y=z−x 3代入圆M的方程，
可得x−32+z−x23=2，整理，得4x2−(18+2z)x+t2+21=0，
因为该方程有解，
所以Δ=(18+2z)2−4×4(z2+21)≥0，
解得3−2 2≤z≤3+2 2，
所以x+ 3y的最大值为3+2​2，最小值为3−2 2．（15分）

【解析】本题考查直线方程的求法，直线的倾斜角与斜率，点到直线的距离，直线与圆的位置关系的应用，
(1)根据已知及直线的倾斜角与斜率，求出“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线的方程；
(2)根据已知及点到直线的距离，直线与圆的位置关系的计算，得Δ=(18+2z)2−4×4(z2+21)≥0，求出x+ 3y的最大值．
17.如图，在圆锥SO中，高SO=3，底面圆O的直径 AB=5，C是OA的中点，点D在圆O上，平面SAB⊥平面SCD.
证明：CD⊥AB
若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围.
18. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点F1(−1,0)，C(−2,0)分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交椭圆M于A，B两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见详解
【解析】
分析】（1）根据题意可得，进而可求和椭圆标准方程；
（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△的面积可分割成两个小三角形，其底皆为；
（3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：或，而由椭圆范围知这样B点不存在．
解：（1）由左焦点、左顶点可知：，则，
所以椭圆的标准方程为.（4分）
（2）因为，，
则过的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.（10分）
（3）若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，则，
令，
解得：或，
又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上.（17分）
19.在矩形中，长，宽.
（1）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？
（2）、、、分别为矩形四条边的中点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系（如图所示）.若、分别在线段、上.且.
①求证：直线与的交点总在椭圆：上；
②若、为曲线上两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点.
（1）设矩形ABCD的长AB=23，宽CD=2，以AB的中点为原点，AB所在的直线为轴，AB的中垂线为轴，建立直角坐标系，则A(−3,0),B(3,0)C(3,2),由于整个图形关于轴对称，我们只研究第一象限，设点是CD上自右到左的第个分点，点是BC上自上到下的第个分点，则M(3−23kn,2)，N(3,2kn)
所以AN:y=k3n(x+3)①，BM:y=−n3k(x−3)②，①，②式相乘且整理得x23+y2=1③，因为点是直线与的交点，所以点满足方程③
故点在椭圆上． （5分）
（2）①∵，∴，，又则直线的方程为 ①，又则直线的方程为②，联立①②: 解得，，∴直线与的交点在椭圆：上； （10分）
②当直线的斜率不存在时，设：，则，∴，不合题意，
当直线的斜率存在时，设：，，.
联立方程得，则，，，又，即，将，代入上式得，∴直线过定点. （17分）